log. sin. 90 = 9.99462 R
différ. = 3.83 log. sin. R = 9.99026
l. = 100. log. sin. 100= 0.00000 R= 91.97 9.99564
différ. = 8.03 log. sin. R = 9.99564
Réciproquemeutb R=100‘ correspond 1=91,97 et, en général.
dans tout ce qui précède, si les angles représentés par R doivent indiquer les directions du rayon incident, l' exprimera à son tour les réfractions correspondantes, puisqu'alors n doit être remplacé
par — : ce qui signifie que le rayon se dirige de bas en haut, ces
résultats, qui d'abord sont basés sur un indice arbitraire et réellement beaucoup trop fort n'ont qu’un but , celui de faire voir que nulle au zénith, la réfraction croit de plus en plus jusqu'à l’horizon.
La réfraction horizontale n'est moyennement que de 64 50 , tandis que notre exemple lui attribue 8g, 03.
On a construit des tables de réfraction, en s'appuyant sur un très-grand nombre d'observations. La loi qu'on ena déduite n’est pas aussi simple, à beaucoup près, que la propriété sur laquelle nous nous sommes appuyé pour nos calculs, surtout entre 85g et 100«. C'est alors qu’une multitude de circonstances diverses, la température, l'attraction, etc., rendent la question très-délicate et très-difficile.
C’est précisément vers la limite 100,, à quelques grades près, soit en plus, soit en moins, que se présentent les distances zénithales en géodésie.
Nous le répétons encore : notre but était seulement de faire voir que, quelle que soit la loi réelle, il est toujours vrai de dire que la réfraction croît avec les distances horizontales et zénithales.
443. En déduisant la valeur de n, coefficient de la réfraction, des observations faites avec une valeur particulière de K, elle sera la même pour les corrections à faire à toutes les distances zénithales observées dans un état analogue de l’atmosphère.
Pour atteindre ce but, remarquons, qu’eu égard au triangle ABO, nous avons (fig. 338)
A-fr=B+0. A'-fr'=A + 0 d’où û + A'-fr-f r’= A + B-t-0-|-0 — Î00« + 0
Pour ne conserver que les iuconnues r et r' dans un membre do l'équation, et en supposant les distances zénithales observées simultanément, auquel cas r = r ’, nous écrirons en divisant le lout par 2
r= tOO-f £ — A+A'
Telle est l'erreur causée par la réfraction dans ce cas particulier : niais, au moyen de ce que n = jj, nous trouvons
Si les observations ne sont pas faites au même instant, la valeur trouvée pour l’erreur de réfraction est une moyenne entrer et r' ; mais on peut s’en contenter, parce que ces quantités diffèrent peu l’une de l’autre.
Il est à remarquer que O doit être exprimé en secondes pour que l'expression de « soit homogène : elle sera alors un nombre abstrait, puisque le numérateur et le dénominateur exprimeront des quantités de même nature. La valeur de O que nous devrons
substituer sera donc .
R.sm.t "
et la formule deviendra
too* — — t— +
2R. sin.t ''
R.siu.l "
ou en réduisant
(tOO — A.+ ,A'.j R.sin.t"
Appliquons la formule ci-dessus à un exemple, et supposons K=Ï8#>4»,75 ;=t00*.27î8" g '=.99*, 9596" alors 100—
log. {-H62") = — 3.0762763 log. R. = 6.8045305
log. sm.l'i =• 4,t96H99
Cl. log. K <= 5.5450828
Ce logarithme appartient au nombre 0,4188 qui, retranché de \ ou 0,50, donne n=0,08l2 ou 0,08, et enfin r=0,08x0.
Telle est la valeur moyenne du coefficient de la réfraction : rarement il descend à 0,07 ou monte ii 0,10,
Nous n'avons opéré ainsi que pour appliquer la formule dans toute sa généralité ; car on procède d'une manière beaucoup plus
simple, en so rappelant qu’une seconde centésimale sur le globe, vaut 10™, et qu’ainsi il suffit de retrancher un chiffre vers la droite dans le nombre qui représente K, pour le transformer en- .secondes, et par conséquent avoir O.
