CHAPITRE PREMIER

BUT DE LA TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE, NOTIONS PRÉLIMINAIRES : PYRAMIDE SUPPLÉMENTAIRE : PROPRIÉTÉS D'UN TRIANGLE : CAS D ÉGAL1TÉ : ÉGALITÉ DE SURFACE DES TRIANGLES SYMÉTRIQUES : SURFACE D'UN FUSEAU : SURFACE d’uN TRIANGLE EN FONCTION DE SES TROIS ANGLES.

40. La trigonométrie rectiligne a fuit connaître ce que I on entend par sinus , cosinus , tangente, etc., des angles ou des arcs de cercles qui les mesurent; quelles sont les lois qui lient ces lignes entre elles ; les signes qu'elles prennent suivant l’amplitude des arcs auxquels elles appartiennent ; les relations qui, dans un triangle, existent entre les lignes trigonométriques des angles et les côtés; de 15, la résolution des triangles rectangles ou obli— quangles, l'expression de leur surface, etc.

Le but de la trigonométrie sphérique est analogue. Elle s'occupe des triangles formés par des arcs de grands cercles, sur la surface de la sphère.

Les formules qu'elle enseigne sont d'un fréquent usage en géodésie et en astronomie.

47. Un triangle sphérique est une portion de la surface do la sphère comprise entre trois arcs de grands cercles. Pour trouver les relations qui existent entre ses angles et ses côtés, on considère la pyramide dont le centre de la sphère est le sommet et qui a pour arêtes les rayons aboutissant aux sommets du triangle. Scs angles plans sont égaux aux côtés du triangle, c'cst-â-dirc mesurés par eux, et les angles dièdres sont précisément les mêmes que ceux du triangle : en effet, au sommet A, fig. 0, menons les tangentes A*,- Afi : l’angle qu’elles forment entre elles est évidemment égal à l'angle A du triangle et comme elles sont perpendi-

4't TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE.

culaircs au rayon AO commune intersection des deux plans AOB, AOC, elles mesurent également l'angle qu'ils font entre eux.

48. Si par les sommets A, B, C, on mène 3 plans tangents à la sphère, ils forment uno nouvelle pyramide que l'on nomme supplémentaire, parce que ses angles plans sont suppléments des angles dièdres de la première et réciproquement. Rendons d’abord évidente l'existence de cette pyramide, c’est-à-dire faisons voir que les intersections de ces 3 plans deux à deux, se rencontrent on un seul et môme point. Lus deux plans tangents menés en A et C dont l'intersection estS'B' (fig, 7) coupent la face ASC suivant les droites AB', CB' et AB C mesure l’angle de ces deux plans. Soit de même S'C’ l'intersection des deux plans tangents qui passent par A et B, il est évident d’abord que B'S’ et C'S' se rencontreront, puisque ce sont des droites contenues dans un même plan B'ACC II reste à faire voir que la 3e intersection A 'S', qui forme la 3' arête de la pyramide supplémentaire, passe au même point S : en effet, elle doit rencontrer les droites B'S' et C'S' et si ce n'était pas en un même point S', elle aurait deux points communs avec le plan B' AC;, et y serait par conséquent contenue, ce qui n’est pas.

Nous avons dit que B' mesure l’angle des deux plans tangents en A et C : il en est de même pour A1 et C' : d’ailleurs, en considérant le quadrilatère A 'CBS dans lequel les angles C et B sont droits, on voit que A'=200 — S; donc les angles dièdres de la pyramide supplémentaire sont suppléments des angles plans de la pyramide directe, ou, ce qui revient au même, des côtés du triangle.

Le quadrilatère S'A CB' dans lequel S' est un des angles plans de la pyramide supplémentaire, et C un angle dièdre de l’autre, donne encore S'=200* — C parce que B'-f- A '=200*.

On pourra donc écrire, en appelant A,B,C,a,è,e, les éléments de l’une et A',B',C', a',6 ,c' ceux de l’autre.

n = 200* — A’, b = 200* -B1 . e mm 200*— C’, a' = 200 -À ,fc' = 200-B, c'<= 200-0

49. Dans tout triangle sphérique, un côté est toujours plus petit que lasommo des doux autres. Si a-+-i=c, la courbure étant la mémo pour tous les arcs de grands ceftles, il y aura superposition : ainsi le triangle se réduira à une ligne. En effel, par deux points de la sphère, on ne peut faire passer qu’un seul arc de grand cercle déterminé par le plan passant par ces deux points

TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE. kà

et par le centre. Si le centre se trouve sur la droite qui les unit, celle-ci devient un diamètre et peut être l'intersection commune à une infinité de plans méridiens. La surface comprise alors entre les arcs n'est plus un triangle, mais un fuseau. Le triangle serait plus impossible encore si a + c.

