CP '* SB' CP PF
GMC /MP MP\ MP MP " 0U CMF \CP PfJ—CP+SP
Remarquons que les angles GMC, CMF étant très-petits aussi , peuvent être remplacés par leurs sinus dont le rapport est ce que nous avons désigné sous le nom d'indice de réfraction : il viendra donc, en le représentant par n, en supprimant le facteur commun MP et en exprimant par a, /‘et r les lignes PS, PF et PC, ou ce qui leur est sensiblement égal OS, OF et OC.
d'où
ou encore
nrt
Pour savoir quelle est, dans ce cas, la position du foyer principal, et en supposant que le milieu réfringent soit du verre, ce
qui exige que n viendra, en faisant * = x, *=•£
ou F = pour expression générale et F— 3 r pour le verre. Nous ferons voir tout à l’heure que * =» et F = -ll.r sont
des foyers conjugués par réfraction. Si nous voulons savoir à quelle valeur de * correspond f— 30 , introduisons cette supposition dans (I) qui deviendra *= , et s'il s’agit du verre t=
2 r. Ici encore, s = et f = » sont des foyers conjugués.
La formule (1) indique, d'après la fiy. 239 qui a servi à la trouver, que /'est considéré comme positif, quand il est situé du même côté que le centre par rapport à la surface ; que *, au contraire, est positif lorsqu’il est placé du côté opposé. Nous saurons donc ce que signifient les changements de signes, s’il en survient dans ce
qui va suivre. Tant que t> ou - < , il en résulte
” > o, c'est-à-dire f positif.
Ainsi, le foyer est réel quand n— »>2r.
Si * < il s'ensuit que ^ > n-^- et que f<.o.
Donc pour un tel rapprochement, les rayons réfractés sont divergents, et le foyer virtuel est situé du môme côté que l’objet; mais toujours plus éloigné que lui de la surface. En nous résumant, disons que /"augmente successivement jusqu'à l’infini, auquel cas s = 2r, si l’indice de réfraction est |. Jusque-là aussii l’image n’a pas cessé d’être réelle. Si ensuite « continue à décroître, f qui est devenu négatif, passe par tous les états de grandeur depuis l’infini pour être nul au même instant que s. Celte dernière relation est de toute évidence dans la formule (2) résolue par rapport à f.
307. Nous venons de dire que toutes les valeurs correspondantes de/" et s liées entre elles par la formule (1), appartenaient à des foyers conjugués. Pour le justifier, il faut voir si la formule ne change pas, ou si du moins elle revient à sa forme première en introduisant les conditions convenables. Si le point lumineux
prend la place qu’occupait d’abord lu foyer, l’indice de réfraction doit être modifié : car, dès lors, les rayons sortent du milieu le plus dense pour passer dans celui qui l’est le moins : il devient \
donc - au lieu de n : de plus, pour que les lettres i et f expriment toujours les mêmes quantités, il faut les permuter et changer simultanément leurs signes ou, ce qui revient au même, changer seulement celui de r. La formule (1) devient alors
et enfin
Si s—r et n— la formule (2) donne f= — 3 r : nous avions trouvé plus haut qu’à s=x> correspond F=3r ; donc l’objet venant de l'infini et se rapprochant jusqu’à ce que t=r, le foyer a parcouru le sextuple du rayqn.
» =• îr, /■= » ; « = 3r, f = 9r
• =■ VC, /■= Gr ; i =■ 5r, f= 5r
Quand le foyer est virtuel, c'est-à-dire situé du même côté que l'objet, il est toujours plus éloigné que lui de la surface.
Pour trouver la longueur de s pour laquelle f est de même valeur, il faut, dans la formule, faire f=s , et il vient successivement.
et si
On peut, en substituant 5 r à s dans (2), reconnaître qu’effectivemcnl elle donne f=z5r.
