V. sin. P
/ connu en degrés, est converti en temps (§ 512) ; il est positif, quand le soleil s’avance vers le nord, c’est-à-dire du solstice d’hiver au solstice d’été, et négatif pendant les autres six mois de l’annéo. Quant aux tangentes de L et de D, elles sont positives, lorsque le soleil est dans l’hémisphère boréal : enfin, cot. P est positive si P- est plus grand que 90“ ou 6 h.
MODES DIVERS DE RfiGLBR UNE PENDULE
Nous pouvons maintenant substituer a dans l’expression de H qui devient
Telle sera donc l’heure que marquera la pendule au midi vrai.
532. On arrive bien plus simplement à la môme formule, en faisant usage du calcul différentiel. Voici comment on procède : on part de la formule (1).
L et z sont constantes, P et D variables, donc il vient, en différenciant,
0 = sin.L.co9.D. dD — cos.L. cos.P.sio D. dD — cos.L. cos.D. sid.P. dP
et, en reprenant pour dP et </D, les notations adoptées dans la première démonstration, et effectuant les divisions possibles,
11 ne faut pas oublier de corriger la distance zénithale, de l'erreur de réfraction : ce qui se fait au moyen des tables 1 et II mentionnées au § 513.
L’angle horairo, converti en temps et combiné convenablement avec l'ascension droite apparente de l'astre, donne l'heure sidérale; PM I fig. 66, planche XXIV) représente lo méridien; ee' les positions occidentale et orientale de l'étoile; > le point équinoxial. 7 M, ou l’heure sidérale, est évidemment égale à l’ascension droite de l'étoile -t-P ou — P\ suivant qu’ello est située eu « ou en e'.
On peut donc écrire :
533. Par les hauteurs absolues du soleil. On peut atteindre le môme résultat sans s’aslreindre à saisir les instants où le soleil, après midi, se trouve précisément aux mômes hauteurs qu'avant, et sans courir la chance défavorable que peut-être le soleil sera masqué par des nuages aux instants de l’après-midi correspondants aux observations antérieures.
cos. s = sin.L.sin.D-|- cos.L. cos.l’. cos.D
d’où
... sin.L. cos.D — cos.L. cos.P.sin.D
dp = JD — —
cos.L. cos.D. siD. P
ASTRONOMIE
Pour cela, ou observe la distance zénithale apparente t du soleil, soit avant, soit après midi : on répète cette observation un certain nombre de fois , en tenant compte à chaque fois de , l'heure qu’indique la pendule.
On prend la moyenne des observations et celle des heures : on , corrige la distance zénithale moyenne de la parallaxe et de la réfraction, la première correction étant négative et la seconde positive. L’heure moyenne est assez exacte, pour entrer dans les tables qui donnent la déclinaison du soleil. Il faut, d’ailleurs, connaître la latitude du lieu. La résolution du triangle SPZ (fig. 65, pl. XXIV) donne un angle horaire qui est l’heure même, si l'observation est faite après midi, ou son supplément à 24 h., si elle a lieu aVant. Dans ce dernier cas, il faut diminuer d’un jour le quantième du mois.
Cet angle horaire est déterminé au moyen des trois côtés du triangle qui sont : la distance zénithale appareille, le complément de la latitude et celui de la déclinaison.
Nous avons dit quelles sont los corrections que doit subir f. Quant à la déclinaison, elle doit être calculée pour le jour, l’heure et le lieu de l’observation. Ce calcul exige la connaissance approchée de la longitude du lieu, pour pouvoir connaître l’heure de Paris correspondant h l’instant de l'observation ( Voir le tableau XII).
534. Par l’observation des étoiles. Les deux méthodes des hauteurs correspondantes ou absolues conviennent également, lorsqu’au lieu du soleil, on a observé une étoile.
La moycnno des heures qui correspondent à des hauteurs égales, do part et d’autre du méridien, donne l’heure du passage de l’étoile dans ce plan. Cette opération, exécutée deux jours de suite, indique le temps que marquo la pendule en 24 heures sidérales. On saura donc de combien il faudra la corriger pour l’amener à marquer précisément 24 heures sidérales, entre deux passages consécutifs d’une étoile au méridien. Cette correction se fait en changeant la durée des oscillations du balancier de la pendule.
