FORME PRÉFÉRABLE DES TRIANGLES

d'où il résulte quo les erreurs sur les côlès sont nulles, lorsque A = B = C, c’est-à-dire quand le triangle est équilatéral.

Cette manière d’apprécier l’erreur nous avait paru la plus con* venable, puisqu'elle indique immédiatement à quel degré d'approximation on obtient chacun des deux côtés. Aussi, dans la première édition do cet ouvrage, nous en étions-nous tenu là.

Depuis lors, cette conséquence ayant été contestée, nous allons discuter plus au long cette question, pour voir si, par une route difTérente, nous arrivons au même résultat.

Éliminons a au lieu de b dans la formule (1), et elle devient

b / sid.A co».B\

d.a = a I co» A — =» (cos. A. sut. R — sm.A cos.B)

sin.B sio.B ] »iu.«B

Ol d-n=lMTÏBaSm (B-A) (î)

On trouve de la même manière

Jc,= Ba »in (B— G) !3)

On voit à la première inspection de ces formules que, pour une base déterminée b, les deux autres côtés seront d'autant plus exacts, que B sera plus grand ; en deçà néanmoins de la limite 100>. Jusque-là, en elTet, le sinus de B augmente et, par suite, le dénominateur commun à (2) et (3). Au delà de 100s , le sinus décroissant , la précision deviendrait moindre. If en résulte que la position de B sera mieux déterminée si l'angle, dont ce point est le sommet, est droit, en ne considérant toutefois que l’influence du dénominateur. Mais il ne suffit pas d’envisager le dénominateur seul, il faut tenir compte aussi des numérateurs.

Nous y voyons que da et de ont d’autant moins d'importance, que sin (B— A) etsin (B — C) sont plus petits et même qu’ils deviennent nuis lorsque A = B =. C, puisqu'alors

9in. (B — A) = siu. (B — C) = n

ce qui confirme ce que nous avons trouv.é plus haut.

2° Des calculs semblables donnent', pour le cas où « et ? sont négatifs ,

sin.ïB ' ' 1

“^BaMD lC~Bi (5)

oêodêsie.

Ces valeurs ne diffèrent de celles fournies par (2) et (3) que par le signe des sinus qui figurent au dénominateur dans la première hypothèse.

Si B > A, rfo>o. si B> e, de>o.

Dans la seconde, <ia ci de < o.

3» et 4“ Lorsque a et p 6ont de signes contraires, on arrive aux résultats suivants :

da — * sin. (A 4- B)

de ==s ■ . ■ • a. sin. (C -4- B) sin.» B 1 '

Si l'on no considérait qu'une seule do ces formules, dans lesquelles on peut remplacer A + B et C -p B par leurs suppléments C et A, ce qui les change en

r la

sin.»B

a. sin.C,

de

sin.’B

sin. A

on en conclurait, ou que a est d’autant plus exact que c est plus petit, ou que C est fonction de la même manière de A. Ainsi da serait nul lorsque c le serait; de deviendrait égal à zéro en même temps que A.

De telles suppositions ne sont pas plus admissibles prises isolément que collectivement; et d’ailleurs, ce qui convient dans un cas, nuit dans l'autre ; car A et C ne peuvent diminuer ensemble sans que B augmente. Suivons ce raisonnement, en- ne poussant pas jusqu’à l’extrême limite, mais en nous arrêtant au moment où A-+-C devient plus petit que 100'. Alors les sinus des numérateurs diminuent à la vérité avec les angles auxquels ils appartiennent, mais le dénominateur décroit bien plus rapidement, puisqu’il est le carré d'une quantité plus petite que l'unilc , le sinus d'un angle qui dépasse 100*.

Si l’on fait, au contraire, B constant, l’un des deux angles A et C ne peut diminuer sans que l’autre augmente, et l'on n’arrive à plus de précision pour un côté, qu'au détriment de l'autre.

Il résulte de cette discussion, pour les troisième et quatrième cas, ceux où « et P sont de signes contraires , que ce qu'il faut préférer, c'est A=C et B = 100', c’est-à-dire le triangle isocèle rectangle.

Au point de vue théorique, c'est le triangle équilatéral qui est le meilleur lorsque les erreurs angulaires sont de même signe ;