FORME PRÉFÉRABLE DES TRIANGLES

c'est le triangle isocèle rectangle, quand ces erreurs sont de signes contraires. Mais il est impossible, dans la pratique, de se soumettre h ces prescriptions qui entraîneraient dans un autre inconvénient dont nous allons parler.

La base dont on part, pour y rattacher une chaîne do triangles, est toujours plus petite que la longueur moyenne qu'il convient d’adopter pour les côtés de triangles. Cela s’explique par la difficulté de trouver un terrain favorable d'une étendue suffisante, et aussi en raison du temps considérable et de la fatigue extrême que nécessite la mesure d'une base. Il faut donc faire croître successivement la longueur des côtés, et cela ne peut avoir lieu qu'autant que B est aigu. Si l'on employait une succession de triangles équilatéraux, les côtés resteraient toujours de môme longueur que la base b. Si l'angle B était droit a et c seraient plus petits que b. Les côtés qui s'appuieraient sur a et c seraient , par le môme motif, plus petits qu’eux, et ainsi de suite. On arriverait donc bientôt à des proportions inadmissibles.

Reconnaissons cependant, par rapport aux triangles équilatéraux, qu'une fois arrivé à la dimension moyenne des côtés, on a un double motif pour les employer. D'une part, les côtés restent dans tes dimensions jugées convenables, et de l’autre, comme de tous les triangles ayant môme périmètre l'équilatéral est celui dont la surface est la plus grande, il s'ensuit, et c'est un avantage, qu’on parvient h couvrir le terrain avec un moins grand nombre de triangles.

370. Terminons en disant que, dans les grandes opérations géodésiques, telles que colles relatives à la nouvelle carte de la France, on ne s’est pas contenté do la mesuro d’une seule base. Dans ce cas [fig. 279), l’une étant la base de départ, les autres sont des bases de vérification, sur lesquelles viennent aboutir les réseaux do triangles, Pour celles-ci, il faut, par une marche contraire et pour le motif énoncé plus haut , diminuer successivement les côtés de triangles. C’est alors qu’il y a lieu d’employer une succession plus ou moins grande de triangles isocèles rectangles qui, au moyen d'un côté connu, en déterminent deux plus petits que lui.

371. L’inexactitude d'un côté serait d'une conséquence beaucoup plus grave, et, en effet, en admettant que les angles A et B soient exacts et, si au lieu de b on a trouvé b+db, on aura

(« + Ai) sin.B «= (A -f- db) sin.A.

d'où

(iÊODÉSIE.

et

a fin B-f'f"- Sin B = 4 sin.A -f- db. sin.A

i la = d.b

sin.B

Dans le cas le, plus favorable, celui où A = B, on aura da= db. Si B < A, alors da > db.

Nous tirons de là cette conséquence, qu’il ne faut pas prendre une base b trop courte ou qu'il ne faut pas faire croître trop rapidement les côtés des triangles, puisque alors A > B donnerait da > db, et qu’ainsi, les erreurs iraient toujours croissant.

372. Voyons enfin ce qui arriverait si les angles et la base contenaient quelques erreurs.

(a + da) sm. (6 -f (J) = (B -|- db) siu. (A -j- *)

;« da) (siu.£ p cos. B) = [b + db) (sin A -J- * cos.A) a sin.B cos.B-f- da. sin.B — 6. sin.A -(- bx cos.A -f- dé sin. A. da. sin. 6“ db sin. A-f- bx cos.A — a 3- cos. B

a et P étant toujours supposés égaux ,

da = db —4+ -r -- ^ «. siu.(B— A) sm.B~ sin.*B '

Le premier terme du second membre indique l'erreur sur a, lorsque la base sculo n'est pas exacte.

Le deuxième exprime l’erreur due à l’inexactitude des angles. Donc, quand les deux circonstances fâcheuses se présentent à la fois, elles ne s’aggravent ni ne se compensent : elles ont collectivement la même influence que lorsqu’elles ne se rencontrent pas ensemble.

373. L'expérience a prouvé que , dans une chaîne établie sur ces principes, les erreurs au lieu de s’accumuler se compensaient en partie : ainsi, dans la mesure de l'arc du méridien qui s’étend de Dunkerque à Perpignan, les observateurs avaient mesuré deux bases , l’une près de Melun , l’autre vers Perpignan. Cette dernière, conclue du calcul de tous les triangles intermédiaires, fut trouvée égale à la mesure directe à U", 3 près. Ces bases ont été mesurées au moyen de quatre règles en platine de 4m chacune.

MESl RE DES BASES.