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sin.,r

ou parce que sin. *= — sin. ( — x).

«in.l (/' — /) sin. -

sin./'

et parce que 2R sin. ^ = K,

sin./'

On pourrait conserver la valeur de dN sous cette forme trèssimple, et en faire usage, on négligeant même le dénominateur que l’on considérerait comme égal h l’unité; mais nous pouvons

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la ramener à être identiquement celle trouvée par la première méthode. Pour cela, nous emploierons la valeur de B indiquée

■jH — ^ — 1 que nous déduirons également de celte considération.

B = 3 — O et B = îOO - 8' d'où, en les ajoutant

îB=?00-(S'+8)-O et b=100-(j + 5^

et puisque sin. B = sin. f, nous pouvons modifier le dénominateur de la valeur de t/N, et écrire

446. Calcul de la différence de niveau au moyen d’une seule dislance zénithale.

On peut bien avoir les deux distances zénithales réciproques pour tous les points du premier et du second ordre, parce qu'on y fait station : mais il n'en est pas ainsi pour les points conclus; il faut donc trouver une formule dans laquelle il n’entre qu'une distance zénithale. Ici, il est nécessaire de corriger l’erreur de réfraction. Si les points étaient très-rapprochésl’un de l’autre, on se servirait de la formule dN — K.Cotang. a (Livre III, n“184): mais, pour peu que le côté K soit d'une dimension un peu plus étendue, il faut, pour avoir égard h la sphéricité de la terre et ù la réfraction, modifier cette formule. On ne peut plus considérer la base AC '{fig. 340), comme se confondant dans toute son étendue avec sa tangente AC' menée par le point A. C’est alors BC et et non BC', qui représente la différence du niveau.

La convergence des verticales de A et B est assez petite pour permetlre de négliger la différence do longueur de la perpendiculaire BC' à l’oblique BC".

Tl reste donc CC" h calculer : or, nous avons trouvé (Livre III, n" 170) que cette quantité qui est la différence du niveau vrai au

DIFFÉRENCE DE NIVEAU

niveau apparent, est exprimée par y|1 + a:;, ou P*us simple-

. K* ment

La valeur de d N devient ainsi d: \ = K cotang. a 4- — .

zR

Il reste à introduire la correction de l’erreur de réfraction. La distance zénithale donnée par l'observation étant trop petite, la valeur de dN est trop grande et la correction doit être négative.

Pour trouver BB', on considère comme rectangleen B.lelriangle ABB/ dans lequel l’angle en A est, ce que précédemment nous avons désigné r. On tire de ce triangle BB' = AB. tang. r ou, h cause de la petitesse de r.

BB' = Kr: d'ailleurs r = nO et 0 = —

donc BB' = »— = 0,08

d’oü

dN = K col. A + " (J —0,08) = K col. A- -^(0,50— 0,08)

et enfin

dN=Kcot8Dg. A -0,42.^ (2)

Le rayon moyen de la terre, exprimé en mètres, a'pour logarithme '6,80556

Celui de 0,42= 9,62325

Donc log. as 2,81869

Tel est le logarithme constant indiqué en tôle des tableaux employés pour le calcul des cotes des points conclus de la carte de France.

Il faut bien remarquer l'avantage de la formule dN = K. tang. j(/' — d) sur la dernière trouvée : c’est que l’on n’a pas besoin de s’occuper de l’ofTet de la réfraction, puisque (A-t-r)— (A'4r')=^ — 1‘ , etqu’ainsi pou importe les variations que peuvent apporter b r les changements survenus dans l’atmosphère Il n’en est pas de môme de la formule (2) ; mais on en tire encore parti , pour déterminer ce coefficient, quand on connaît

d'avance la valeur de </N : dans ce cas, en effet, on la met sous la forme

(dN — Kcotang, A -=- = 0.5 — n d'où n = 05— (</N — Kcot. A— .

Ka • K*

447. Calcul de la cote d'un point duquel on aperçoit l'horizon de la mer.

Soit A ce point ( fig . 341) et DAZ —i la distance zénithale : le triangle ADO fournira la proportion sin. A : sin. D :: DO : AO ; mais l'angle en D est droit, parce que le rayon visuel AD a été dirigé taijgentiellement à la surface de la mer. Si donc, nous désignons AB par h, nous aurons, en remarquant que sin. A=sin. f , puisque A=200 — /, sin. t : 1 :: R : R-t-A ,

d'où

. B (I — sm.g)

sin. 6

Mais si sin. 8 = cos. O, on peut donc écrire • fl (t — cos.O) SRsin.VO

fl r— i . V t=3 ■ -

cos.O cos.O

et parce que »iD.O = 2sin40cos. JO ou fc = R tang. JO tang. O.

2 sin. j O

sin. O cos. J O 7

L’angle au centre O étant très-petit, on peut admettre que tang. *0=’ tang. O,

d'où h<=\ R, tang.* O

La distanco zénithale vraie 8 est égale à A + r j d’autre part nous savons que rr=nO et que 0=8 — 400«, par suite o= A-fr— ioo= A-f «0— ioo*

1 — fi

et enfin A = *R. tang.»

On sait qu’en plongeant dans un- bain do mercure un tube fermé dans sa partie supérieure et dans lequel on a fait préalablement le vide, le métal s'y élève jusqu’à ce que son poids fasse équilibre à la pression qu'exerce l'atmosphère sur la portion de mercure qui reste dans la cuvette.

