PROJECTIONS DES POINTS

déterminés parles deux coordonnées MA, AP, que l'on désigne sous le nom de distances à la méridienne et à la perpendiculaire. Dans la projection, on développe la méridienne SN et la perpendiculaire OE en lignes droites, suivant S'N', O'E' ( fig . 302). Sur chacune de ces lignes, on porte des degrés respectivement égaux à ceux du globe, et par les points de division on trace des parallèles aux projections de la méridienne et de la perpendiculaire ; ces parallèles sont considérées comme projections des arcs do cercles.

Le point M' correspondant h M, a pour coordonnées rectangulaires A'M', A 'P'. Si, par exemple, le méridien principal et l’équateur sont divisés de grade en grade, c’est-à-dire si les divisions ont 100 mille mètres, les coordonnées de M' seront 100000" et 300000“.

Pour obtenir les coordonnées des points qui tombent dans l'intérieur de l’un des quadrilatères, il faut déterminer les corrections à faire à celles de l’un quelconque des angles de ce quadrilatère et l’on y arrive par les résolutions de triangles rectangles, ou plutôt encore la latitude et la longitude d’un point de départ étant observées, on les traduit en mètres, ce qui fixe les coordonnées de ce point.

Occupons-nous de placer les sommets des triangles sur la projection, au moyen des longueurs de côtés et d’un premier azimut, c’est-à-dire, detrouver les valeurs des coordonnées A'M', A 'P', en fonction de ces données. Si donc, P'M' est un côté connu, le triangle M'P'A’ fournira les relations suivantes

A 'P' = P'M' cos. A 'P'M'; A'M' = P'M' sin.A'P'.M'

ou, en désignant le côté par K et on considérant les droites VS , O'E', comme les axes des coordonnées a: et y;

x *= Kcos.A'P'M' y = K sin.A’P'M'

L angle A'P'M' est connu en fonction de z : comment expriprimera-t-on ses lignes trigonométriques en fonction de z ? C’est co que nous allons voir en supposant le point M successivement placé dans les quatre angles droits que forment entre eux les axes des x et des y. D’abord, laissons le point en M', et rappelons-nous que les azimuts se comptent depuis 0* jusqu’à 400‘, en partant du sud et se dirigeant vers l’ouest.

A’P'M'=* — 200'; sin.A'P'M' = — sin.s ; co*. A'P'M'*» — cos.i x = — R cos. 5; y as — R sin.3.

Dans l'angle opposé, le triangle A"P'M" donne

VP = K cos AI,1,'M1' el K »in.A"PW"

c’est-à-dire *=4-Kcos.ï el y=+Ksin.s.

Pour M1"; A'P'=Keos.A'P'MW;A'M"/=K»io.A.'P'5l"';

mais A'P'M'"— Î00— z, donc nio.A'P'M'*=-f sin.*; eo>.A'P'M»,=— eos.t

d’où x *= — K cos. s et y = -(-Ksio.ï

Enfin, en considérant la dernière position M,T, nous voyons que ar=-f-E. cos z;y= — K. sin. z. En ayant égard aux signes des coordonnées, on ne pourra donc passe tromper sur la région dans laquelle doit être placé le point calculé.

Celte règle des signes est une conséquence de la convention établie pour la manière de compter les azimuts.

L’extrême facilité du calcul des distances à la méridienne et ù la perpendiculaire, a pu faire adopter ce mode de projection, lorsque toutefois la surface à décrire n'est pas très-considérable. Cassini l'avait choisie pour la France, par la raison que ce pays est plus étendu du nord au sud que de l'est ù l’ouest, el que c est dans ce dernier sens que l'altération est la plus sensible, comme on peut en juger à la simple inspection de la figure 301 .

41i. Pour la nouvelle carte de la France, on s’est servi d une projection plus exacte : celle de Flamstead modifiée. A oici en quoi elle consiste : on suppo^p l’équateur et le méridien principal divisés en parties égales j on imagine des méridiens passant pai tous les points de division de l'équateur et des parallèles à l équateur par toutes les divisions du méridien principal. Pour en avoit la projection, on trace sur le papier, le grand axe CX qui représente le méridien principal rectifié. D’un point Cdc cette droite comme centre et d'un rayon égal à la cotangcnte du parallèle moyen de la partie du globe que l’on veut décrire, de celui du 50e grade, par exemple, s’il s'agit de la France, on décrit une portion de circonférence BAE. Tous les autres parallèles sont représentés par des ares concentriques décrits du même point C, à une distance l’un de l’autre égale à la partie rectifiée du méridien comprise entre ces parallèles sur la terre : on prend ensuite, sur chacun des parallèles, lés degrés de longitude, tels que les donne la lÿi de décroissement de l’équateur aux pôles, c'est-àdire proportionnels aux rayons de ces parallèles ou au cosinus de