Nous répétons que, pour avoir l’expression du temps sidéral ou de son supplément, il faut ajouter l’angle horaire h l’ascension droite de l'étoile.
S'il s'agit de régler la pendule par les hauteurs absolues d'une étoile, il faut, comme précédemment, calculer son angle horaire
LATITUDkS.
au moyen de la latitude du lieu, la distance zénithale et la déclinaison de l’astre. Ici, il n’y a pas de correction de parallaxe pour <T j mais pour la déclinaison, on doit tenir compte de la précession, la nutation et l'aberration.
535. Latitudes. Il existe plusieurs méthodes pour déterminer la latitude du lieu où l’on lait les observations.
1° Par Us doubles passages des étoiles circumpolaires.
Désignons par h et h1 les hauteurs d’une étoile dont e et e' représentent (fig. G!, planche XXIV) les passages supérieur et inférieur au méridien, h est lo complément de la distance zénithale a : celle-ci est plus grando que l’observation f, de l’erreur de réfraction r,
par conséquent *=%— A .=90- (/ + »■) de même /,'=90— a'=90 — U'+r')
et i+A'=90-i^ + j'+r-fr')
La latitude L du lieu (PH' sur la figure) est la moyenne entre eH' et H’e', donc :
11 ne faut point oublier de noter les indications du thermomètre et du baromètre pour corriger la réfraction.
La seule difficulté de ce procédé, si simple dans un observavatoire, consiste à placer exactement la lunette dans le plan méridien.
536. Par des hauteurs méridiennes simples. Lorsque l’étoile est peu éloignée du pôle, et si l’on se sert du passage supérieur, on observe Ze — A ; on connaît, au moyen des tables, sa déclinaison Ae = D, et l’on a ainsi la latitude, puisque AZ = Ae — Ze, ou L = I) — A.
Eu employant le passage inférieur e', on a
Kl ou pn'=t80 — (Av+ZA c’est-à-dire l=180— (D+a).
La déclinaison so compte toujours do 0° à 90v L’astre peut être voisin de l’équateur. En le supposant en S, un peu au-dessus de l’équateurj\A', on a
az=AS + SZ, c’est-à-dire l=d + a quand l’étoile occupe la position S', >
AZ«»ZS'— AS»1 c’est-à-dire i,=»a— n.
ASTRONOMIE
La déclinaison D, s’il s’agit d'une étoile, doit être corrigée du (ait de la précession, la nutation et l'aberration. Lorsque l’on fait usage du soleil, il ne s’agit de tenir compte que de la réfraction et de la parallaxe do hauteur pour la distance zénithale, ainsi que du demi-diamètre apparent, si l'on n’a observé que l’un des bords.
537. Par les hauteurs observées près du méridien. Soit E la position d’une étoile peu distante du méridien ( fig . GS, planche XXIV), Ee est un petit arc appartenant au parallèle que décrit l’ctoile, et dont le pôle est P. Les arcs EP, eP sont égaux et par suite EZ>?Z (§ 49), EZ est la distance zénithale observée, et Ze en est la projection sur le méridien : ZP=90 — L; Pe = 90—1). Donc, Zr=rZP — Pe=l) — L, et si l’on pose ZE=Z«-i-a;, on aura Z E — D — L -+- x.
Le triangle ZEP donne la relation.
cos.ZE = cos.ZP. cos.PE-f sin.ZP. tin. PE. cos. P,
P désignant l’angle horaire. Nous pouvons écrire l’équation cidessus sous la forme
cos. [(D — L) -\-x] — sin.L. sin. D-(- cos.L. cos.D. cos. P et parce que cos.P = < — î.sin.» JP
cos (D— LJcos.jc — sin.(D — Ljsin.x — sm.Ltin.D + cos.Lcos ü — ï cos.L cos. Dsiu. SP
Mettons 1 — ^ pour cos. x et a: à la place de sin..* cos.(D — L) — — cos.(D— L) — x sin. (D — L) = cos.(D — L) — 2 cos.L. cos.D. sin.* JP
Supprimons le terme commun aux deux membres, et il viendra, en changeant les signes,
x. sm.(D— L) + — cos. (D — L)= 2. cos.L. cos.D. sin.* JP.