Si enfin, l’on veut savoir à quel moment l'objet et son image se superposent, il faut changer de signe l’une des deux quantités, et de plus exprimer dans (1) que f=t. On trouve alors
» — < i « I — n l — ii
Ici, quelle que soit la valeur que l’on attribue à n, on trouvera toujours t=—r, c’est-à-dire que l’objet doit être au centre de la calotte sphérique, ce que l'on pressentait d’ailleurs, à l’inspec-
tion de la figure. La formule (2) fait voir aussi qu’à *=o correspond j—o.
308. Si la surface MM' est concave, le foyer et l’objet seront tous deux situés du même côté que le centre. Ainsi, la formule (1) serait appropriée à cette nouvelle circonstance, en changeant le signe de s. Au surplus, on peut la trouver telle directement.
Le rayon SM ( fig . 244) forme un angle d’incidence désigné par I : l’angle de réfraction est exprimé par R, et le foyer est en F. Le triangle CMS donne I=C — S.
Dans le trianglo CMF, on a également. . . . R=C— F.
Divisant la première égalité par la seconde, et procédant comme dans la recherche de (1), on trouve successivement
qui ne diffère de (i) que par le signe de S. On voit qu’ici, contrairement à la surface convexe, F et S s’approchent ou s’écartent en même temps de MM'.
Si s = x, F = ■■ et quand n = J, F = 3r comme pour le
verre convexe. On verrait encore que, comme pour lui, t = o
exige que f= o. Quand - > — — , il en resuite - > — - — ,
nr
de même
, donne -
et f=
nr
Si nous prenons le cas le plus ordinaire, celui où l’indice de réfraction est les deux dernières circonstances que nous venons de signaler donnent
ou = }r pour «< ou =î r
309. Supposons actuellement et pour arriver à la connaissance de l’effet produit par une lentille, que le milieu réfringent soit terminé par deux surfaces convexes MO et NO' (fig- 245). Nous avons déjà suivi géométriquement n“ 304, ce qui se passe dans ce cas. Le rayon parti do «s’infléchit suivant MN, puis, au sortir de la lentille, il se dirige sur F' au lieu de F. Nous venons de trouver précédemment une relation entre f, r, s et n, en ne considérant que la surface antérieure MO. Elle est exprimée par la
formule = ^ + 7- D'autre part, pour expliquer l’effet produit
par la surface NO', nous pouvons nous servir des formules (1) ou (3). Il y aura toutefois, dans l’un ou l'autre cas, certaines modifications à faire, en raison des circonstances qu’offre le problème.
Ainsi, la formule (1)
oxprime que le foyer est,
par rapport à la surface, du môme côté que le centre. La discussion nous a enseigné en outre que f pouvait devenir négatif et toujours alors plus grand que s. Si donc, nous appliquons cette formule (i) à la face postérieure NO', il faudra, en admettant que r représente MG. désigner le second rayon NC' par r> : F ' sera la position de l’objet et F celle de l image.
Nous aurons donc qui, combiné avec
représentant les effets de la face antérieure, nous donnera
ou enfin
rr> f> i
Pour arriver au môme résultat, en considérant la seconde face de la lentille comme concave, nous prenons la formule (3) dans laquelle nous changeons
1* » en J puisque le rayon sort du verre pour entrer dans l’air;
2° r en r',
3’ Les signes de s et de f , parce que les points de concours des rayons incidents et réfractés ne sont plus du même côté que le centre, comme on l’avait suppose pour trouver la formule (3).
Nous remplaçons encore la lettre s par /", pour conserver la môme notation que dans l’équation, relative à la face antérieure de la lentille, et enfin au lieu de f nous écrivons f' , de sorte que la formule (3) ainsi modifiée devient successivement
— — np ] r ’ nr' n/" f ° rf p f
C'est précisément ce que nous venons de trouver lout à l’heure ; par conséquent nous retombons nécessairement, en l'ajoutant membre à membre, avec l'équation (1), sur
n — 1 fi — \
Si nous voulons connaître de suite le foyer des rayons parallèles, faisons s=x>
,, > (n— l)(r+rl) 1 , , , ,. rr'
dou —, = cesl-à-dire F = r. I6)-
Si nous substituons F au premier membre dans (4), la formule affecte la forme suivante
lit Fi
• p=W-<6) düù
Celte dernière donne le moyen de trouver la distance focale pour une valeur quelconque de *, connaissant F, Quant à ce dernier nombre, c’est à l'aide de (5) qu’on le delermine.
