RELATIONS ENTRE LES SINDS ET COSINUS DES ARCS SIMPLES ET MULTIPLES

17. Reprenons les formules fondamentales (6) et (8) : elles deviennent en y faisant A =r B et le rayon égal à l'unité.

sin. 2 A = 2sin.A X eos.A (32)

eos.2 A = cos.* A — sin.* A (33)

Pour trouver ces relations géométriquement, prenons un arc MR=2A, fig.^ter; MN sera son sinus. En joignant M. à l’extrémité Q du diamètre qui passe par R, nous formerons l’angle MQR =A, car il est moitié de MGR. Pu point Q comme centre et d’un rayon CQ, décrivons l'arc CO, puis abaissons OP qjii sera le sinus de A. Les triangles semblables MNQ, OPQ donnent

mn : op :: mq : oq

ou

sin.A x MQ

11 reste à faire voir que MQ = 2. PQ = 2. cos. A. Pour cela, traçons la corde MR : elle termine un triangle MQR semblable à OPQ, car tous deux sont rectangles et ont un angle commun en Q : donc on peut écrire la proportion MQ : PQ :: RQ I OQ : d’ailleurs, RQ est double de OQ = CQ, puisque le premier est diamètre d'un cercle dont CQ est le rayon ; donc

MP = 2 PQ =* 2. cos. A

et enfin

sin. 2. A