e.rs

Nous avons posé plus haut

cos.A = cos A' — x sin.A1, donc M =. — j sin.A'.

Digiti2ed by Googlé

,<i Ê0UÊS1E.

En nous rappelant que sin.2 A' = 1 — cos.2 A', nous pouvons écrire

[kï-\-rï—al

$in.2A>=1-f ^ J = - 4627Ï

ou encore

— bt. sin.* A* =

’ * ÏJc

Celte valeur est, comme on peut le remarquer, égale à M multiplié par 6r2, donc M = . et, par suite, en égalant les

deux valeurs de M ,

JC BtQ.A1 = ■

bc. sin.*A*

ou enfin x = 5

bc. s'm. A' 2r*

Supposons, pour trouver ce qu’exprime cette valeur de x, que la figure 298 représente le triangle rectiligne équivalant au sphérique tracé sur la sphère dont le rayon est l’unité : ses côtés seront?, -, ?, sa surface sera s= h ; mais h=~r sin. A', donc

S = î j-f sin.A'.

Si l’on avait cherché x' et x1', on aurait trouvé les expressions

analogues ac ' , £ — ^”‘C- qui représentent également la

surface dii même triangle. Nous concluons d’abord de ce fait que x = x’ = x' , et qu’ainsi

A + B+C = A'+B'+C' + .V OU 3* = A-f-B + C — 200*.

Il est donc démontré que la correction est la même pour les trois angles, et de plus, que 3a: étant l’excès sphérique que nous savons (n°56) exprimer la surface du trianglo tracé sur la sphère qui a l’unité pour rayon , les deux triangles sont équivalents en surface. La même relation existera évidemment entre celui qui est formé sur la terre et le triangle rectiligne analogue. - Il découle encore un avantage de ce qui précède, c’est de pouvoir trouver l’excès sphérique sans l’emploi des trois angles; mais bien au moyen de l’un d’eux et des côtés qui le comprennent, ou au moyen des trois côtés. Comparant donc l’excès ainsi obtenu

autre démonstration par puissant. 387

avec l’excédant des trois angles sur deux droits, la différence sera l’erreur commise dans les observations.

Nous venons de trouver l'expression de l’excès sphérique égale à celle du triangle: mais, comme le résultat doit être une certaine quantité do secondes et non un nombre abstrait, il faut diviser par sin. 1". .

Si l'on voulait l’excès sphérique en fonction d'un côté et des angles adjacents, on remarquerait que .

ce qui donne

A. sin.C b. sin. (A -(-B)

sin. B sio.B

S ou 3e

S* sin. A. siu. (A + B) î. r» ' sin B. sin. 1"

Les deux valeurs de l’excès sphérique que nous venons d’indiquer ne pourraient se réduire en tables, parce .que l’une et l’autre contiennent trois variables.

Dans ce cas, on leur substitue l’expression que nous allons présenter ici et qui, comme celles de réduction au centre et à l’horizon, se compose de deux termes.

On divise le triangle en deux rectangles: la surface de l’un est

exprimée par

A’ sin.A' eos.A' 2R*

. a* sin.B'.cos.B'

et celle de 1 autre par .

d’où l’on déduit pour la surface totale

A1 sin. A' cos.A'4- n1 sin B' cos.B?

, A»sin.2A'-}-(i* sin.2B' S“ 4RÎ

. . » A» 3in.2AM-«J sin.2B'

et par conséquent 3« = r-— tt.

Puissant a placé dans son Traité de géodésie une table calculée a l’aide de celte formule, et qui donne chacun des termes.

On n’altère pas sensiblement la valeur de l’excès sphérique, en négligeant les centièmes, les dixièmes et même les unités, de

a et b, ainsi qtie les minutes et secondes de A et B, en raison du très-grand dénominateur RJ.

Nous avons négligé la seconde puissance de x dans la valeur de cos. A, en faisant pressentir que cela n'apporterait pas d'inexactitude sensible dans les résultats : nous sommes actuellement en mesure do justifier celte manière de procéder, puisque x étant du

deuxième ordre par rapport aux très-petites fractions

son c&rré serait du quatrième ordre. Pour faire mieux sentir encore le peu d'importance de cette manière d’agir, prenons un exemple numérique : supposons que les côtés soient d’environ 40000”. C'est, à quelques rares exceptions près, la plus grande dimension qu’ils aient. Le rapport d’une telle longueur à celle du rayon du globe, qui est 6366000”, est représenté par 0,00628, dont la quatrième puissance est déjà réduite à 0,00000000155, quantité inappréciable.

408. Voici une autre démonstration du mémo théorème, due à M. le colonel Puissant. Soient a, b, c, A, B, C les côtés et les angles d’un triangle sphérique : soient a, 6, c, A , B',C', les éléments d’un triangle rectiligne.