Pour réduire à une équation du premier degré, nous employons un procédé dont nous nous sommes déjà servi § 436, en faisant d’abord x 7 nul. Nous trouvons
cos.L.cos.D =2-: — — — rr s«n * 4 P , sin. (D— L) ’
substituée dans le terme en x 2 de la formule complète, et divisant par sin. 1", il vient
jr — î
cos.L. cos.D sin,(D — L)
sin.i J P ^ (cos.L. cos D.sin.*J P}» cot.(D— Ll «in.4" sin i"
LATITUDES
Le plus ordinairement on se contente, pour trouver x, de calculer le premier terme du second membre en négligeant le deuxième. C’est à quoi nous serions plus simplement arrivé , si , dans l’une des premières transformations, nous avions remplacé cos. x
par l'unité, au lieu de prendro les deux termes 1 — -dclasérie.
Si nous désignons par A la distance zénithale Le de l’étoile au méridien, nous pouvons, parce qu’elle est égale à D — L, écrirç ainsi la valeur de x
^cos.L. cos.D sin.*! P sin.A sin.t "
Il est à remarquer que x est donné en fonction do la latitude, encore bien que ce soit pour trouver celle-ci qu’on cherche x. Nous avons déjà rencontré un semblable cercle vicieux, §403, à l’occasion de la réduction au centre. Ici, comme ailleurs, il est facile de faire voir qu’il n’y a pas lieu d’étro arrêté par celte circonstance. Et, en effet, les observations étant faites, comme nous l’avons supposé, lorsquo l’astre est très-voisin du méridien, la correction x ne changerait pas sensiblement, même pour des latitudes très- différentes; à plus forte raison, quand la valeur employée pour L diffère peu de la vérité. On peut, alors, prendre pour L la déclinaison diminuée de la distance zénithale, Le observée.
Le facteur -n— , que l’on trouve dans les tables de réduction, est assez petit pour qu’une légère inexactitude dans l’autre facteur 2 C°p ' n apporte aucune erreur appréciable dans la valeur de x.
Si, poussé par le scrupule, on voulait atteindre une plus grande précision, on calculerait une première fois L, pour l’inlroduiro dans la formule : mais le second résultat donnerait, pour x, une quantité qui ne différerait pas sensiblement de la première.
On fait plusieurs observations de distances zénithales, soit avant, soit après midi : on prend la moyenne entre elles : on fait aussi la moyenne des heures indiquées par la pendule, ce qui permet de connaître l’angle horaire moyen; puis, à l’aide de ces éléments, on trouve x. ( Voir le tableau XIII.)
Si nous ne nous étions pas proposé d’indiquer principalement tous les procédés des calculs, d’une manière quelquefois minutieuse même, nous nous en tiendrions à ce qui précède : mais
astrosomik.
notre tâche ne serait pas remplie ; nous plaçons, à la fin de l’ouvrage, des tableaux et des exemples qu'il faut que le lecteur puisse comprendre, et pour lesquels nous sommes obligés d'ajouter des explications nouvelles.
D’abord la formule
fin.» J P «os. D. coj L X ' sin.t" sio.^D — L)
suppose que l’on connaisse exactement î’angle horaire P, et que la déclinaison D est constante. Celle dernière condition se réalise lorsqu’on se sert d’une étoile, mais elle n’a pas lieu, quand on observe le soleil. Quant à la première supposition, elle n’est pas toujours admissible : elle lo serait, pour l’observation des étoiles, si la pendule réglée d’abord sur le temps sidéral, n'éprouvait aucune variation diurne. Ce cas est très-rare; ainsi, il faut presque toujours tenir compte d’une avance ou d’un retard quelconque. Quand on observe lo soleil, dont la marche n’est pas régulière, il y a une correction h apporter h la valeur de P, puisque chaquo jour la marche du soleil diffère de celle de la pendule.
Pour qu’il n'y ait pas confusion dans ce qui va suivre, prenons d’abord le cas où l'on observe le soleil.
