sin. A eos.A R

ou plus simplement sin. 2 A = 2 sin. A x cos. A .

S’agit-il de la formule (33); on remarque que dans lo triangle rectangle RMQ, RM est moyen proportionnel entre RN et RQ (Legendrb, livre III, proposition XXIII).

Mais RM = RN X RQ n'est autre chose que

4 sin.* A = 2(1 — cos. 2 A)

puisque RQ est le diamètre ou le double du rayon, et que

TRIGONOMÉTRIE RECTILIGNE

RN = RC — CN , c’est-à-dire que RN est égal au rayon diminué du cosinus de l'arc MR=2A ,

par conséquent cos. 2 A= I — 2 sin.A = cos. A — sin.A = i cos.A — i. (33)

18. Si l'on veut avoir les sinus et cosinus do 3 A, on fait B=2À dans (6) et (8) et l'on substitue les valeurs fournies par (32) et (33).

sin 3 A =■ sin.A cos.2 A sm.î A cos. A = sin.A (1—2 sin.1 A) -f- 2 sin.A cos.* A =>

3 sin. A (I — sin.*A) — sin.*A siu.3 A — 3. sin.A — 4 sin.*A (34)

cos. 3 A = cos.A cos.2 A — sin.A sin.2 A = cos. A (2 cos.* A — 1) — 2. sin * A cos. A = 2 cos.*A — cos. A — 2 (4 — cos.* A) cos A cos.3A = 4cos *A — 3. cos. A. (36)

On peut encore et plus simplement peut-être, arriver au même résultat par la méthode suivante. Dans la formule (10) on remplace A par 2 A et B par A : il vient alors

sin. (2 A -f- A) -(-sin. (2 A — A) = 2 sin.2 A cos. A

sin. 3 A = 2 sin.2 A cos. A — sin.A «= 4 sin.A cos?A — sin.A =

4sin.A(l — sin * A) — sin. A=» 3. sin.A — 4sin.*A. . . (34)

Do même nous aurons en vertu do (12)

cos.(2 A -j- A) -f cos A = 2 cos.2 A cos.A.

OU cos. 3 A «= 2 (2 cos.A — 4) cos.A — cos.A = 4cos*A — 3 cos.A . . (3b)

19. Pour 1 A, on peut remplacer A et B chacun par 2 A dans les formules (32) et (33) ou seulement B par 3 A dans (6) et (8), et l'on arrive à

sin.4 A = 2fin.2 Ax cos.2 A = 4sin.Acos.A (cos A — sin.^) =

4 sin .A cos.* A — 4 cos.A sin.A (36)

En éliminant successivement les valeurs de cas.2 A, ou sTïT.2 A dans celle do cos. 2 A, on trouverait encore pour la valeur de

sin.4 A = 4 sin.A x cos.A — 8 sin.A cos.A =8 cos.A sin.A — 4. oos.A sin.A. quant au cosinus, nous aurons cos.4 A = cos. A cos. 3 A — sin.A sin. 3 A. et cos.4 A o 4 cos.A — 3 cos A — 3 siii.*A -f- 4 sin.A =

4 (cosÎA -|-sm*A.)— 3 (cos*A -j- sin'A)

TRIGONOMÉTRIE RECTILIGNE

Nous savons que siD*A = 4 — cos.jV

et par suite sin.A = 4 -f- cos. A — 2 cos. A.

d OÙ cos.4 A = 4 (4 -(-îcos.A — 2cos.A) — 3=f Scos.A — 8cos.A-|- 4 . (37)

On trouve les mômes valeurs de cos. i A et sin. 4 A au moyen de (10) et (12) dans lesquelles on substitue 2 A à A et à B.

En effet il vient sin.4A-|-sinO = 2sin-2Acos.2A

= 4 sin.A cos. A (cos. A — sin. A)= 4 sin.A cos.A — 4 cos. A sin.A

et cos.4 A + cos. 0 = 2 cos. 2 A = 2 (cos*A — sin*A),= 2cos*.A -f- 2 sin*A —

— 4sin*A cos*A = 2. cos.A +2 (4 — 2 cos*A -f- cos.*A) — 4 sin.A cos*. A

OU cos 4 A = 4 cos* A — 4cos *A — 4(1 — cos. A)cos.A -f- I = 8cos*A — 8 cos A 1 .