La formule (4) symétrique par rapport à f et *, fait voir que les points correspondants sont des foyers conjugués. Dans (6), on remarque que si * r:F, il faut que /=X .
310. La formule (5) indique que, si les deux segments de sphères ont même courbure, ce qui s’exprime par r=r', toujours alors F=r, c’est-à-direque les centres sont eux-mêmes les foyers principaux, quand toutefois l'indice de réfraction n=-j- : car alors, la formule qui, en vertu de r=r', est devenue
ri
se réduit à
Pour discuter la marche relative des foyers conjugués, faisons différentes suppositions à l’égard de « dans la formule (6).
Nous savons déjà que *= ac fournit f= F Si nous supposons
il vient
7~ïf
ou f== F -f ^ F
nÊFRACTION.
dans ce cas, la formule doit s'écrire
F =7-7 dou
Quand 1 = o la valeur de f mise en évidence dans (6) est aussi égale à zéro. Supposons un instant, pour plus de simplicité,
r = r' =F = 1, la formule se réduit à 1 = j +-|-, et l'on trouve
en attribuant à « les valeurs 1 , 2, 3, 4, 5, etc., que les correspondantes pour f sont :»,2, j,J, J, f, etc.
Si nous voulons encore appliquer à un autre exemple particulier, supposons que r'=r'^F=10.
311. Nous pourrions, pour trouver la formule relative aux verres biconcaves, reprendre une démonstration analogue h celle du n° 309 ; mais nous savons déjà qu’il nous suffit de modifier l’équation (6) en changeant le signe de * : ceci exprimera que les deux foyers conjugués sont du même côté. Elle sera donc
ou f =7 “7 (8)
pour »> F ou — <-p on a f>-^\ pour < = F il vient /■■=» —
r- if-
Si nous faisons ici r = r> — F = 1 , nous trouvons qu’en attribuant successivement à s pour valeurs,
ao , 3, 4, 3, 2, t, 1- 1- i, 1, ete o
celles de f sont
l.l. î. !. Il i 1 1 1 etc «
La formule (8) exprime que le foyer doit toujours rester du
282 OPTIQt’B
môme côté ; sinon f devenant négatif, le second membre présenterait une quantité négative, tandis que le premier membre est essentiellement positif : ce qui implique contradiction.
312. Pour les lentilles, nous pouvons, comme nous l’avons fait à l'égard des miroirs, comparer ce qui se passe dans le cas particulier où les rayons lumineux arrivent convergents ù ce que nous venons de trouver lorsque les rayons incidents divergent.
Pour les rem»
conveies. . . .
l'incidence étant dirergenle, les foyers sont conjugués et l’image est réelle tant que »>F
Les foyers ne sont plus conjugués et l'image devient virtuelle lorsque » < F
l'incidence étant convergente, le foyer lou-
( , . jours réel, et plus rapproché de
le ligne do \ ]enti||e que le point deréunion « 1 des rayons incidents prolongés,
changer. / c-,,sl j dire que toujours [<•
, Incidence divergente
Pour les verres j concaves. . . .s
^le ligne de y doit ^ changer
foyer toujours virtuel «*>/■.
foyers conjugués, image virtuelle tant que
Lorsque i<F, il fout que f change de signe, et que l'image devienne réelle , f est alors toujours plus petit que >. . .
Les trois variantes (»), ([}) et (y) de la formule relative aux lentilles conviennent donc, suivant les circonstances, aux verres convexes ou concaves.
(a) indique pour les uns et les autres que les foyers sont conjugués.
Quand elle se rapporte aux verres convexes , l'imago est réelle.
Quand elle appartient aux verres concaves , l'image est virtuelle.
^ Verres convexes Image virtuelle.
p- Concaves Imago réelle.
, Convexes Image réelle.
Concaves Imago virtuelle.
