ÉCHELLES LOGARITHMIQUES OU RÈGLES A CALCUL

41. Depuis longtemps déjà l'on fait usage de règles qui, par l'addition ou la soustraction de quantités linéaires, produisent les mêmes résultats que les additions et soustractions logarithmiques. Leur emploi est toujours plus simple que celui des logarithmes, pour la recherche desquels il faut constamment feuilleter des tables souvent très-volumineuses : il est moins exact, mais il suffit souvent. C’est donc à celui qui doit faire certains calculs à se rendre compte d’avance do la précision qu'exigent les opérations dont il s'occupe.

Un ingénieur piémontais, M. Porro, dont j’aurai à parler souvent dans le cours do cet ouvrage, en a construit une dont d'utilité a été constatée par l’expérience. Dans plusieurs travaux topographiques exécutés sous sa direction en Piémont, on a constamment employé l'échelle logarithme de M. Porro, et toujours elle a donné les résultats les plus satisfaisants.

42. Nous allons donner l’explication de cette échelle logarithme; ce qui mettra à même de comprendre, fondées qu’elles sont sur le même principe, à la première vue, toutes les autres échelles antérieures et analogue» connues en France sous le nom

UK. iim iniKs

de règles à calcul, et, en Angleterre, sous celui d’échelle do Gunter (géomètre qui vivait vers l'an 1830 .

L’échelle logarithmique, dont il s’agit ici, est très-favorable à la résolution de plusieurs problèmes de topographie , clic est mémo indispensable, si l’on veut opérer suivant la méthode de M. Porro, et avec les instruments dont il est l'inventeur et que nous décrirons plus loin.

Voici le principe sur lequel repose la construction de l'échelle logarithmique.

Une longueur arbitraire AB ( fig . 1, planche XIX) étant prise pour unité logarithmique, représentera le logarithme de 10.

Ceux de 2,3 8,9 pourront être indiqués par des fractions

convenables de AB. D'ailleurs le logarithme de 1 étant zéro, on écrira 1 à côté de A, et la distance totale AB sera partagée en parties proportionnelles aux logarithmes des nombres dont la notation sera inscrite à côté. Il est donc bien entendu que les chiffres représentent la suite des nombres naturels, dont les distances correspondantes au point de départ A sont les logarithmes.

En ajoutant sur la mémo droite et bout h bout plusieurs échelles semblables, il est évident que les longueurs AC, AD, AE représenteront les logarithmes de 100, 1000, 10000, tandis que les subdivisions donneront, en prenant toujours A pour point de départ, les logarithmes de 20, 30, etc., 200 , 300, *ctc., 2000. 3000, etc., suivant la partie de l’échelle à laquelle elles appartiennent.

On peut encore écrire à côté de A, B, C, D, la caractéristique qui convient aux logarithmes qui suivent chacune de ces lettres. Ce serait 0 auprès de A, 1 près de B, 2 près de C, etc.

S’il s’agit de trouver le produit de deux nombres ou, en d’autres termes, la somme de leurs logarithmes, ceux de 20 et 30, par exemple, on prendra, avec un compas, la distance de A à 20; on la portera à la suite de 30, et la pointe du compas aboutira h une division dont la distance à A sera le logarithme de G0. Mais -0 et 30 ont chacun pour caractéristique 1 : celle du produit sera donc 2. Ce qui nécessite l'addition d’un zéro h la suite du nombre trouvé, G0. On sait, en effet, que le produit de 20 par 30 est 600. De même, s'il s'agit de diviser deux nombres ou de retrancher leurs logarithmes l’un de l'autre, on prend leur différence au compas et sur l'échelle, puis on la porte de l’origine jusqu’à un point dont le chiffre, à une modification près,

logarithmes. 39

est le quotient cherché. Celte modification est analogue à celle dont nous venons de parler à l'occasion d'un produit. Il fallait prendre en considération les caractérisques engagées dans l’opération. Ici, en supposant que l'on ait h diviser 30 par 20, le quotient doit être 1,5, et cependant la différence des longueurs logarithmiques se trouve égale au logarithme de 15. Cela tient à ce que les nombres 30 et 20, comportant l’un et l’autre l’unité pour caractéristique, la soustraction de leurs logarithmes donne une caractéristique zéro qui correspond à un nombre qui n'a qu’un chiffre entier. On sépare donc par une virgule le chiffre de droite dans le résultat, qui se transforme ainsi en 1, 5 qùotient exact.

