IH
K sin.
Pour justifier cette simplification, il Stiflit de remarquer que A diffère toujours trop peu do 100", pour qu'on no puisse pas prendre son sinus pour le rayon ou l'unité , surtout quand il est lo
coefficient d’une fraction aussi petite que — .
Dans le cas le plus général, celui où l’instrument est au-dessous du point de mire, la correction est additive, comme l’indique la figure : elle se retranche dans lo cas contraire , et est presque toujours bien moindre dans cette dernière circonstance : en effet, dans le premier cas, elle dépend de la distance plus ou moins grande à laquelle la disposition de l’édifice ou du signal permet de placer l’instrument par rapport au point de mire. Le second cas ne se présente que pour des monuments terminés par une plate-forme ou une balustrade, ou pour des signaux construits en pierre et dont la forme est celle d’un cône tronqué. En visant des autres stations, on a fait coïncider le fil horizontal de la lunette avec la ligne horizontale suivant laquelle on aperçoit la plate-forme , la balustrade ou la basé supérieure du cône tronqué. Quand ensuite on s’y transporte, pour faire les observa- •tions, 1 instrument est placé sur la partie visée, et le dH n’est autre chose que la hauteur de l'instrument.
4-41. Il n’est pas toujours facile de mesurer immédiatement dH ; alors, on peut prendre une base CB (fig. 334) partant du pied de l’édifice ; du point B observer les distances zénithales de A et a : se servir de leurs compléments pour résoudre les deux triangles rectangles CBA. CBa, dont les deux côtés verticaux sont les hauteurs du point de mire A et de ( instrument a au-dessus du sol Leur différence donne dH.
UÊOUCSIE.
Nous avons supposé horizontal le terrain sur lequol repose le signal : s'il est incliné, il faudra d'abord réduire la base à l'horizon.
Si l'on ne pouvait aborder C, projection du point de mire, on prendrait, sur un terrain favorable et à une distance arbitraire, une base B’B (fig. 335), quèTon mesurerait avec soin. Des extrémités on observerait les distances zénithales de A, qui seraient les compléments des angles ABC, AB'C, puis les angles ABB* , AB'B. Au moyen de ces deux derniers et do la base, on obtiendrait les longueurs de AB et de AB', parla résolution du triangle ABB : puis ensuite, pour trouver AC et si l'on veut BC et B'C, on calculerait les deux triangles rectangles ABC, AB'C, dans lesquels on connaîtrait l'hypothénuso et l’un des angles aigus. La hauteur AC serait d'autant mieux déterminée, qu'elle serait don- • née par deux calculs. On agirait de mémo à l'égard du point a.
Voici encore une méthode que l’on peut employer, lorsque l'on est dans une (lèche peu aiguë. On mesure deux rayons AO, DE (/Ig. 335) à une distance OE ou II , que l'an mesure aussi ; les triangles semblables ABO, DBE, donnent
ao:de::*+h:<t ou ao— de: de;:a;x, d’où enfin x = — I)lj .
442. Erreur de réfraction. La seconde cause d’erreur est due à la réfraction. On sait qu'un rayon lumineux, en passant successivement dans des milieux qui augmentent de densité, s'infléchit, parce que l'angle que fait sa direction avec la normale, diminue sans cesse (Livre IV, n° 287). C’est effectivement ce qui a lieu dans l'atmosphère en raison de l’accroissement progressif de densité. Si l'on est placé plus près du sol que le point visé, le rayon lumineux qui en a produit la sensation, se rapproche constamment de la normale, en raison.de ce que la densité de l'air augmente. Le contraire a lieu, c’est-à-dire que l'angle que fait ce rayon lumineux avec la normale, s’ouvre de plus en plus, quand le point visé est moins élevé que la personne qui le contemple. Dans l'un et l'autre cas, la courbe que fait le rayon lumineux présente sa concavité à la terre. Ainsi, pour l'observateur qui, placé en A, voit le point B f fig. 337), ce n'est pas le rayon lumineux parlant de B cl dirigé d abord suivant BA, qui a produit la sensation ; car il s'est courbé et a rencontré la terre en deçà do A ; c’est donc un rayon représenté par une courbe dont AB est la corde, et l’observateur juge le point B en B suivant la tangente au premier élément de la courbe. L angle ZAB qu'il observe n'est par con-
NIVELLEMENT ÜÊODÊSIQIE. 433
séquent pas la vraie distance zénithale. Nous allons voir comment on calcule l’erreur angulaire B AB' dont elle est affectée, après avoir remarqué en passant , et comme nous le justifierons plus tard, qu'elle n’a d’influence que sur les différences de niveau calculées à l aide d’une seule distance zénithale.