La môme notation pour les côtés des deux triangles exprime sufiisamment que nous les supposons de mêmes longueurs.

On peut toujours prendre A' et B' tels qu’ils diffèrent l’un et l’autre d’une même quantité x, de leurs correspondants A et B. Nous allons déterminer x; et nous trouverons que sa valeur est aussi celle de C — C'.

Dans le triangle rectiligne, nous aurons 7 — -S-IP' ~ et

‘ b un. (B — x)

ÎÜri = ^ans lr‘an8'e sphérique.

Nous savons que a étant un arc de grand cercle sur le globe, ou a

8in.o a rt5 ,

r r 0.rs I20.r5

— etc. ou - = r

i.a , siu.o / a* \

r+6T.“— 0+sij

en négligeant les termes supérieurs à la quatrième puissance.

Cette dernière transformation, qui n'est pas rigoureusement exacte, n'entraîne ü sa suite aucune erreur appréciable, quand il s’agit d’un arc dont te rapport au rayon du globe est assez petit pour que les deux extrémités de cet arc soionl visibles l’une de l’autre.

CORRECTION Ut!? ANGLES. 389

Nous pourrons, en vertu de ce qui précède, transformer la pre mièro équation, de la manière suivante :

sin. a ^

! ‘ Or* J

^ sin. (A — x) sin. A cos x — sin x cos. A’

sin. 4 |

,4+ôT.j

^ sin. (B— x) sin.B cos.x — sin.xcos.B

sin. A

sin.B

1 — long xcot.A 1 — long.* col B

sin.a sia. A

ou encore, parce quo^-— B

et x égale sensiblement lang.x.

1 — x colang. A I — x colang. B

Résolvons par rapport à x, en négligeant les termes de quatrième puissance, nous aurons successivement

(l+ (4— *cot»Dg.B)=(l-|-g^) (4 — colang. A)

et enfin

—j — x colang. B =» I -f- =- — x colang. A

= x 'cotang.B — colang. A)

Uotaog.B — colang. i

On sait que sin, (A — B)=r sin.A.Cos. B — sin.B. Cos. A, et, par conséquent

sin. (A — B)

sut. A sin. B

= cotang.B — colang. A.

Donc enfin ,

a1— ht sia. A sin.B 6.r* ' siu.(A— tyj

Nous voici parvenus à une valeur de x en fonction de quatre éléments du triangle sphérique : ce que nous nous proposons actuellement, c’est de faire voir que celle expression représente le tiers de la surface du triangle proposé.

hc

Soit T colle du triangle rectiligne, nous savons que T = ] -, sin. A', d’ailleurs

(iÊODÉSIE.

b sin.B' sin.B' . , c. sin.B' , t sin.A' sin.B'

c = sm.C sin.(A’+B'j °U sin.(A'-J-Br) • C * r3sio.(A'+B' )

do

sin.A' ; sin.B' ; sin.C',

on lire

; — ! I sin.*A' — sin.*B' ; sin.*C'

ri r* r*

OU encore n« — b* • fî • • sin.A' — sin t' ; sin.1 (Ar -|- B')

par conséquent

sin.» (A' +B') sin.*A'-rsin.*B'

sin.1 (A'+B') sin.(A'+B'j sin.(A'— Br)

= (nî-4‘)

sin. (A' + B') sin. (A' — B')

11 résulte de là, en introduisant celte valeur do C2 dans celle de T, que

t «2 — b * sin.A'. sin.B' * r* sin. (A'— Bf)’

A cola près que A' et B' remplacent A et B, on vpit que la valeur de T est le triple de celle trouvée précédemment pour x , et si l’on remarque que les sinus de ces angles diffèrent très-peu,

* puisque les angles eux-mêmes sont égaux à quelques secondes près ; qu’en outre, ils sont et dans T et dans x, multipliés par la

différence des carrés des forts petits rapports * et * , on pourra

diro que l’expression de la surface du triangle rectiligne est aussi celle du triangle sphérique, et qu’ainsi x en est le tiers ; mais nous savons (n° 50) , que la surface du triangle sphérique = A-f-B + C — (A' + B' + C).

B’ailleurs, paire que nous venons do trouver A, + B -+ G — (A' + B' G') üx •+- x'1 et 2x = * surface du triangle, il suit que x'1 = J surface trianglo — x = C — C'.

109. Supposons quo l’on ait recueilli, sur le terrain, tous les éléments des formules de réduction que nous avons démontrées : voici quelle est la marche des calculs.

La réduction des angles à l’horizon se fait au moyen des deux labiés dont nous avons parlé.

Pour la réduction au centre, on est obligé de calculer les côtés