IB

(.es quatre dernières s'emploient souvent pour remplacer des sommes ou différences de sinus ou cosinus par des expressions composées de facteurs seulement et faciliter ainsi les calculs nir 1 emploi des logarithmes. F

10 TRIGONOMÉTRIE RECTILIGNE

13. Multiplions (6) par (7) et (8) par (9), en nous rappelant que

R* = 5iîî.,+ cos’ sin. (A 4* B) sia. (A — B) =

iîn? A cos.’b — sin.»B X cos.«A sin. A (B* — s;n.*B) -• sin.» B (R» — sin.» A) =

Ri H»

= sin’ A — sid.’b ou sin. (A -|- B) sin. (A — B)>=

cos. B ;R » - CM. A) - COS.» A (R» - cos. « B) =— * B— * A R*

eo!.(A+B)cos. (A-B) =

cos’ A X cos.’b — sin.*A X sm B

(Ri— sin*A) (R* — sin.*B) — sin*A X »*n.l?

= R» — (ïm.A-fsîÎLB) = eos* \ — sin.’B = cos’.B — sin.A

En résumé

siD . (A B) sin . (A — B) = sin’ A — sin. % = cos. 6 — cos. A (18)

eos .( A + B) cos . ( A — B) = côs* A — sïîT.% = cos.^ — sin! A

Ces formules peuvent servir à remplacer des différences de sinus et cosinus carrés par des produits. Les autres combinaisons analogues que l'on pourrait déduire do (6), (7), (8), (9) ne donneraient pas naissance b des expressions assez simples pour qu on en pût faire usage.

H si l'on divise (6) par (7), puis le numérateur et le dénominateur par cos. A X cos. B ou sin. A % sin. B, il vient

sin.(A+B) sin.A X eos.B-J-sin.B Xcos-A tang.A-flang.B

sin (A — B) — sin.A X cos.B — sin. B X cos.A tang A — lang.B =

cotang.B-|-cotang.A colang.B — col. A

cQ\~..wa\ cos.(A + B) cos.A Xcos.B — sin A sin.B 1 — lang AX Ung.B (8) par ( ) cos COs.A X cos.B + sin. A Xsin.B 1 -f Ung.AX tang. B

col. A Xcot.B — l

col.àXro,-B-H

TRIGONOMÉTRIE RECTILIGNE

(6) par (8) tang. (A-f A)

sin.Àxcos B-fain.BXcos.A cos. AX cos. B — sin. A X sin. B

tang. A-f tang. B 1 — tang. A X tang. B

cot.B-f cot.A cot.AXcot.B — I

(7) par (9) t,ng.(A-B)=. ting.A-Ung.B

cos.Acos.B + sin.Axsin.B 1 -ftang. Axisng B

cot.B — cot.A cot.AX cot.B-f 1

O'par 9) sia-(A-fB) tang.A-f tang B cotB+cot.A ^ cos. (A —B) 1 -ftang.A. tang.B cot.BXcot.A-fl

»in.(A B) tang.A-tang.B cotB-col.A ' cos.(A+B) 1 — lang.Axtaug.B col.BXcot.A — I 1

15. Si l'on divise les formules (14) (15), (16) et (17) les unes par les autres, on trouve :

sin.p-fsin.g

sin. i(p + 7)co3.J(p— g)

lang.Kp + ç)

sin. p — sin .q

C08.'t(p-f-î)sm.{(p— ?)

tang.i(p — g)'

sin.p-psin. g

sin l(p+9)coa.i(p — 9)

nng. J(p-fg)

cos.p-+-cos. q

coS'î(p+7)cos.l(p — g)

sin p-J-sin.g

sin i(p + ï)cos t(p — ?)

COt.Sip — g)

coè.p — cos.ç

sin.J(p+î)sin. j(p— g) "

sin. p — sin.ÿ

sin-Kp— 4)cos.i(p-f g)

tang. 4(p — 7)

COS.p-pCOS g

cos.i(p4-?)cos.4(p — q)

sin .p >-sin.9

sin-4 (p — g)cos.J(p + g)

toi i(P + ?)

cos.p — cos. q

sin.}(p+î)sin.i!p — g)

cos.p -f cos g

eo3.^(p-f«)cos.4 (p — g)

cot.|(p-f g)

COS.p — C09 .q

siu.{p-f-9)»in.}(p — ?)

tsng-Kp— g)'

Ces différentes formules peuvent se démontrer directement et synthétiquement.

Soient MP = A,MN = B, f\g. 2 bis : prenons MQ = MP = A; il en résulte, en traçant l’horizontale NO, quesin. A-f-sin.B=SQ et sin. A — sin. B. = SP. Joignons les points P et Q h O, et nous formerons ainsi NOQ=i £ (A -f B), NOP — { (A — B) : car ces angles ont leurs sommets sur la circonférence et embrassent entre

TRIGONOMÉTRIE RECTILIGNE

leurs côtés les arcs A -f-B, A — B. Cela posé, du point O comme centre, et avec le même rayon K qui a servi à décrire PNMQ, décrivons un arc de cercle, puis traçons la tangente au point T : elle rencontrera les deux cordes OP, OQ en deux points U et V tels qu'évidemment l’on aura :

TU = Ung.J(A+B) TV = lang.J(A — B)

Mais dans les triangles semblables OPQ, OVU, la droite ON partage les deux côtés parallèles PQ, UV en parties proportionnelles.

donc

c'est-à-dire

sin.A-f-sin.B langj(A-fB) siD.A— sin B laog.J(A — B)

La mémo figure 2 bis servira encore à trouver la formule (27) car les triangles semblables OTII, OSQ, donneront entre leurs côtés la relation,

TU : OT ; ; SQ : SO. c’est-à-dire t»ng. J (A f-B) ; R sin. A -f-sin. B : so.

Pour voir ce que représente ce terme, menons du centre, CJ perpendiculaire à NO, nous aurons

JO = ?iJ = cos. B et SJ = cos. A

Or SO = SJ + JO ,

donc enfin

sin. A -f- sin.B tang.i (A -f- B)

cos.A-fcos.B R

Au moyen de considérations analogues, on retrouverait également les quatre formules suivantes (28), (29), (30), (31).

10. Jusqu’à présent, nous avons laissé le rayon en évidence, en le supposant quelconque. Généralement, pour plus dcsimplicité, on le fait égal à l’unité. Prenons deux arcs concentriques et de mémo amplitude AD, a f, fiq. 3 : les triangles semblables CDE, G J s, nous donneront :

sin. AU sin. at AC = aC

et si nous supposons aC= 1, AC étant quelconque, nous aurons sin. a/ = -"' f1* : ce qui indique quo, dans les formules où le rayon

a été supposé égal à l’unité, les lignes trigonomélriques qui y entrent, représentent le rapport qui existe entre les sinus, cosinus, etc., relatifs à un ecrlain rayon et ce même rayon.

TRIGONOMÉTRIE RECTILIGNE