En 24 heures de temps vrai, la pendule marque 24 ±: p, p représentant un certain nombre de secondes. L’angle P fourni par la pendulff devra donc subir une correction et devenir P' que donnera la proportion
w>±pzp:: PîP’-p“pïpri7
d’où p'=p0+i4i47)
et, en représentant Par P't P'= P (t -f p')
Cela posé,, remarquons que P est toujours un très-petit arc de 3° ou 4° au plus, ou de 16m en temps, et nous pourrons dire que sin^çP' et (yj diffèrent très-peu l’un de l’autre, de telle sorte
-J, c’est-à-dire
2 (y)’( 1 + P )’> ou encore JPJ(l + />')* •
Pour simplifier, et sans porter atteinte à la vérité d’une ma-
LATITUDES
nière sensible du moins, en raison de la petitesse de P et de />', nous mêlions P h la place de | PJ, et nous ne tiendrons compte que des deux premiers termes du développement de La formule deviendra
C0S.L.C05 D , siu.fD-L)1 +
/>' étant égal à ou à mw>,±/
Nous avons dit ailleurs qu’on prenait, pour la latitude L, en tant qu’on la considère comme simple élément de calcul, une valeur approeliéo, suffisamment exacte. Quant à D, on en trouve la variation diurne, dans la Connaissance des temps, et l’on en conclut celle qui correspond à l’angle horaire moyen.
L’arc total parcouru par la lunette supérieure du cercle répétiteur, si l’on emploie cet instrument, divisé par le nombre des observations, donne la distanee zénithale moyenne, dont la hauteur apparente du soleil est le complément. Les tables 1 et II de la Connaissance des temps, et déjà citées, fournissent une première correction relative à la réfraction, toujours additive pour les distances zénithales, et par conséquent négative par rapport à la hauteur des astres au-dessus de l’horizon. La table XI donne la correction de parallaxe, do signe contraire à celle de réfraction.
La distance zénithale moyenne se trouve ainsi transformée en distance zénithale vraie ou géocenlrique. On combine celle-ci avec la déclinaison calculée pour l’heure même de l’observation, s’il s'agit du soleil. On trouve, datis la Connaissance des temps, la déclinaison du soleil pour chaque jour de l'année, et par conséquent la variation diurne.
On y trouve également les ® et D de ili étoiles principales, calculées de dix jours en dix jours, et celles de la polaire, pour tous les jours de l’année à midi moyen de Paris. La variation est si faible, pour les étoiles, qu’on n'a pas de parties proportionnelles à calculer pour connaître la déclinaison d’une étoile, le jour de l’observation : on doit la regarder commo constante pendant la période do dix jours qui comprend celui de l’observation.
Nous avons dit, §535, comment, d’après la position de l'astre, on pouvait avoir, en désignant par â le complément de la distance zénithale,
L = D — A; i.=HS0°— (D+ A); L = D+A; L = A - D.
4STROKOM1E.
Il nous reste 5 donner une dernière explication, celle du tableau dans lequel s’inscrivent les éléments fournis par l'observation et se font les calculs. (Voir lo tableau XIII.)
La première colonne contient les chiffres représentant le nombre des répétitions.
Dans la deuxième colonne, on écrit les heures que marque la pendule à l'instant de chaque observation : les unes sont antérieures à midi, les autres postérieures.
On prend l'expression du temps moyen au midi vrai, pour le jour de l’observation, dans la Connaissante des temps. La différence de ce nombre et des heures de la pendule donne les angles horaires que l’on écrit dans la troisième colonne, en tenant compte toutefois, et dans le sens convenable, de l’avance ou du retard de la pendule.
La moyenne de ces angles horaires, comptés avec le signe qui indique ceux qui appartiennent au matin et ceux qui dépassent midi, sert à trouver plus tard la variation en déclinaison du soleil.
Chacun des angles horaires a servi lui-méme ou sert ensuite d’argument pour trouver (table XVI, Astronomie de Puissant, ou table X, Astronomie pratique de F rancœur), la 'réduction au méridien correspondante. On les écrit successivement dans la quatrième colonne, on en fait la somme, que l’on divise par le nombre d’observations, et l’on a la réduction moyenne, représentée
dans la formule par 2 ^ , puis enfin simplement par P.
