PROJECTION DE CASSINI
lesquels les plans des parallèles coupent le cylindre. Ce n'est que pour une zone très-restreinte, au nord et au sud do l’équateur, que cette projection est admissible : au delà, les altérations vont sans cesse en augmentant. Elles sont d'ailleurs dues à une double cause, le décroissement des distances en latitudo et leur accroissement en longitude. Il suffit de jeter un coup d’œil sur la figure 384 pour s'en rendre compte.
Lorsqu'il s’agit de représenter une portion de zone qui n’est pas contiguë à l'équateur, on iïhagine le cylindre inscrit dont la génératrice est FG {fig. 385), ou celui qui est circonscrit, et qui a pour génératrice AB, ou mieux, celui qui serait décrit par la droito DE passant par la latitude moyenno M de la zone. Dans la projection cylindrique, les airesdes zones sont égales sur la sphère et sur le développement, et par conséquent, sur ce dernier, les hauteurs des rectangles varient en raison inverse de l’accroissement relatif des bases.
487. Carte plate. On peut détruire l’une des deux causes d’erreur, en modifiant d’une rnanièro analogue à celle qu’on a em-
, ployée pour la projection de Flanutead , c’est-à-dire en supposant les méridiens rectifiés sur les génératrices qui les représentent. Alors les distances mesurées sur la carte dans le sens de la latitude ont même longueur que sur le globe, et la projection se trouve composée d'autant de rectangles qu’il y a do quadrilatères sur la sphère {fig. 386) : c’est ce que l'on nomme carte plate.
Les formes et les surfaces ne sont pas sensiblement altérées dans le sens de Y est à l 'ouest ; ainsi, pour une contrée qui serait beaucoup plus étendue dans ce sens que du nord au midi, on pourrait sans inconvénient employer ce mode de projection.
488. Projection de Catsini. Celle-ci n’est réellement qu’une modification de la précédente. Pour l’exposer, il suffit d’appl iquer au méridien ce que nous avons dit de l’équateur, et réciproquement. On suppose un cylindre tangent à la sphère suivant le méridien principal s par les divisions dp l’équateur, des plans parallèles au méridien, et par celles du méridien des grands cercles qui ont un diamètre commun situé dans le plan de l’équateur. Ce diamètre est, dans la projection de Cassini, ce qu’est la ligne des pôles dans la précédente. On imagine ensuite le cylindre développé et les génératrices passant par les divisions du méridien représentent les grands cercles perpendiculaires au méridien.
tandis que les petits cercles qui lui sont parallèles ont pour projections, les développements des intersections du cylindre par leurs plans ( fig . 380 et 387).
Ici, ce sont les dimensions voisines du méridien qui no sont pas défigurées dans la projection, tandis que, dans le sens de l’équateur, les quadrilatères diminuant de plus en plus do surface, et devenant de plus en plus obliques, sont fort mal représentés par les rectanglesde la carte. Sans doute la configuration de laFrance, un peu plus étendue du nord au sud que de l est à l’ouest, a été l’un des motifs qui ont déterminé Cassini b employer ce système pour l’exécution de sa carte de France.
Dans celle projection, les points ont été rapportés par leurs distances à la méridienne et h la perpendiculaire de l’Observatoire de Paris, et nous avons indiqué (n° 413), avec quelle facilité on passait successivement b celles de tous les sommets du canevas géodésiquo au moyen des éléments des triangles et de l’azimut d’un premier côté. Les coordonnécsdechaquopoinl pouventôtre, comme vérification, déterminées par deux calculs qui les rattachent aux deux autres sommets déjà calculés d’un triangle : dans ce cas, nous ferons observer que, pour former les azimuts des deux côtés qui, avec eux, sont les éléments connus des triangles rectangles fi calculer, il faut ajouter l’angle B (fig. 389,390, 391, 392), à l’azimut Z pour le point B qui est h gauche, par rapport au sommet h déterminer C, tandis qu’il faut, pour l’objet de droite, retrancher l’angle Adc l’azimut Z'. Ce dernier azimut estévidemment égal à Z augmenté de 200«.
