RÉDUCTION DES ANGLES A L'HORIZON

On arrive au même résultat, indépendamment du développement du binôme, en multipliant le numérateur et le dénominateur

par 1+— g— : car alors le dénominateur devient [1— ‘(a*+B*)]

[1 -(- 1 (a* -f |3*) ] , c'est-à-dire le produit d’une somme par une différence ou la différence des carrés : or, nous avons dit que nous négligions les termes de troisième et, à plus forte raison, do qua-

/at L S«\2

trième puissance; il en résulte donc que 1 — ( — J se réduit

à l’unité et que le second membre de l’équation est encore ce que nous avons trouvé par la première méthode.

Effectuant les operations indiquées et négligeant le quatrième

terme — — («2-+-32) du produit, comme de quatrième ordre ;

puis supprimant cos. c commun aux deux membres, changeant tous les signes et divisant par sin. c.

g3-H»2 + 3») cos .c sÎD.e

Le rayon ayant toujours été, comme dans tous les calculs trigonométriques, supposé égal à l'unité, on peut modiüer la valeur de x, ainsi qu'il suit, en remarquant que

cos.c = cos.»lf — sin.2}e sin.r — 2 sin.} c cos.} e

et B* OU t = sin.* f c -j- cos. 2 J c

T <»3 (sin.» j c + cos.2 } c) — (cos.2}c — tin.» le)

2 sio.Je cos.Jc

Réunissant d’une part les termes du numérateur qui contiennent sin,* Je, et de l’autre, ceux qui contiennent cos.* J c.

x («34-j °* +13*) sin.2}c — (j «» + } 3* — «3) cos.*

sio.J c cos. J c

Lo coefficient du premier terme est la moitié du carré de « + P : la parenthèse, dans lo second, renferme la moitié du carré de a — fi , ainsi :

x 1(«4- 3)1 sin.2Aç — — B)*cos.»jc

*2 sin. J c cos.} e

(~T^) "ng * * ~ (—

La correction x ne représente ni un solide, ni une surface, niais une ligne donnée en parties de la circonférence, c'est-à-dire un nombre de secondes : donc son expression doit d'abord être du premier degré, et si celle que nous venons de trouver, contenant deux termes du troisième, présente une absurdité, elle n’est qu'apparente, et tient à cc qu'on a fait le rayon égal à l’unité.

Examinons ce qu’il faut faire, pour que la valeur de x soit donnée en secondes. Remarquons que (a-f-p)1 et (a — p)*, peuvent s’écrire sous la forme (« -}-P)(a-t-p) et (« — $) (a — /S) ; que chacun de ces quatre facteurs est la somme ou la différence de deux nombres de grades, minutes et secondes. Si, laissant Subsister l'un des deux tel qu’il est,’ on rend l'autre un nombre abstrait, le produit multiplié par tang. Je ou cotang.-Jc, qui ne sont que des rapports, sera un nombre de secondes : or, on sait que

a;a"::r:r" d’où a=— i

tvf

ce qui signifie que, pour transformer un arc en longueur, il faut

le multiplier par ou par sin.l" ; puisque R" n'indiquant rien

autre chose que le nombre de fois que l’arc d’une seconde est contenu dans le rayon recourbé sur la circonférence, on a R = R" arc 1"; mais pour 1", l’arc et le sinus se confondent sensiblement,

donc rT,= sin.l1'. En général, on peut so contenter de dire plus

simplement, qu’en divisant une ligne par le sinus de 1", on a le nombre de secondes contenues, et qu’ainsi la ligne est ramenée à une portion de la circonférence ; et que, réciproquement, connaissant le nombre do secondes contenues dans une ligne, si l’on multiplie par l'arc d’une seconde ou par son sinus, on a la longueur de cette ligne. Introduisant donc dans les deux termes du second membre, le facteur sin. 1', et remplaçant par 100 — d et 100 — d' les angles a et P, la formule devient en définitive

* - («W-Wytin < „ |ang J r ; colang.J r

Les deux termes sont toujours do signes contraires, par la raison que c étant plus petit que 200", \c est moindre qu’un angle droit, et ses tangente et cotangenle sont constamment po-