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LONGUEURS

desgrades.

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LONGUEURS

des grades.

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Longueurs •les grades.

481. Construction d’une carte. On la divise en un certain nombre do rectangles égaux dont les côtés sont respectivement parallèles aux lignes qui ont été prises pour axes des coordonnées : ce sont le méridien principal développé et la perpendiculaire passant par le centre commun des parallèles. Quelquefois, au lieu de ce dernier, c’est à partir du parallèle moyen que l’on compte les abscisses des intersections des méridiens et des parallèles, ainsi que celles des angles des rectangles ; et cela, dans le but d'avoir h employer des nombres moins grands. On voit que, quant à la difficulté d'exécution, il importe peu que l’on emploie l'une ou l'autre de ces méthodes.

Si la latitude du point est plus grande que la latitude moyenne, la somme des abscisses comptées suivant les deux systèmes est égale au rayon du parallèle moyen développé : si cette latitude est, au contraire, plus faible, il y a entre les deux abscisses, une différence toujours égale à ce môme rayon.

Pourcontinucr à expliquer les opérations^ faire, etparee qu'on agit ainsi au Dépôt de la guerre, adoptons pour axe des y la tangente au parallèle moyen de la carte (fîg. 377). Le rapport des côtés de rectangles est évidemment arbitraire : cependant , comme il a fallu s’arrêter h quelque chose, le Dépôt de la guerre a choisi le rapport de 5 à 8 comme présentant une figure agréable

à l’œil, et commode lorsqu’on veut faire usage de la carte. Les feuilles ont 0",5 de hauteur, et 0“,8 de largeur.

Pour reconnaître dans laquelle des quatre régions formées par les axes sont placées les feuilles, et leurs positions dans ces régions, on est convenu de numéroter les feuilles comme l'indique la figure 377. Les chiffres placés sur deux côtés d’un rectangle indiquant les distances do ces côtés aux axes qui leur sont respectivement parallèles. De plus, la position de ces chiffres exprime aussi la région h laquelle appartient la feuille. Si ces chiffres sont inscrits près des côtés sud et est, la feuille dépend de la région nord-ouest. Placés sur les côtés nord et ouest, ils dénotent que la feuille appartient h la région sud-est : il en est de même pour les deux autres positions que peut occuper la feuille.

Si l’échelle est celle de chaque côté est ou ouest représente 10000“, et les côtés nord et sud représentent 16000.

A l’échello de j—j, les côtés valent 25000" et 40000“ : à l'échelle de ils correspondent h 40,000 et 64000".

Les coordonnées des angles de tous les rectangles sont donc immédiatement connues, ainsi que celles des subdivisions do décimètre en décimètre.

Ces préliminaires établis, il n’y a aucune difficulté h placer un point dont les coordonnées onf été calculées par la méthode indiquée n01 482 et 483.

Un reconnaît d’abord dans quel rectangle , et même dans laquelle do ses subdivisions tombe le point. On divise les côtés nord et sud de ce petit rectangle , proportionnellement à la différence qui existe entre l’ordonnée du point et celle du côté ouest du cadre : soient n etn' (fig. 378) les points de division : de même, on cherche m et m1 qui divisent les côtés ouest et est proportionnellement h la quantité qu’il faut ajouter à l’abcisse du côté sud , pour compléter celle du point M. L’intersection des droites mm', nn', est la projection cherchée de M.

On peut voir (fig. 377) l’ensemble des projections des méridiens et des parallèles qui seraient ainsi tracés en unissant leurs points d’intersection isolément construits.

485. On ne calcule pas habituellement, et comme nous venons de l’indiquer plus haut, les coordonnées des points d’intersection; mais ou se sert des tables de Plessis , calculées de décigrade en décigrade, e» latitude et en longitude, pour l’aplali6scment

Digitizi

CONSTRUCTION ü’UNE CARTK. 481

Ces tables donnent les valeurs de x et y. Quant aux points intermédiaires, leurs coordonnées s’obtiennent par une double interpolation qui s’eiïectue au moyen des corrections fournies par les colonnes qui suivent celles de x et y, et qui contiennent les différences premières et secondes de ces quantités. Peut-être ne nous saura-t-on pas mauvais gré d’essayer à faire comprendre la signification et l'importance des termes, tout en rendant noire langage aussi élémentaire que possible.

