Les quatre formules fondamentales de trigonométrie

,. sin.AX cosin.Bisin.B.cosin.A ,,,

sin.(A-±B)= 5 (6) et (7)

cos. (A ±B)j=aC<>l‘^ Xcosin.Bzpsin.A X sin.B (g) (9)

viennent d’élrc démontrées pourlescasoù A -f B< 100?et A>B.

Digiti

TRIGONOMÉTRIE RECTILIGNE. 7

Il faut les généraliser et faire voir qu elles ont encore lieu quand A et B sont quelconques,

1° Si B>A, on aura sin. 'A — B)= — sin. (B — A), ou

sin.B.cos.A- sin.Axcos.B sin.AXcos.B— sin.Bxeos.A

Quant au cosinus, il est évidemment le même, puisque, § 7, les cosinus d arcs égaux et do signes contraires sont égaux et do même signe.

2° Il peut arriver que 50s<A<100*, B<50e et A -f B>100p.

Désignons par a la différence de A à 100* ou son complément, nous aurons sin. A = cos. a. et cosin. A = sin. «.

sin . (A -f B) == sio (1 00* — a + B) = sin . (t 00 — (a — B)] = cos. (a — B)

B et « étant chacun plus petit que 50*, le développement de cosin. (B — a) nous est connu : il vient donc

sin.(A + B)

cos.B X cos.a+sin.B Xsin.a R

sin. A Xcos.B-fsin.BX cos.A R

Nous aurons de même

cos.(A-f B)=cos.(l00s — a-fB) = cos.[I00 — (a-B)]=»sin.(a-B),

donc

n nj 'Sin.acos.B sin.Bcos.a = ros.A Xcos.B — sin.A X sin.B

3° Supposons que A et B soient l'un et l'autre plus grands que 50» et plus petits que 100*. Faisant B = 100 — j?, nous aurons :

sin.A = cos.a, eos.A=sir?i«; sin.B=cos./3; co».Bt=sin ys.

sin (A + B)=sin.{ÏOO-(a + /9j] = sin <" + /o--'"* X t0»-ft + sin P X cos.a .

ce qui revient h sin. (A + R^.,iD B Xcoa A+8in A X »»

cor. (A+ B) = cos. [200 — (* + yfi) ] == — cos. (a + /}) =

cos.a Xcos.,8 — sin. a X sin.jS R ’ '

et finalement cos. (A-f-B)=

cos.A X cos B — sin. A X sin. B

Plus A et B augmentent, plus a et /S diminuent, et la formule

TRIGONOXfiTRiB RECTILIGNE.

est encore vraie, lorsque A et B atteignent 100* chacun. Parvenus h cette limite, les cosinus de a et 0 égalent le rayon et les sinus sont nuis; ce qui réduit les formules h

sin. 200* =» o cosinus 200' =

. On aurait pu voir encore que si A et B sont précisément égaux à 50* chacun ,

sin.1 50‘ + cos.J50'

sin. { A + B) = sin. 4 Ofl* = -

COS.(A + B) sa cos. 400' =

•cos.>b0«— sin.» 50'

par la raison que sm.* 50*+cos.230'=R*, et que stn.50'=cos.50' ;

4° 11 nous reste à faire voir que les formules conviennent encore quelles que soient les valeurs de A et B.

Ces arcs peuvent être égaux à un certain nombre de quadrans plus un arc plus petit que 100*. On peut avoir A = mi + a, B — ni -f- /3 : m et n affecteront l’une des formes suivantes :

d’où

4rq

(ir-ft)q (ir+2)1 (4r + 3)0

{ 4iq

) (**+Oq (4 *+2)l (4 * + 3)i

Il est inutile de s'occuper de la combinaison A=4n -f «, B = 4 si + 0, puisque les lignes trigonométriques restent les mêmes , quant aux arcs, on ajoute un certain nombre de circonférences entières. . -

Si A = (ir + 4)q + a et B= (4» -f t)q + yg . il résulte que sin.A = sin. (41 + a) = cos.a ; cos.A = cos.(iq+a) = — gjn.a • sin.B = coj./î et cos.B = — sios

sin.(A + B) = sin.[200*+ (* + $] = — ho (a + /=) =

sin.x x cos. g + sin.yS x cos.a

—cos.A X sin B — cos. B X sin. A sin.A X cos.B + sin.B X ros.A d.(A + ü) g r

TRIGONOMÉTRIE RECTILIGNE. 'J

de même cos. (A -f- B) = cos. [ioo 4- (a -f- fi)] — — cos. (a 4- fi)

«s. a X cos. p — sin.aX sin.fi sin.A sin.B — cos. A cos. B

et enfin

cos. (A -f B)

cos. A X cos. B — sin. A X sin. B

En combinant de la même manière les autres valeurs que peuvent prendre A et B, on arriverait toujours aux formules générales.