20. Cherchons lo sinus et le cosinus d'un arc quintuple d'un autre, en fonction du sinus et du cosinus do ce dernier. Pour le sinus, prenons la formule (10) dans laquelle nous remplaçons A et B par 3A et 2A; cela nous donne :

sin.b A sin A = 2 sin.3 A cos.2 A

sin. 5 A — 2 (3 sin.A — 4 sin.A) (cos.A — sin.A) — siu. A =

2 (3 sin.A — 4 sin. A) (t — 2 sin.» A) — sin.A

sin 5 A = 6 sin.A — 8 sin. A — 42 sin.A — 4 G sin.A — sin.A =

= 46 sin.A — 20 sin* A b sin.A. .... (38)

Qnant au cosinus, nous trouverons de la môme manière

cos.5 A = 2 cos 3 A cos.2 A — cos.A =2 (4 cos*A — 3cos.A)(cos.*A — siuA)— cos.A,

eos. 5 A = 2 (4 cos.A — 3 cos.A) (2 cos.A — 1) — cos.A =

= 46 cos.A — 8 cos.A— 42 cos.l -f- 5 cos.A

et enfin cos.b A= 46C0S.A — 20cos!a-)-Scos.A (39)

On peut aussi trouver le* lignes trigonométriques des arcs mul-

THIüONoMÊTME BKCTIL10WK.

IG

tiples quelconques en fonclion de celles de l'arc simple, au moyen de la formule de Moivre, démontrée plus loin, § 73. On en déduit :

sin.m A = m sin.A cos.A — sin.A cos. A -p

in (m — 1 ) (« — 2) (m — 3) (m — 4) 2.3 4.5

sin.A cos. A —

2XÏ.5X7

sin.A cos. A -p etc.

cos.mA=cos.A ^ sin.A cos A-)- Y3Ï S'D J'

m (m— 1 Km — 2) (m — 3) (m — 4) (m — 8) 2.3.4. 5.6

sin.A cos. A -p etc

En y faisant successivement m= 2, 3, 4, 5, 6, 7, etc., on voit que tous les termes à partir du 2e, 3«, 4% etc., dans le développement du sinus et du 3e, 4', 5% etc., dans celui du cosinus, disparaîtront comme renfermant un facteur nul. Il en résultera donc

sin.î A = 2 sin.A cos. A cos.2A = cos. A — sin.A

sin.3 A = 3sin A cos. A — sin*A = 3 sin.A — 4 sin.A. cos .3 A = cos5. A — 3 sin*A cos. A = 4 cos. A — 3 cos. A. sin.4A = 4sin.Acos.A — 4 sin.A cos. A

cos. 4 A = cos. A — 6 sin. A co.i. A -p sin.A = 8 cos. A — 8 cos. A -p t . sin.5 A =5 sin. A cos. A — <0 sin?Acos.A-p siiî.A = 16 sin'.A — 20sin.SA -P o sin. A .

cos. 5 A = cos.A — 10 siù.A cos. A -P 5 sin.A cos. A = 16 cos.*A — 20 cos?A -p 5 cos A.

sin.OA = 0 sin.A cos. A — *20 sin.A cos.A -f- 6 sin A cos.A.

cos.6 A = 34 cos. A — 45cos.A-p locos.A.

sin.7 A = 7sin.A cos?A — 35 sin*A cos^A -p 2J sin.A cos.A — sin.A =

= 7 sin. A — 56 sin. A* -P 142 sin.A — 61 sin.A

cos. 7 A « 64 cos.A — 4 42 cos.A -f- 56 cos. A — 7 cos.A

TRIGONOMÉTRIE RECTILIGNE

Il existe une analogie frappante entre les 6inus et cosinus d’un môme multiple impair; maison ne peut obtenir un résultat semblable pour ceux des multiples pairs, parce que dans les développements des sinus, on ne peut faire disparaître les différentes puissances impaires du cosinus de l'arc simple, ou du moins, on obtiendrait un développement en série qui no satisferait point au but que l’on se propose : en effet, on pourrait bien remplacer

cos. A par (1 — sin.A)*, mais en développant, on trouverait : cos? A = 1 — J sinlA + 1 sin.A — sin?A -f- ,}, siu.A — etc.

et des séries convergentes analogues pour cos A, cos.A, etc.