CALCULS RELATIFS A LA RÉSOLUTION DES TRIANGLES

402. Réduction des angles à l'horizon. Quand oh observe les angles au moyen du théodolite, ils sont tout réduits à l’horizon : mais ils doivent subir une correction lorsqu’ils sont mesurés avec le cercle.

Soient O (fig. 293) le centre de la station, D et G les deux objcls entre lesquels on a observé l'angle : leurs distances zénithales seront CA et CB, que l’on désigne par d et d' ; l’angle observé est mesuré par l’arc AB. Si l’on suppose décrits avec le même rayon qui est quelconque, et que l’on peut, pour simplifier, supposer égal h l’unité, les deux arcs CA, CB, l'angle réduit h l’horizon sera l’angle C du triangle, et sa mesure ou celle de l'angle dièdre formé par les deux plans verticaux, sera bien l’arc A'B' compris dans le plan A'OB' perpendiculaire à leur intersection commune OC.

La question est donc ramenée à la résolution d’un triangle dans lequel on connaît les trois côtés. La trigonométrie sphérique nous fournit les formules

sin.iC=L/” sin l (c + A — a) sin.j (c + a — 6) v ^in.a. sin.A

cos.J C = |//'sin-I (« + h + 0 sin.j ja + A — c)

sin.o. sin.A ;

tanglC^i/^ sin I (t -I- A — b) sin.j |t+a-A) sin . J (« -f A -f- *) sin.4 (a ■+- A — c)

Nous avons expliqué, n° 63, pourquoi la troisième est généralement préférable. Il y aurait ici, pour les deux premières, l’inconvénient d’avoir sous le radical, un dénominateur formé du produit de deux sinus qui varient très-lentement, puisqu’ils appartiennent à des angles d et d’ différant toujours peu de 100* : quant à la troisième , elle aurait l’inconvénient commun aux deux autres, d’ôtre composée de facteurs qui marchent suivant une loi trop. peu sensible entre les limites zéro et l’unité. On a ilonc préféré pour obtenir plus de précision, employer une méthode déjà usitée en d’autres circonstances qui, au lieu de C,

üÉuDÊSIli.

donnât la différence G — c, et qui, en même temps, contenant des tangentes et cotangentes au lieu de sinus, fût beaucoup plus rigoureuse dans la pratique, puisque la moindre différence sur un angle fait bien plus varier ces nouveaux facteurs qui, de 0 à * 100*, prennent toutes les grandeurs comprises entre zéro et l’infini . Un autre avantage de la formule que nous allons démontrer, est la possibilité de la réduire en tables. Cette considération est d’une grande importance pour des calculs tels que les réductions qui se reproduisent si souvent dans les calculs géodésiques.

Pour y arriver, reprenons la formule

cos.r — cos. fi cos. 6