Ainsi, en reprenant les données précédentes, nous aurions trouvé que le numérateur de l’expression n est égal à 233", et le dénominateur à 2850 ', 47.
log. 233 = 2.3673559
a. log. 2850,47 = 6.545* 765
Ce logarithme correspond b 0,0817 ou 0,08, que nous avons également trouvé pour n par la méthode précédente.
Nous pouvons, connaissant le coefficient de la réfraction , trouver facilement l’amplitude de la trajectoire : car, ayant posé r=\ trajectoire, et sachant que r=0,08XO, il s'ensuit que l’amplitude de la trajectoire est égale aux 0,16 do l’angle au centre.
Si, par exemple 0=50', on aura le trajectoire égale b8'.Tout h l’heure, nous avons supposé K=2850 ' : dans ce cas, l’amplitude de la trajectoire est 456".
Puis, ensuite, si l’on veut connaître le rayon de courbure de la trajectoire, on remarque qu’elle est sensiblement de môme longueur que l’arc correspondant K, et qu'ainsi les rayons sont en raison inverse de l’amplitude des arcs : d’où le rayon de la trajectoire est égal à 39788785 mètres.
Puisque l’erreur causée’par la réfraction est fonction de l’angle au centre ou, en d’autres termes, de K, on ne doit en tenir compte qu'autant qu’elle n’est pas très-petite par rapport a l’approximation que donne l’instrument dont on se sert. L’an? d’une seconde sur la terre ayant 10 mètres do longueur , il s’ensuit que si
On voit par lb, que cetlo correction est presque toujours superflue dans les opérations topographiques b moins que la distance entre les points ne soit do 10000m environ, et que l’on emploie un éclymèlre donnant la minute.
Nous n’avons pas cru devoir donner, dans ce chapitre, plus de
DIFFÉRENCE DE NIVEAU
ni
développement à la théorie do la réfraction. Ce sera mieux sa place dans le livre VI, où se trouveront groupées les principales questions d'astronomie, que doit connaître un officier chargé d’opérations géodésiques hors de France, lorsqu'il estentièrerement réduit à ses propres ressources.
444. Calcul Je la différence de niveau entre deux pointe au moyen des distances zénithales réciproques. Nous avons actuellement toutes les données nécessaires au calcul dft différences de niveau, soit que l’on emploie deux distances zénithales, soit que l’on ne .puisse faire usage qub d’une seule : dans ce dernier cas, en effet, on doit tenir compte de l’erreur de réfraction. Dans le premier, il suffit de rendre réciproques, les distances zénithales, en les réduisant aux sommets des signaux, et d’employer A et A', angles observés : car c’est leur différence qui, comme nous le verrons bientôt, entre dans la formule. Or, nous avons vu que A — f — ret a' =d — r, d’où il résulte a — a '=/■ — /'.
Soient A et B les deux points dont on veut connaître la différence de niveau BC (fig 339) ou dN. Considérons le triangle ABC dans lequel AC est la corde qui sous-tend l’arc de cercle compris entre les verticales des points A et B : il fournit la proportion
sîn. B : sin. A :: AC : BC de laquelle on tire dN = K {l )
MU. Il
Nous connaîtrons dN lorsque nous aurons déterminé A et B D’abord, en appelant A ', l’angle BAO pour ne pas le confondre avec BAC que nous avons désigné par A, nous avons, A=A' — A", en représentant aussi par une lettre unique A", l’angle CAO qui a de mè ne son sommet en A
A' est le supplément do t : A1' appartient au triangle isocèle CAO et est par conséquent égal h 100 — ~ ; nous pouvons donc écrire
A = 200— /- A 00 — 2) = 1oo + ^ — /.
Si, ensuite, nous nous reportons au triangle ABO dans lequel A'=200 — /, B=200 — /'.nous voyons que A'-t-B+O=200 ou 200— /+ 200—/'+ 0=200.
En réduisant 200 + O = / + <f' et 100 + -^ = ; sub-
stituons dans la' valeur de A, et nous aurons pour résultat
Pour trouver B remarquons, & l’aide du triangle ABO, que B— 200* — A'— O; mais
■tl T- O
donc
et en réduisant
B<s»îoo-i~-ioo+Y-°
Substituons ces valeurs de A et B dans l'équation (I), elle deviendra
dNc=K
