RAYON DE COURBURE
encore que c'est le cercle qui a trois points communs avec la courbe : ces points étant supposés infiniment rapprochés. Nous allons, comme nous venons de le faire pour plusieurs autres lignes remarquables, en chercher l'expression en fonction d'une seulo variable, la latitude et de quantités constantes.
Pour cela, nous prendrons les équations de l'ellipse et du cercle: puis, nous les combinerons de manière h éliminer les coor-' données du centre et du point do contact, afin d’arriver h une expression du rayçtn du cercle, indépendante do ces quatre variables.
Soit(x — «p-Ky — l'équation du cercle osculateur,dans
laquelle a et ? représentent l'abscisse et l’ordonnée, et y le rayon.
Différencions deux fois cette équation, et nous aurons (* -«) + (y- o
représentant j-r Par P> j Par *' vient
«—■-.gft+gà et y-iüri’1
Pour faire voir que les deux courbes se confondent dans un espace infiniment petit, nous allons tirer aussi de l'équation de l'ellipse les valeurs do % et jji nous *es égalerons à celles trouvées ci-dessus, ou , ce qui revient au même , nous les substituerons h p et q dans la valeur de >.
L’équation do l'ellipse est a2y1-\-lPx-=a2b2 .En la différenciant, nous trouvons
tlu 6*x
b*xdjc=aû d OÙ —• =
dx a*y
C’est la tangente trigonomélrique de l'inclinaison de la tangente li l’ellipse sur l’axe des x ou la cotangento do la latitude correspondante.
Nous pouvons donc écrire
eolang.L
Digitiz
Prenons la différentielle seconde : il viendra
I rf’x
r/y* . d.rd*u — r/y t
£+“*» ~lhrîT~
OU
a* 'ii °*y
Ar ) A» Ar»
El, en négligeant le quatrième terme comme différentiel du troisième ordre,
O4 fl4
1 + 77, |,»lang.«L + j-, » ? — «
mais
donc
fl*
— y => N srn.L ^n» 425)
I + 7; colang.’L-f-Nfin. 1,9 = 0
OU
t + r, MM N. sm.L.
Il n’y a pas h tenir compte de ce signe moins; c’est la valeur absolue que l’on introduit dans celle de y. Le signe moins en
avant de L indique que la courbe présente sa convexité à
l’axe des x, tandis qu’affectée du signe plus, cette expressiob fait voir que la partie convexe est tournéo vers l’axe des abscisses.
En introduisant p et q dans >, nous trouvons
A> sin 4L -)- o» ro«.4L
(I -f- rotang.» L) * . co*ée.3L
y = — — .V sm.L =
. ^ colang.» L
* 6»N As\
h* sin.» L 4- a* c#s.*L — a4 — sin.»L) 4-4* sm.’L
N sm.L.
et enfin parce que
a» (I — f« sin.4L)
(I — «4 sin.4 L)*
Ai — a«(L — c»!
et
(I — c4 sm.4L)4
434. Nous allons donner ici quelques applications numérique» de la formule qui détermine le rayon de courbure.
Cherchons d’abord 5, en supposant l.=0\
RAYON DK COURBURE. 423
Le dénominateur devient nul, et la formulo se réduit U
Prenons a = 6376606™, comme l’indique Laplacc, quoiqu'il suppose l’aplatissement égal à ~ : nous savons que
e» = 0, 006463 d’oil 1 ««== 0,993538
log. a = 6.8045890
log. (!—«») B 9.9971845
log. n (I - <•*) = 6.8017743 donc y = 6333400“.
Faisons Lpi.lO*, nous aurons, pour trouver la valeur correspondante de y, les calculs suivants :
log. r« = 7.8103670.
2 log. sio. 30' = 9.3140936
log. o* sin. 30* = 7.1244606
c» sin.* 30* = 0.0013319
1— e» sin.» 30* = 0.9986681
log. (I — e* sin.» 30*) = 1.9994597
log. (I — e» sin. *30' j* = — 1 .9991 298
donc
log. a(l — et) = 6.8017743
log. (I — e»sin.»30*J* = ï. 9991 298
cl y = 6348109“
Pour L=50ï, le sin.2 L = J et la formule devient
et
et
fl (1 — «**)
or
- =0,003231 . 1 — y =0,9967090 donc log. ^1 — y ™ ï. 997891 9
log. <i (I — ««) * 6.8017743
!og. (l — = î.9978919
log.f
Tour la latitude L=70‘.
• log. «* = 7.8163070
