RÉDUCTION AU CENTRE

sitives : de plus, les quantités renfermées dans les parenthèses étant élevées au carré sont aussi positives.

On peut calculer les deux termes par logarithmes, ou employer des tables qui les donnent plus promptement. Dans la première, on entre avec l'angle observé, et l'on trouve sur la même ligne horizontale et dans deux colonnes verticales di fférentes, inti tulées tangente et cotangente , deux nombres de secondes dont l’un est positif et l’autre négatif. Dans la seconde table, entrant avec les arguments 200 — (d-4-d1) et d — cl', on trouve successivement deux nouveaux nombres qui, placés sous les premiers et multipliés par eux, donnent deux produits que l’on retranche l’un de l’autre pour avoir x.

403. Réduction au centre de la station. Il est souvent impossible d’observer au centre même de la station; dans ce cas, l’angle observé est susceptible d’une correction : or, on a, par rapport au triangle IOD ( fig . 294), l'angle extérieur

D1G = IDO-f IOD

Do même, en considérant le triangle GCI,

* DIG cm IGC -4- ICG

d'où

iDO-f IOD = lGC-f ICG ou a4-o = 0-|-c ou encore c~0*=«-3.

Dans le triangle CDO, on a la proportion

sin a S sin. (0 + y) ; ; CO : CD : ; r : D.

Le triangle CGO donne également

sin.0 : sin. y : : co : CG ; ; *• ; G

Des deux proportions on tire les valeurs

rsin. (O-fy) . . rsin.y

sin.tt — et sin.3=

On voit que nous désignons par d et g , les distances aux objets de droite et do gauche, par r la distance au centre, et par y, l'angle observé entre le centre et l’objet de gauche. Si nous remarquons les valeurs do sin. a et sin. p, nous voyons qu’elles sont de très-petites quantités, puisque le numérateur commun r est divisé par des qifantités d et g infiniment plus grandes que lui, et qu’en outre, ces fractions sont multipliées par des sinus qui toujours sont plus petits que l’unité, maximum de grandeur qu’ils

puissent atteindre. Nous pourrons donc substituer les sinus aux arcs dans la valeur de C — O qui deviendra

C Q r»ln-(Ô + y) r sin. y d g

Cette correction de l'angle observé doit être donnée en secondes ; mais chacun des termes représentant une longueur, il faut réduire un de scs facteurs en secondes, en le divisant par sin. 1', ce qui donne pour résultat final

c — 0=> r8in-(° + y) r sin.y

dsin.t'i ysin.t"

Il faudra, dans cette formule, avoir égard aux signes qui dépendront de ceux de sin. (O+y) et sin. y. Le» distances d et g inQuent aussi sur la correction : car à mesure que d augmente, lo premier termo diminue, ainsi que la correction qui tend même à devenir négative : dans ce cas, O est plus grand que C. Ce sera l’effet contraire, si c'est Cque l’on suppose augmenter.

L'usage est de compter l’angle y b partir do l'objet de gauche de zéro à 400‘, toujours dans le même sens. Pour l'obtenir, il est inutile do remettre le vernier à zéro : les observations mulli|11es do l'angle étant terminées et la lunette supérieure se trouvant sur l'objet de gauche, on la fait mouvoir jusqu’à co qu elle soit dans la direction du centre. Le vernier indique alors nO+y ;n représentant le nombre de fois que l'angle a été répété.

y n’a pas besoin d'être connu très-exactement ; mais r la distance au centre, à cause de son influence dans la formule, doit être mesuré avec le plus grand soin. Les longueurs d cl g s’obtiennent avec uno exactitude suffisante, soit pour le calcul des triangles provisoires, soit quelquefois même au moyen d’un canevas graphique construit avec soin.

Lorsque les points observés sont des astres, les distances d et g devenant infinies, la réduction est nulle. Elle le serait encore dans le cas particulier où les quatre points C, O, 1) et G se trouveraient situés sur une même circonférenêe; puisqu alors Ips angles Cet O seraient égaux, comme ayant leurs sommc's sur celle circonférence, et embrassant uno portion commune entre leurs côtés.