On a tiré parti do cette propriété pour trouver la hauteur audessus du niveau de la mer d'un point quelconque du globe.

449. Avant de nous occuper de la formule que l’on emploie à cet usage, nous allons dire quelques mots des baromètres les plus remarquables, ceux de Fortin et de Gay-Lussac, qui jouissent de deux propriétés essentielles : ils sont assez portatifs et très-exacts.

Le premier se compose d'un tube de verre cylindrique, bien calibré, fdtmé par l’une de ses extrémités, et d’une cuvette contenant du mercure. On remplit le tube de la mémo matière, et on le retourne de manière à ce que son ouverture plonge dans la cuvette. Le mercure, en s'abaissant dans le tube, jusqu’à ce que son poids fasse équilibre à celui de la colonne d'air qui pèse sur la cuvette, laisse vide la partie supérieure du tube. Si donc, par une cause quelconque, la pression de l’air viçnt à augmenter, la hauteur correspondante de la colonne de mercure, ne sera altérée par aucune résistance. Il n'en serait pas ainsi, s’il s’y était introduit quelque peu d’air.

Le tube de verre est renfermé presque entièrement dans une enveloppe de cuivre qui sert à le protéger. Le long do ce tube est appliquée une échelle graduée de bas en haut, et portant à sa partie inférieure, une petite pointe d'ivoire I (fig. 342), dont l’extrémité indique le zéro, et à l’atlleurement de laquelle on amène la surface 00' du mercure, au moyen d’une vis V qui pousse le fond de la cuvette. On est assuré que la pointe louche cette surface en examinant sa réflexion dans le mercure. Un anneau de cuivre MM', nommé curseur, embrasse le baromètre : au bas est adapté un vernier devant donner au moins le dixième de la plus petite divisiou de l’échelle, qui est ordinairement un millimètre. Enfin, un thermomètre Irès-sensibleBB’ est appliqué immédiatement au tube de verre.

Tout l’appareil est suspendu par un crochet à une tête P supportée par trois pieds PC, PC', PC", qui sont construits de manière à ne former, étant rapprochés, qu’une très-forte canne , dans laquelle est enfermé le baromètre.

450. Celui de Gay-Lussac, du genre des baromètres à syphons, est formé de deux tubes de verre de même calibre, disposés dans le même axe, l’un au-dessus de l’autre, et réunis par un tube capillaire dont les deux extrémités sont recourbées de manière à présenter la forme indiquée par la figure 343.

Les deux extrémités sont fermée* , mais on pratique un petit trou T à 0"’,02 ou 0”03, du haut du tube inférieur. La hauteur 00' de la colonne barométrique est appréciée au moyen d’une échelle mobile ou fixe. Si elle est mobile, on amène son zéro sur l'horizontale Om et l’on a la hauteur comptée à partir de ce point au moyen d'un vernier curseur attaché à l'échelle. Si elle est immobile, on se sert de deux verniers, dont l’un indique le niveau inférieur, et l'autre le niveau supérieur. La différence des deux nombres qu'ils donnent fournit la hauteur de la colonne, daus le cas où le zéro de l'échelle est au-dessous du niveau inférieur : c'est la somme dans le cas contraire.

L’appareil est encore enfermé dans une canne, pour le rendre portatif, lorsqu’on le change de station. On a soin alors de le renverser bout pour bout, avec beaucoup de précaution, afin que le choc du mercure ne brise pas le tube. Dans cette position, le mercure remplit le grand tube et le tube capillaire ; et il en tombe un peu dans le fond du troisième {fis- 34-4).

Dans quelques baromètres, l’extrémité A [fig. 345) est ouverte; mais on peut la fermer au moyen d'un bouchon C attaché à un fil de fer, et qui, par sa pression, force le mercure à remplir l'extrémité vide du tube vers B. En ce point, on a pratiqué un étranglement dont le but est d’amortir la violence du choc du mercure. -

Ces instruments bien conçus , la manière de les employer est très-simple. Nous avons dit que la pression atmosphérique fait monter le mercure dans le tube : cette pression variant nécessairement avec l'élévation du point de station, la hauteur de la colonne variera également. Plus on s élève , plus le poids de 1 air diminue et plus aussi le mercure s’abaisse. C'est de la recherche de la formule qui exprime ce rapport, que nous allons nous occuper.

451. Si, en deux points de lasurface de la terre, assez rapprochés l'un de l’autre, deux personnes observent simultanément le thermomètre et le baromètre, il faut, de ces observations, conclure la différence de niveau entre deux points. Tel est l’énoncé du problème à résoudre.

Supposons l'atmosphère divisée en couches horizontales d’une épaisseur égale et assez petite pour que l'on puisse considérer la densité comme uniforme dans chacune d’elles. Soient C, C', C', C"' etc. [fig. 346) des points appartenant aux surfaces de con-

tact des couches, nous aurons, OC' = 2. OC, OC" = OC' -f- OC= 3. OC} OC"=OC"-t-OC = 4. OC, etc., et en désignant par m, m', m", etc., les mètres ou parties de mètre qui mesurent l’élévation de C, C', C", etc., au-dessus de zéro, on aura la progression arithmélique