Soit une droite MM' ( fig . 380), a: et y les coordonnées de l'un de ses points -. supposons que x augmcnlo do aar, et y de Ay ; les nouvelles coordonnées aH-Aa:, y-t-^y, correspondent k un certain point M’, dont la tangente trigonométrique de l’inclinaison

sur l’axe des y est — .

J Ay

Si nous imaginons une courbe MM 1 s’écartant trop sensiblement de la droite, pour regarder M’ et M" comme se confondant, il y a entre ces deux points, une distance qui est k peu près k ax ce que ax est à x. Désignant M"P par X, et M'M" par a2 x, nous

avons , •

X = x + Ai -+■ A*-*

Au lieu do considérer M' et M" sur la même perpendiculaire M"P, si, par un motif quelconque, ils doivent se trouver sur une ligne inclinée {fig. 381), k la valeur ci-dessus do X, correspond

Y ■= y 4- ày — A’y.

puisque le petit triangle M 'M'f, rectangle en t, a pour côtés de l’angle droit, les petits accroissements de a® et a y.

Admettons actuellement que l’on ait calculé les valeurs de x et y de décigrade en décigrade pour toutes les latitudes et longitudes, et qu’on ait formé une table k double entrée, ayant pour arguments la latitude et la longitude. On inscrit, dans deux colonnes, ces valeurs de x et y calculées au moyen des formules que nous avons données n“ 41V, et modifiées en vertu des considérations énoncées n° 482 : dans des colonnes contiguës se placent les valeurs de ax, Ay, A2y, correspondant k la dixième partie d’un décigrade, c’est-k-dire k dix minutes centésimales. Lorsqu’ensuite on veut appliquer les formules, on multiplie successivement A® et Ay, par les cocffiicients 2, 3, 4.... 8, 9, pour avoir les intersections des méridiens et parallèles de minute en minute , ou

en encore par 0, 1; 0. 2....; 0, 9; 1, 1; 1, 2 ; 1, 9, si l'on

veut figurer les méridiens et parallèles de dix>n dix secondes, tant en latitude qu’en longitude.

GfiODÊSIK.

C'est lorsque ces interpolations sont effectuées par le calcul

qu’on peut en faire de graphiques, pour placer les points qui appartiennent à l'un des quadrilatères, en divisant ses côtés proportionnellement au nombre do dizaines de secondes, et même de secondes.

Si nous désignons par n le coefficient de Ai (c'est le nombre de secondes qu’il faut ajouter à la latitude du parallèle inférieur, formant l’un des côtés do quadrilatère), et par celui de Ay, nous voyons sur la figure 381, que M"t ou a (VM), ou encore A (n&x) varie nécessairement en raison de la grandeur de VM ou »'Ay, puisque la courbc-MM ' s'écarte d’autant plus de MM', que MV est plus considérable. Ainsi, M"<=n'A (nAx;=:rw'A2x : de même iS't=nn'

Jusqu’ici, nous avons supposé que nous connaissions les coordonnées d’un point M appartenant au même parallèlo développé que M' : cela n’est pas, et il s'agit d’une double interpolation.

Soit A' {fig. 382), le point dont on cherche les coordonnées : son abscisse \=ep=^cp + Ac-+-Ar=Jï'-t- Ac -(- As.

A c est Ax' répété n fois s c’est «a* ' : Ae est l’accroissement de A p ou x, d’autant plus grand que A' s’élève plus au-dessus de A, en raison de la plus grande différence en longitude de ces points : c’est donc n' Ai. En ajoutant h ces différentes quantités, le terme en a2 dont l’explication vient d’être donnée, on a

X = x’ -f- nAx' -f- n'A* 4- un 'A»*

Nous trouvons de même que

Y *= y •+- A'» ; y = y’ — m = y' — ny', A'# = n’Ay — nn'A’y et enfin,

Y = y’ — nAy’ + »'Ay — nn'A'y

Les grades et décigrades qui correspondent h x et x1, y et y' font connaître en mémo temps ax, ax' Ay, Ay', a2x et A2y:

486. Projection cylindrique. Ce mode de représenter une portion de la surface du globe, est certainement le plus défectueux, lorsqu’on n’apporte pas quelque modification à son principe. Il consiste à imaginer un cylindre tangent h la sphère, suivant l’équateur. Les génératrices tangentes aux méridiens (fig. 383), les représentent dans le développement du cylindre sur un plan. Les parallèles sont alors représentés par les droites, perpendiculaires aux méridiens, qui sont les développements des cercles suivant