489. Carte réduite. Les cartes marines n’ont pas pour but de présenter exactement la configuration des diverses parties du globe ; mais de permettre au navigateur de tracer avec une précision, presque toujours suffisante, le chemin parcouru par son navire. Les donnée » sont les distance» et les directions : les premières sont Icshypothénuses d’autant de triangles rectangles dont les côtés de l’angle droit sont les méridiens et les parallèles. Pour ne pas commettre d’erreurs dans les opérations graphiques, il faut que, partout sur la carte, il y ait entre les degrés de latitude et de longitude, le môme rapport que sur la terre, et que, do plus, les projections des méridiens et des parallèles soient toujours rectangulaires. Celto dernière condition n’est pas remplie dans les projections stéréographique et orthographique, si ce n’est dans le cas particulier où l’équateur est le plan du tableau ; mais on
PROJECTION DP. LORGNA.
ne pourrait y tracer facilement la loxodromie, ou courbe suivant laquelle marche un vaisseéu soumis à une même impulsion du vent : cette courbe, jouissant de la propriété de couper tous les méridiens sous un même angle, est représentée par une ligne droite sur les cartes où les méridiens sont parallèles.
Les cartes plates no satisfont pas à ta première condition énoncée plus haut, puisque l’on y fait tous les degrés de longitude égaux, tandis qu'en réalité ils décroissent proportionnellement au cosinus de la latitude. On pare à cet inconvénient, en divisant les degrés du méridien par ce même cosinus de la latitude, ou en les multipliant par sa sécante, de sorte, qu’alors, les degrés des méridiens croissent dans le même rapport que ceux des parallèles. Celte nouvelle projection, connue sous le nom de carte réduite ( fig . 388), n’a plus d’échelle constante: les divisions de cette échelle croissent comme les degrés tracés sur les méridiens projetés. On a construit des tables des latitudes croissantes qui fournissent immédiatement la longueur du degré et de ses subdivisions, pour toutes les latitudes. On peut qncore tracer une semblable projection, lorsqu’il s’agit d’opérer ù une petite échelle, en décrivant un quart de circonférence d’un rayon égal à un degré, ou à l'un de ses multiples, en divisant cette circonférence en degrés, ou par le même multiple, et prenant toutes les sécantes successives entre 0® et 90°, ou entre 0' et i00‘. Il serait plus exact d’opérer, s’il était nécessaire, en calculant par logarithmes. y
490. Nous terminerons ici ce <Jbi est relatif aux projections, en disant quelques mots seulement de cello de Lorgna. Elle consiste à représenter un hémisphère par un cercle d’égale surface.
Désignant par R et r les rayons de la sphère et du cercle, il faut qu’on ait ». r2=2»R2, et par conséquent r=R 1/2=1, 4142R, r = 1 ,4142 R. La valeur de r se trouve aussi très-facilement au moyen d’une construction graphique très-simple ; car, de r2=2R2, on conclut que r est l’hypoténuse d’un triangle isocèle rectangle APC (fig. 393), c’est-ù-dire la corde AP qui sous-tend le quart de la circonférence, ou encore, en d’autres termes, le double du sinus de 50*. On voit (fig. 379) la projection de l'hémisphère sur le plan de l’équateur. Dans ce cas, les méridiens sont projetés suivant des droites, et les parallèles par des circonférences dont les rayons ont, avec ceux des parallèles eux-mêmes, le même rapport vi,
CÊ0DÜS1K.
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S’il s'agissait de projeter sur un méridien, la figure 393 indiquerait que l’on a imaginé la sphère divisée, comme pour la projection de Cassini, par des plans parallèles au méridien principal, et par des plans perpendiculaires à ce même méridien. Toute la différence consiste en ce que Cassini a pris le plan de projection perpendiculaire & celui du méridien principal, tandis qu’ici, c'est lui qui est le plan du tableau.
La même figure 393 convient à la projection sur l'horizon, dans la supposition où tous les petits cercles sont parallèles au plan de l'horizon, et où les grands sont des cercles azimutaux. Les petits cercles , dans ce cas , se distinguent sous le nom à'almicantarati.
Notions PRÉLIMINAIRES.
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