PROJECTION DES POINTS

leurs latitudes. Enliu, on fait passer, par chaque série de points correspondants, une ligne courbe qui représente un méridien, et tous les autres s'obtiennent de la même manière.

Soit A ( fig . 305) un point dont la latitude est 50", et AC une tangente au méridien MP passant par ce point: AC est évidemment la tangente de l’angle AOP complément de la latitude : elle est donc la cotangente qui, comme nous l'avons dit plus haut, doit être le rayon de la projection du parallèle moyen. Dans le cas particulier que nous considérons, elle est égale au rayon de la terre, puisque, dans le triangle AOC rectangle en A, l’angle O étant de 50s, l’angle C lui est égal.

La même figure fait voir encore que le rayon Fl) d’un parallèle quelconque sur le globe, n'est autre chose que le cosinus de sa latitude. EdOh, AF étant rectifié sur AC, le point F vient en F', et CF' est le rayon de la projection de ce .parallèle.

Dans la pratique, il est souvent impossible de'tracer ces arcs do cercle d’une manière continue. Ainsi, le rayon de la terre, supposée sphérique étant G36G198", pour une carto de la Franco à l’échelle de 0,00001, le rayon du parallèle moyen est égal à 63'", 662. Afin de remédier à cet inconvénient , on a imaginé de calculer, pour chaque parallèle, la position sur le plan de projection d une suite do points également espacés, et assez rapprochés poor que le petit arc compris entre deux points consécutifs puisse être sans erreur sensible, considéré comme une droite. On rapporte cette position aux axes CX et CY ( fig . 30V). Le premier est le méridien principal, le second est une droite perpendiculaire passant par le centre commun C.

Proposons-nous de déterminer la position d'un point tel que F, on supposant la terre sphérique et sa circonférence égale à V0 millions de mètres.

Soient 11=6366198'” le rayon de la terre.

L, la latitude du parallèle moyen BAE que, pour généraliser la question, nous ne supposerons pas celui de 50», mais quelconque, l, la latitude du parallèle FDK,

P, la Iongitudo du point F.

Cherchons CG, FG ou x et y en fonction de P et de l, longitude et latitude de F. On a, en désignant l’angle FCG para,

* x =* CF, cos <x% y = CF. sin.ot.

Mais CF= CD C.\ - AD c=,R coung L - AD.

AD est le développement de l'arc /— L du méridien, compris entre le parallèle moyen et le parallèle FDK. Cet arc sera évalué en mètres, d'après la relation , 1 grade en latitude = 100000 mètres.

En appelant M le nombre de mètres contenus dans AD, nous aurons

CF = R cotang.L — M

Pour déterminer l’angle a correspondant à une longitude P sur le parallèle qui a pour latitude l, nous ferons remarquer qu'un arc quelconque de ce parallèle est dans le développement, représenté par un autre arc de même longueur, mais de rayon différent, et qu’ainsi les amplitudes de ces arcs sont en raison inverse des rayons (*): or, l'arc du parallèle qui contient un nombre de grades marqué par P, a pour rayon R, cos. I, L’arc du développement qui a même longueur et qui contient un nombre do grades désigné para, a pour rayon R.colang. L— M : donc on a la proportion

Rcotang.L — M JR cos.t "Pîa d'où a = P~ — — -

R. colang.L — M

Substituons les valeurs de CF et de a dans celles de x et de y, et nous aurons

■v= (R colang.L — M) cosin.

P.R. cos.t R colang.L— M

jr= [R colang.L — M) sin.

P.R. cos.t R colang.L — M

Réciproquement, connaissant les coordonnées x et y de la position sur le plan de projection d'un point F, il serait facile de

trouver sa latitude et sa longitude : car on a CF = Cl) — =

siu.s

et I angle a peut être déterminé par la relation tang.a =

l ) Les arcs DF, AB ( ftg . 30C) sonl supposés do même longueur : nous voulons fairo voir que les angles qu’ils sous-tcndcnl sont en raison inverse des rayons. D'abord

AB : DE : : AC : CD ; on a aussi DF : DE ; ; DCF : DCE.

D’ailleurs AB = DF, donc AB : DE ; : DCF ; DCE, el, il cause, du rapport commun, DCF : DCE ” AC; CD.

Les angles DCF, DCE étaut mesurés par les arcs AB, DF, il s’ensuit que le nombre Je grades compris dans chacun de ces arcs ou leurs amplitudes sont en raison inverse des rayons avec lesquels ils sonl décrits.

Ensuite, on a M ou CA — CD := H eolang.L — | qui, converti

en arc, au moyen de ce que 1 ■ vaut 100000"', fera connaître la différence de la latitude entre le parallèle moyen et celui sur lequel se trouve le point considéré, et par suite la latitude de ce point.

Enfin, tirant la valeur de P de l'équation a = P R M

nous aurons P = a n oManp.L — m jouj egj connu ,jans ]0 sec0mi

R. cos.)

membre.

Les valeurs des coordonnées a: et y des points d'intersection de tous les méridiens et parallèles de décigrades en décigrades, ont été calculées et misessous forme de table par Plessis. Elle fournit donc le moyen de passer des latitudes et longitudes aux distances à la méridienne et à la perpendiculaire, et cela en tenant compte de l'aplatissement jjj, et non, comme nous l avons fait dans la théorie précédente, en supposant la terre sphérique.

Pour placer sur la projection un point O qui tomberait dans l'un des quadrilatères ABCD ( fig . 807) dont les sommets ont été déterminés au moyen des tables, il suffit, dans la mprcho que nous nous sommes tracée, d'exécuter une double interpolation graphique : ainsi, par exemple, soient pour le point O, latitude— 50», 0536w ; longitude=r0s,05‘20 : on prendra sur AC et 11D, considérés comme unités, des parties DE, CF, proportionnelles h 0,520, on joindra les points F et E, G et H, et l'intersection O donnera la position du point d’une manière très-approchée. (Foir, pour plus de dé tails, chap. X, n0’ 481 et i82)