l-ne échelle ainsi construite et convenablement subdivisée, est propre h exécuter, avec le secours d'un compas, toutes les opérations de l’arithmétique qui, en définitive, se traduisent par des additions et soustractions do logarithmes.

13. Imaginons maintenant une autre ligne droite sur laquelle, la même longueur AB étant prise pour unité, on trace des divisions représentant en longueur les logarithmes des sinus et des cosinus. Agissons de la manière à l'égard d’une troisième droite sur laquelle les divisions suivront celte fois la loi des tangentes et des cotangentes, il est évident que l'ensemble de ces trois échelles permettra de résoudre en nombre, une formule trigonométrique quelconque.

• Si pourquelque usage particulier, une fonction complexe, mais toujours la même, était d’un usago fréquent, on pourrait se former une échelle spéciale des logarithmes de celte fonction, afin d'abréger encore les opérations.

C'est pour cette raison que M. Porro a ajouté, U ses échelles, les logarithmes des 6inus carrés des angles compris entre 60‘ et 110*. Nous dirons plus tard dans quelles circonstances il en fait un fréquent usage.

Les échelles logarithmiques ne se construisent pas indispensablement eu ligne droite, et ne s'emploient pas seulement au compas.

Il en existe dans lesquelles so trouvent des coulisses qui, divisées suivant la même loi que le bord de la rainure dans laquelle elles glissent, permettent de faire aussi les additions et soustractions de logarithmes. Leur longueur, nécessairement assez restreinte, devient souvient un inconvénient.

Lambert en avait fait exécuter une, en 1761 , qui avait i pieds .

LOGARITHMES

anglais de longueur. Elle remplaçait parfaitement les logarithmes h 5 chiffres. On en a construit aussi en demi-cercle, en cercle entier et mémo sur un cylindre. Celles de M. Porro, pour lesquelles on fait usage du compas, sont les moins coûteuses et les seules établies suivant la division centésimale du cercle, adoptée depuis longtemps par le Dépôt général de la guerre. La longueur qui représente sur ces échelles l’unité logarithmique est de 0ro20. Elles peuvent suffire le plus souvent dans les levés topographiques.

44. Voici l’explication de ces échelles : elle suffira, avec l’aide de la fig. 9, planche XIX, pour en faciliter l'usage aux personnes qui voudraient s’en servir. La figure n'a pas d’autre but et, trop petite et incomplète quant aüx chiffres, ne pourrait pas remplacer l’échelle ellc-mérac plus grande et divisée avec une précision qui nous est inutile ici.

La première échelle, vers le bas de la figure, est celle des parties égales. La longueur 1.2., qui représente l’unité logarithmique , est divisée en 100 parties : la première division l’est elle-même en 10, do sorte qu’on peut apprécier les longueurs comprises entre 1 et 2 à un millième près.

L’échelle qui suit en remontant, considérée par sa numération inférieure, représente les logarithmes des nombres depuis 10 jusqu’à 1000. Elle donne chaque dixième d’unité de 10 à 20, les dixièmes 2 à 2 de 20 à 40 : 5 à 5 de 40 à 100, puis les unités entières de 100 à 200 : les unités 2 à 2 de 200 à 400 : 5 à 5 de 400 à 1000.

Les divisions sont partout assez larges pour pouvoir, avec un peu d’habitude et un bon compas, estimer un chiffre de plus. Les chiffres romains, plus gros que les italiques et placés hors lignes, représentent les caractéristiques sur toutes les échelles.