Nous allons d’abord faire voir que l’état de l’atmosphère étant le même, l’erreur de réfraction est proportionnelle à l’angle au centre O. Si les distances des points A et B au centre du globe , différaient beaucoup l’une de l’aulre, il est évident que les accroissements successifs de O produiraient des accroissements beaucoup plus rapides pour la trajectoire; mais il en serait de même aussi de AB ou K, et l’on ne pourrait pas dire que celte ligne mesure l’angle au centre : celle circonstance ne se présente pas. Les plus grandes différences do niveau que peuvent atteindre les aspérités du globe sont toujours, pour deux points visibles l’un de l’aulre, telles qu’il n’y a pas^rôi de différence entre AO et BO. S’il s’agit de deux points dont la différence de niveau soit très-grande, 500“ par exemple, il n’y aura que entre AO et BO. De là , nous pouvons déjà conclure que la trajectoire est proportionnelle à l'arc terrestre correspondant; mais une autre conséquence quo nous pouvons en tirer encore , c'est que la trajectoire se confond très-sensiblement dans toute son étendue avec son cercle osculatcur : ainsi, nous dirons que l'angle r ou BAB/, apour mesure la moitié delà trajectoire : l'angle r est donc proportionnel à cette courbe, il l’est donc enfin à l'angle au centre.
Nous voici en droit d écrire r=rnO:*le coefficient n étant constant pour un même état de l’atmosphère, et variant toutes les fois qu'il y a quelque changement dans les causes qui influent sur la densité de l’air.
On est naturellement porté à demander comment il se fait cependant que la réfraction soit plus grande pour un point très-éloigné et fort peu élevé que pour un autre qui, plus voisin, est situé dans une région supérieure de l’atmosphère. Ce dernier traverse en effet un plus grand nombre de couches, mais on ne remarque peut-être pas que, moins oblique alors, il dévie moins dans chaeuno d'elles que lorsqu'il suit une direction plus voisine de l'horizon.
Pour levor cette difficulté, qui n'est qu'apparente, rappelons ce principe certain d'optique
«ut.l . 1 .
— r — «. ou Jin R = — sin.I
sm.R n
OÉOltftSIE.
ou encore
>io.I — sin.R^sin I
On sait que les densités des couches suivent une progression géométrique décroissantej depuis celle qui touche au sol jusqu’à la plus élevée (coir plus bas la détermination des hauteurs, au moyen d'observations barométriques). On a donc
d;d’ ; d1', etc.
OU
d d> d" d7'adi"'
de manière que l’indice de réfraction, qui est fonction du rapport des densités, est bien constant pour toute l’atmosphère.
Le coefficient — étant constant, la différence sin. I — sin.R
sera d'autant moindre, que I sera plus petit. Il en sera de même entre I et R, quoique dans un autre rapport.
Ceci suffit pour prouver que le polvgono ou la trajectoire formée par le rayon qui se brise à chaque instant, est d’autant moins courbe, qu’il part d’un point plus élevé pour arriver & l’œil de l’observateur. Ainsi , en supposant une suite de points situés sur la môme verticale, la plus grande réfraction aura lieu pour celui qui est le plus près du sol, tandis que la plus petite correspondra à l’objet le plus élevé dans l’air.
Imaginons actuellement un nouvel objet situé au niveau du plus bas de ceux que nous venons d’envisager, mais plus éloigné que lui.
Les rayons’qui, par suite de la réfraction, les feront voir l’un et l'autre h l’observateur, traverseront le même nombre de couches et précisément les mêmes. Celui qui vient du point le plus éloigné est plus voisin de l'horizon ; il arrive sous un plus grand angle d’incidence et a, par conséquent, subi une suite de brisures plus considérables. Pour lui, en effet,
adonné, pour chaque changement do direction, une quantité plus grande.
Il nous paraît bien constaté maintenant que la réfraction augmente avec les distances horizontales et zénithales.
Nous plaçons ici une suite de calculs qui, quoique basés sur un indice de réfraction arbitraire, feront sentir la marche de la réfraction, eu égard h 1 incidence.
NIVELLEMENT GÊODÉSIQUB.
Supposons que
ou, en d'autres ternies, que l'épaisseur des couches et le rapport de leurs densités donnent
sin. I sin. R
sin.R b— sin. Il
Puis, attribuons à I différentes valeurs de 0* à 100*.
Log.R =log.I-f-coin. !og. — 10
log. 100 = 2.00000 — log. 99 = 1.97504
log. n = 0.00430 col. log. » = 9.99564
'hHq'J sin. 1 = 0, sin. R = 0
1 = 10* log. sin. 10= 9.19433 R = 9.89 cot. log. » = 9.99564
différ. =0.14 log. sin. R = 9.48997
I = 20. log. sin. 20 = 9.48998 R= 19.79 9.99564
différ. =0.24 log. *sin. R = 9.48562
1 = 40 log. sin. 40 = 9.76922 R = 89.54 9.99564
différ. = 0.46 log. sin. R = 9.76486