404. Si I on a observé plusieurs angles 0, 0% 0'% O % O" (fa.

295) formant un tour d'horizon, la correction à faire à l'un quelconque de ces angles, devra être égale à la somme de toutes les

RÉDUCTION AU CENTRE. 38i

autres et désigné contraire. Soient C, G', C'^C"', O , les angles corrigés; c, e’, e', e1’ les corrections correspondantes :

nous aurons

e=o-)-e, e'= o'+c', e*', e"'=o"<-f e"', e","=ol,+«"

d'où

«+<'+«» +ef"-|-c'* = (o+o'-t.o"^-o''>-|-oit)4. (»+,'+•« +e'"4‘")

mais

H-c'+c''4-r"'-{-civ— M)0* , o-fo'+<i"-fo"i-{-o'*=400*

donc

«+e'+e"4- e'"+«» = o et par suite, m=— («-{-»'+»»*+**«)

Quand on opère avec lo cercle, l’angle au centre est pris sans changer la position du limbe ; ainsi, les quatre points C, O, G, D sont bien dans le même plan, comme le suppose la démonstration : il est donc inditTêreut de commencer par le calcul de la ré • duclion au centre, ou par celui de la réduction à l’horizon.

405. L’angle y et la distance r ne sont pas toujours trSs-faciles à obtenir dans la pratique. Voici quelques-uns des cas qui se présentent quelquefois.

Supposons que l’on soit placé en O (fig. 296) extérieurement à la tour ronde TZT'Z': on imagine, pour avoir y, deux tangentes T0,T'0 et l’on observe les angles qu elles font avec l’objet de

gauche G. Soient y' et y” ces angles, on aura y = y—^~. On peut

encore prendre deux distances égales OX, OX' sur ces deux tangentes, et joignant X à X', diviser la ligne qui les unit en deux parties égales au point M qui appartient à la direction passant par le centre.

Pour avpir r, on mesure OZ, et l’on y ajoute le rayon CZ de la tour, que l’on obtient en mesurant la circonférence, ou que l’on mesure immédiatement, quand l’inlérieur de la tour est accessible. Si quelque raison s’opposait à l’emploi de ces deux méthodes, on se rappellerait que

OT = Ox x 0*< d’où Ox' .

Ox

et iR

OT ! Ox

— Ox

OT — Ox Ox

R représente le rayon de la tour, tandis que r exprime la distance au centre.

r«=0x + l xx'cOx-f R = Ox -f

OT — Ox* OT -f O*

iOt

iOx

On peut encore trouver le rayon R de la tour, ou directement la distance au centre r, au moyen du triangle CTO, rectangle en T, dans lequel on a mesuré le côté TO, et dont on connait

l'angle COT qui est égal à - i-y--

On trouve en effet CT = R = TO. tang. y -j- -

CO = r =

OT

OT. séc. ~-

Supposons maintenant que C soit le centre d une tour carrée ABDE ( fig . 297). Si de O, les extrémités A, D d'une diagonale sont visibles, on imagine les droites qui unissent ces points au lieu de l’observation, et à partir de ce dernier, on porte deux longueurs Oa, O d proportionnelles b OA^OD qui sont mesurables. Le milieu de AD appartiendra h la direction OC. Une autre méthode consiste à abaisser OP perpendiculairement sur la face AE ou sur son prolongement. On suppose Cm perpendiculaire aussi sur AE, et l’on a deux triangles semblables Cmq, O pq, qui fournissent la proportion suivante

de lk

Cm l mq Op l pq ou Cm l mq Cm + Op mq -p PI

Cm X mp ™,= Cm + Op

et tout est connu dans le second terme, m est k égale distance de A et E; la position de q est donc déterminée ; puis en prenant l’angle entre OG et O q on aura y.

Pour obtenir la distance au centre r, on a

r*=Qq+Cq = 0q + [/

ou encore,

„ „ Cm. Oa

c? : o? ; : Cm : Op, tq «= ■

r = Oî-fCv=0, + -^=0? ^4-^) = ^(0p+O)

Quand la base sera un polygone irrégulier, on emploiera, pour arriver k la connaissance des éléments de réduction, les procédés que peut fournir la géométrie : mais, si la recherche devenait trop difficile ou trop incertaine, il faudrait faire choix d’un autre point de station et abandonner celui-lk.

calcul des triangles.

Ce serait ici le lieu de parler de la correction de phase : mais comme elle est lrès-rarementemployée,nousnousab6tiendronsde nous en occuper. Nous nous bornerons à dire qu’elle est due à ce que le signal que l'on observe étant éclairé par le soleil et son axe n'étant pas visible, on pointe sur le milieu do la partie éclairée, et alors, le rayon visuel ne passe généralement pas par l'axe du signal.

406. Calcul det triangle s. Après avoir fait subir aux angles observés les corrections relatives aux réductions au centre et k l'horizon, ils appartiennent aux triangles définitifs que l’on doit calculer pour trouver les côtés : s’ils sont encore affectés d'erreurs, elles ne sont dues qu’h l’incertitude du pointé et de la lecture, ainsi qu'à l’imperfection de l'instrument. Si, plus tard, nous avons le moyen de calculer l’excès sphérique d’un triangle, nous le comparerons à l'excès de la somme des trois angles corrigés sur deux droits, et la différence sera l’erreur dont nous venons d'indiquer les causes.