538. Par la hauteur de la polaire. Celte dernière méthode évite l’emploi d’une valeur approchée de L, dans la recherche de x ; mais elle n’est avantageuse qu'autant que la déclinaison est très-petite. Cette condition sq manifeste clairement dans la formule que nous allons chercher.
ZP = 90 — L (fig. 69, planche XXIV).
Le = 90 — h — t .
P« = 90 — D = d et P = l'angle horaire.
On a observé «f;on connaît l'angle P, et l’on veut trouver L.
L'étoile que l'on observe étant voisine du pôle, on peut représenter la petite différence qui existe entre ZP et Le par x, c’estb-dire, quo
.r =* P — « i— 90 — L — (90 — h) OU je = A — L et L = A-r
LATITUDES
On a, dans le triangle Z et P,
cos.s» = cos.xP. cos.Pc-]-sin.ïP. sin. Pc. cos. P siu.A = sin.L.eos.d-fcos.L. sin .d. cos.P sin. A = sin. (A — x) cos.d + cos. (A — x) sin.d. cos. P sin.A>=(sio.A. cos.x — sin.x cos. A)cos d -f (cos. A. cos x + sin. A. sin x) sin. d. cos. P
Réunissant les termes en sin. x, et ceux en cos. x, puis divisant par sin. h,
t = cos.x(cos.d-4-cot.A. sin.d. cos.P) — siu.x (cot.A. cos. d — sin. d. cos. P) d étant très-petit, on peut, en substituant los séries à son sinus et à son cosinus, négliger les puissances supérieures h la troisième ,
1 = cos.x cot.A cosp] —
- sin.x [(l - Ç) cot. A — (d — *) cos.p]
ou, en effectuant les multiplications dans les parenthèses,
i = cos.x (4 +d.cot.A. coa.P — ■— — — cot.A. cos.P) — z G
— 8iD.x(COl.A — (f. COS.P — ^ cot.A + COS.P)
a; et et croissent et diminuent ensemble : lorsque d = o, x est nul aussi. On peut donc poser
x=Ad-f Bd* -f Cd*
en s’arrêtant à la troisième puissance du petit arc d.
A, B, C sont des coefficients indéterminés que nous calculerons plus tard ; mais, d'abord, introduisons cette expression do x, dans les séries qui représentent son sin. et son cos., et qui deviennent ainsi ,
co?.x= 4 — •— =t — — d' — ABd*
sin.x = Ad + Bd* + Cd* — d- = Ad -f Bd* + d*
Ces valeurs, substituées dans l’équation {»), la transforment en celle qui suit : ' ,
* ■=(' — A*d» — ABd») (4 — d. col. A. cos.P — ~ — i- cot.Acos.P) —
fi ü
— (Ad -}- Bd* -f ^0 — -^r)d») (col. A — <1 coi P — -7 col. A + -^r cos. P)
jat
52V ASTRONOMIE
Multipliant et ordonnant par rapport aux puissances de d
I + C01.A. COS.P — A col.A
AB
/A* cot A \
("ïco A — "g B)cosP
~(C- 2 ~ 6*) COt A
+ A cos.P — B rot. Al Celte équation de la forrao
o = Py 4- Qi/® + Ry3
pour être satisfaite, quelle que soit la valeur de y, exige que
Il faut donc que
A. cot. A — cos.P, cot. A = o
A. cos. P — B. col.A — — = o
— cot A— — cot. A — B J cos.P-)- fC — — — g-J col.A *= o
ces trois équations déterminent A, B, C.
Do la première on tire, A = cos. P, qui, substitué dans la seconde, donne
cos.* P — B. col.A - J cos.*y — } = o OU B col.A ~ — | (4 — cos.* P)
et par suite B= — ^sin.* P. tang.A
Dans la troisième, on supprime d’abord AB et — B, cos. P qui se détruisent, et l’on en tire, en divisant par le facteur commun, cot. h.
C = J cos.P — | cos.P — j cos.*P-f- J cos.* P C = ($ — i) cos.P. (4 — cos.* P; et enfin c*=i cos.P. sin.*P
Nous avions posé * «= Ad -f Bd* + Cd*
donc x = d. cos.P — — sin.*P l.mg.A-f- — • cos.P. sin.* P.
Il faut ramener le socond membre à une quantité homogène exprimée en secondes.