La même longueur étant prise pour unité, on a gradué la troisième échelle pour donner les logarithmes des sinus depuis 1* jusqu’à 199' . La valeur et l'ordre des subdivisions se comprend aisément à l’inspection de la figure, ainsi que le sens et la signification de la double numération supérieure relative aux sinus.

La même échelle donne, au moyen des chiffres inférieurs, les logarithmes des cosinus. Ces chiffres sont, comme on le sait, complementaires de leurs correspondants à la ligne supérieure, en raison de ce que

cosin. A «=sin. (100* — AJ.

LOUARITIIMKS.

Pour n'inscrire que les arcs dont les cosinus sont positifs, les chiffres vont de 0‘ à 99*, puis de 301* à 400’. C'est ainsi, et pour lo même motif, qu'à In ligne supérieure n'apparait que la nomenclature des arcs de 1* à 199*.

Quant aux arcs dont l'amplitude entraîne le signe — , soit pour le sinus, soit pour le cosinus, il faut se rappeler que

fin. A = — sin. (Î00" A) cos. A = — cos. (200 + A).

Il résulto de là que, lorsqu'il s'agira de trouver le logarithme du cosinus ou celui du sinus d’un arc qui n’est pas indiqué sur l’échelle, il faudra, invoquant l'une des formules ci-dessus, ajouter 200 à l'arc, et ne pas oublier qu'alors la ligne trigonométrique cherchée doit être affectée du signe — .

11 manque encore à celte échelle, pour la rendre complète, les logarithmes des sinus de 0* à 1* et de 100* à 200*, ainsi que leurs correspondants pour les cosinus.

Il faut observer à ce sujet que, si l'on pose m= ,on peut,

dans le premier et le dernier grade de la demi-circonférence, considérer m comme constant. On pourra donc, sur l'échelle des nombres, prendre le logarithme de l’arc en grades, et ajouter le logarithme de m.

Celle opération est bien simplifiée sur cette échelle même, au moyen de la numération supérieure et des caractéristiques correspondantes qui sont déplacées par rapport aux earactéri'stiques inférieures d’une quantité égale au log. de m.

L’échelle n° 2, considérée dans sa numération supérieure, sert donc à compléter l'échelle des sinus et cosinus.

L’échelle n° 4 est faite de la même manière, et donne les logarithmes de tangentes de 1* à 50* et ceux des eolangentes de 50* jusqu'à 99*. Elle se continue comme celle des sinus sur la numération supérieure de l'échelle n° 2, et so complète par celle considération que

log. cols»gcnte = compI.log. tangente.

Pour les arcs plus grands que 100«, il suffit d'ajouter 100«, 200‘, 300“ à la numération de l’échelle, en remarquant que la tangente et la cotangentc d’un arc compris dans le second ou le quatrième cadran sont négatives, et qu'elles sont positives dans le troisième.

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LOGARITHMES

45. Nous compléterons celle description par l'exposé des règles suivantes :

1° Tous les logarithmes se comptent sur les échelles de gauche h droite, et c'est toujours de l’un des points A, B, C, etc. ( fig .- 1, planche X.IX), qu’on doit partir. On retient de mémoire la caractéristique, et l’on ne prend au compas que la longueur représentant la partie décimale du logarithmo que l’on veut combiner avec un autre, ou qui doit faire connaître le nombre ou l’arc auquel il correspond ;

2° On obtient le complément du logarithme si l’on porte l’ouverture de compas de droite à gauche ;

3" On obtient un produit lorsqu'on porto un logarithme en avant d’un autre, c’est-à-dire de droite à gauche. Si on le porte dans le sens inverse, le résultat est un quotient ;

4° Les puissances entières «le quantités données se trouvent en doublant, triplant, etc., au compas, le logarithme ou son complément, chacun dans le sens qui convient.

Les racines entières se déterminent en employant le procédé inverse.