fi
v/ A*~B* = ^ = * = 0,0804 et '4 = 0,00323401 A A t
correspondant à
“T~ = i^ô “ °’003î36 et jp-(< +»,«»»*••. IL)*
l'n méridien est donc une ellipse dans laquelle le petit axe diffère du grand de jjj et dont l'excentricité est égale aux 0,08 du demi'grand axe. .
430. On peut encore arriver <i l'expression du rayon de la terre en fonction de la latitude par la méthode suivante.
On sait que tang.L — ^ ou tang.*L = ^£ , mais de A2y2-f- B2x* = A2B2 on tire y 2 = ’ et cn substituant dans la
valeur de tang.2L, tang.2L — A
OU B2x* tang.’L = A* — A*x*
et x* = —
• A*+B*taDg.*L A* (4+(4 — **)tang.*L) 4 -f- (4— e') lang.*L
De même, pour avoir la valeur de y2, on substitue dans
tang.2 L = , celle de a* tirée de l’équation do l'ellipse.
11 en résulte
lang.-L = yij ’ Bl lang.*L — B2y* lang.JL •= A2y*
y, B* tang.'L A* (4 — e»)* lang.’L A* (4 - a*)*tang.U.
A2 + B* tang *L » + A*'(4 - /2)lang^L~4 + (4 — a*)Ung.2fc
d oit ’ m fl + (1 ~ «»)»ta»g.2L\
\4 + (4 — a*) lang.»lj
(JÊODÉSIE,
Cette expression du rayon en fonction de la tangente de Lpeut être ramenée à celle trouvée § 428 en fonction du sinus. Pour cela, développons (1 — e2)2 en négligeant le troisième terme qui serait du quatrième ordre par rapport à e,
/1+(t — 2e*) l»ng.*L\ /l + Ung.«L — 2c* t»ng.*L\ — e») laug.»L ) V* + laug.*L — «* UJig.*L/
Et parce que 1 -t- tang.2 = séc.2,
/aéc.*L — 2c* lang.*L\ ^séc.*!. — c* long.*!,/
» t . . , sin.2
s6c-2 = ^ct tan8-2=z^
pliant haut et bas par cos.2, transformer la valeur de II2 ainsi qu’il suit :
. /t— îo,sinlîL\
Ri = A» I ]
— e * siu .*LJ
nous pouvons donc, en multi-
431. Expression des rayons vecteurs pour un point quelconque . Nous avons vu n° 410 que l’expression des rayons vecteurs est
** <= y* 4- (jt dt c)» = y* + i* i Îcjt -{-ri
Nous avons aussi trouvé, n° 425,
y=— Nsin.L, *=N eos.L
Ainsi,
ou s*
et parce que
— N* sin.*L + Ni cos.»L -f A»e« ± 2AeN cos.L * N»
— (R«sin 2L + A 4 tos AV ± îAeN eos.L
fc ^ [A4 — (A* — B<) sin.JL] + A***±®AeN eos.L
= m [4 - (^8 - H) sin*2Ll + Av* ± UeN eos.L
introduisant la valeur de N,
A« ri —•{!?*' — «‘Jsin.iLJ . ,
t - fi sm.'L [rrsffisj*
BAYONS VECTEURS. 419
Réduisons les deux premiers termes au môme dénominateur
(4 ?p« 5in.*L + e< sin »L 4- e* — e* «in.«L 2A«« cos.L
= 1 — <■« sin.L — (1 — e» sin.L)l
A» (( + «» — 2c* sin.’L)^ 2A’c cos.L ** — 4 — c* sin.’L — (i e»9în.»L)l
: cos.L
(4 + **X4 - 2 sin.’L)(4 - e* im.tL) ± !
2e cos.L ~1
(4 + e> cos.îL) (4 - «• s.n.*L) ±{)#t rf„ ,Ljï J
et enfin, en prenant les deux premiers termes du développement de la puissance — 1, effectuant le produit et négligeant le terme en e4.
s* =A* [(4-f-e* cos.îL + c* sin.»L ±cle.)= A* (4+ «* (cos.îL -f-sin.*L) dr etc et parce que
cos.îL = cos. *L — sin.*L,
i« = A* t-(-c»co8.*Ld;
2c cos.L \ — «* sin.'Lîv
Cl*-)
Nous pouvons aisément vérifier cette double valeur de z , en supposant d’abord L=o, d’où sin. L=o, cos» L=i, ce qui réduit la formule à
s* = A*(1-f e*±2c).=A« (4±«)*, et i ^ A (4 ± c} -= A ± A«= A ± G.
C'est ce qui a lieu en effet dans l'ellipse, pour les extrémités du grand axe.
Si nous supposons L=100", alors sin. L— 1 et cos. L=o.
Nous trouvons, comme cela doit être, z = dtA.
Pour la latitude du parallèle moyen, on a sin.2 50=cos.250=-|, et par conséquent
fî
llKr'l 2— <-*/
On peut encore simplifier l’expression de z 2 fournie par (u):en effet, en chassant le dénominateur du troisième terme dans la parenthèse, par te moyen employé déjà si souvent, ce terme devient 2e eos. L (1 i e2sin.2 L), et peut se réduire h 2e cos. L, puisque le terme que l’on néglige e2 cos. I. sin.2 L est du troisième
ordre par rapport ke, et contient deux autres facteurs plus petits que l'unité. Nous sommes donc en droit d écrire
î»=A* [(l+e*eos.,L)±2«eos.L]=i»(< ±ecos.L)« et z = A (t ±e cos.»L)
On y trouve également
pour L = o, et co.s.L=l
pour L=1l>0, tas. = o
pour 1.= 50, cos. = v\
que s«A(4±r) que î = A*
| ï = A(t±eV|)
| et ï»=A« (t -H«*±2eVT)
432. Autre méthode pour déterminer les rayons vecteurs. Nous pouvons encore déduire la valeur de s d'une autre considération puisée dans les relations qui existent entre les différentes lignes de la figure 325 : en etTct , le triangle OM f dans lequel les côtés sont H, Z et C, et dont nous désignerons pour abréger, l’angle en O par a, f représentant le foyer, nous fournil l'équation Z2 = R2-(-C2 — 211C. Cos. a ou plutôt Z2=R2-f-ÇJdb RC. 2Cos.a (t ), parce qu’on considérant le triangle OMF' pour avoir le second rayon vecteur, il n’y aurait que le signe du cosinus 5 changer, en raison de ce que l’angle en C, dans cette seconde circonstance, seraitle supplément de celui que nous avons considéré d’abord.
Le triangle OMP nous indique que R cos. *—x, et nous trouvons encore dans MRS que N. cos. L=x, d'où N. cos. L=:R. cos. a. Nous allons substituer celte valeur dans (1), tout en déduisant en passant, cette conséquence, que le rayon et la normale d’un point quelconque du globe, sont réciproquement proportionnels h leurs inclinaisons sur l’équateur.
Revenons à Z2 qui devient Z2=R*-t-C2±2NC. cos L.
Remplaçons R, C et N par leurs valeurs, et il viendra
-A»f cosX (I — p*sin.,L^
/. , , . cos.L \
433. Détermination du rayon de courbure d'un ellipsoïde de révolution.
Le cercle osculateur est le plus grand de tous ceux qui, rencontrant la courbe en un même point sans la couper , ont leurs centres placés sur la normale au point do contact. On peut dire