Ce qui se présente le plus naturellement à l’esprit pour la résolution du triangle, c’est l’emploi des formules enseignées par la trigonométrie sphérique, et, en particulier, celle qui établit une relation entre les sinus des angles et ceux des côtés ; mais la conversion en arc du côté connu en mètres, l'introduction de la valeur du rayon de la terre , puis enfin, le retour des côtés trouvés par leurs sinus à leurs expressions en mètres, et tous les calculs intermédiaires, rendent cette opération beaucoup plus longue que la substitution d’un triangle rectiligne k celui que l’on doit résoudre} substitution fondée sur un théorème de Legendre, dont tout à l'heure nous allons donner la démonstration. La conversion des côtés en arcs et la réciproque ne seraient d’ailleurs rigoureusement exactes que dans le cas où la terre serait parfaitement sphérique. Son aplatissement est cause que la longueur du degré varie avec la latitude.

Il existe une autre méthode qui permet encore l'emploi de la trigonométrie rectiligne : c’est celle dans laquelle on résout le triangle formé par les cordes qui sous-tendent les côtés du triangle sphérique : c’est celle que Delambrc et Mechain ont employée, lorsqu’ils ont calculé la chaîne de triangles qui a servi à la détermination d'un arc de méridien de Dunkerque à Perpignan. Nous n'entrerons dans aucun détail à son égard , parce qu’ainsi que la première, elle est abandonnée, et qu'on ne fait plus ac-

tuellement usage que do celle qui s'appuie sur le théorème dont voici l’énoncé.

407. Théorème de Legendre. Lorsque les côtés d’un trianglo sphérique sont très-petits par rapport au rayon de la sphère, on peut le résoudre comme un trianglo rectiligne dont les côtés ont môme longueur, et dont les angles sont respectivement égaux à ceux du triangle sphérique, diminués chacun du tiers de l’excès sphérique. Les quantités que l'on néglige dans ce cas (car l'énoncé n’est pas rigoureusement exact), ne sont que du quatrième ordre, relativement aux fractions qui représentent les rapports des côtés du triangle au rayon de la sphère.

Soient A, B, C, a, b, c, les éléments du triangle h résoudre; A', B', C', a, b, c, ceux du triangle qu’on lui veut substituer ; il s'agit de trouver les différences qui existent entre A et A', B et B', C et C'. Désignons-les par x, x'.x'1, et nous aurons \=\! -\-x, d’ou

cos. A =cos. (A'-f- fr}«= cos.A'cos.at — sin.A* sin.x.

La différence x étant très-petite, comme nous aurons occasion de le reconnaître par la suite de la démonstration, nous pourrons, en remplaçant sin. x et cosin. x par leurs développements en séries, négliger les termes contenant des puissances de x supérieures à la première, il en résultera

C09.A = cos.A' — x sin.A*

Si maintenant nous supposons menés, du centre de la terre, les rayons qui aboutissent aux sommets A, B, C, ils perceront une sphère concentrique ù la terre et d’un rayon égal à l'unité, en trois points, qui formeront un triangle semblablo au triangle donné : désignons ses côtés par »,p,y, qui ne sont autre chose que

", -, c- et ses angles par les mêmes lettres A, B, C; puisqu’ils

sont formés par les mêmes plans qui déterminent ceux du triangle tracé sur la surface du globe.

Nous aurons dans ce nouveau triangle

cos.at = cos.jS cos. Y -J- sîn./3 sin-Y cos. A.

Les rapports que représentent », p, y. sont très-petits ; nous aurons donc une exactitude plus que suffisante en conservant les quatre premières puissances dans les développements de leurs lignes trigonométriques : il viendra ainsi, en mettant en évidence les côtés donnés a, b, e.

THÉORÈME DE LHGEMDKE.

ou, en effectuant les multiplications indiquées et no conservant que les termes du quatrième ordre,

rl0-— )C08A = <-^ï + n7V-

+ 27» — 24 .ri*’" 2rt 24.r‘*“ 4m

Réduisant et dégageant cos. A de son coefficient

fcv * u7r* JC firî J

Dans le développement du dernier facteur, il est inutile d’aller nu delà du douxièmo terme, puisque le suivant étant de quatrième puissance par rapport à b et à c, donnerait en effectuant ensuite le produit indiqué, des termes do puissances que nous avons regardées comme négligeables : ce développement se réduit

donc à 1 ot la valeur de cos. A devient

fi r»