50. Pour faire voir que la somme des 3 côtés est moindre qu’une circonférence, soit ABC le triangle et A BD, ACD, les deux demi-circonférences dont les côtés b et c font partie. Nous venons de voir que toujours a< BD -|- CD : ajoutant de part et d'autre b -t-c, il vient a -f b + c < 6-he+BD-f- CD. Le second membre de l'inégalité vaut une circonférence, donc a-tb-hc <400*.

Il est évident que b -j-CD = 200« et c -f- BI>= 200‘, car les points A et D appartiennent à l’intersection des deux plans, et cette intersection est un diamètre qui partage en deux parties égales les circonférences auxquelles il appartient.

51. La somme des 3 angles est toujours plus grande que 200 et plus petite que 600* : en elTet, au moyen do la pyramide supplémentaire, l'inégalité ci-dessus se transforme en celle-ci

200 — A' + 200 — C' + 200 — B' < 400 000» — (A» -4- B* -(- C') < 400 el enfin A’ + B'-f C' > 200.

Ce qui est démontré pour l’une des pyramides l'est également pour l'autre. Comme il est évident que chaque angle est plus petit que 200*, il s'ensuit que la somme des 3 est moindre que 000*.

52. Examinons actuellement les différents cas d’égalité des triangles. De mémo quo les rectilignes, les triangles sphériques sont égaux entre eux, étant tracés sur une môme sphère ou sur des sphères de rayons égaux, lorsqu'ils ont :

1° Les côtés homologues adjacents à 2 angles égaux, égaux-,

2° Un «angle égal compris entre des côtés égaux;

3° Les 3 côtés égaux ;

4° Mais de plus, ils le sont encore, quand ils ont les trois angles respectivement égaux chacun à chacun, en supposant toujours qu’ils sont tracés sur des sphères de môme dimension, sinon ils seraient seulement semblables.

1* A=D, C = F, b=e. Les côtés b, c (/ig. 9) étant égaux en longueur et de même courbure, peuvent se superposer de ma-

16 TRIGONOMÉTRIE SI'tlÉRIQL'E

ni lire que leurs extrémités coïncident ; de plus, f s'appliquera sur c puisque A= D; d sc placera de même sur a , parce queC=F : ils se couperont donc en un môme point et par suite tous les côtés et les angles seront égaux .

2° A=D, b = e, c=f. L’angle D étant égal b l’angle A, les côlés adjacents pourront se superposer et leurs extrémités coïncideront, parce qu’ils sont de même longueur. E tombera donc en B et F en C. Les côtés a et d qui joignent ces points se confondront, et dans ce cas encore, l’égalité des triangles est évidente.

3’ Démontrons que les triangles sont égaux lorsque les 3 côtés le sont, c’est-à-dire qu’alors les angles le sont aussi ; et pour cela envisageons les pyramides qui ont les triangles pour bases et leurs sommets aux centres des sphères.

Des points A etD (fig. 10) abaissons deux perpendiculaires sur les faces opposées et par ces lignes faisons passer des plans perpendiculaires aux deux arêtes qui aboutissent aux deux autres angles des triangles. Ils couperont les faces des pyramides suivant . des lignes dont l’inclinaison entre elles mesurera les angles dièdres. Le problème est ainsi ramené à démontrer que

AGM = DIN Pt A1IM = DKN.

Les points A et D étant deux sommets homologues des triangles, AP = DO comme rayons de deux sphères égales. Les angles plans APG, DOI sont égaux puisqu’ils sont mesurés par des côtés do triangles donnés égaux : donc les triangles rectangles AGP,

DOI sont égaux et fournissent AG =DI , GP=OI.

On trouverait de même, au moyen des triangles APH, DCK, que AB = 1)K, PH=OK.

Les quadrilatères PGMH, OINK seront égaux par la raison qu’ils ont les angles en P et en O égaux compris entre côlés égaux, et les angles G,II,L,K droits : nous aurons donc GM = IN, MH=NK. Si maintenant nous considérons les triangles AGM, DIN, nous voyons qu'ils sont rectangles en M et N puisque AM et 1)N normales aux deux faces opposées à D et A sont perpendiculaires à toutes les droites passant par leurs pieds dans ces plans : ces triangles ont en outre les côtés AG=ID, GM = IN, donc ils sont égaux, donc AGM = D1N : et enfin les angles dièdres des pyramides ou les angles correspondants des triangles, sphériques sont égaux aussi.

4* De là, et au moyen de la pyramide supplémentaire, on lire

TRIGONOMÉTRIE SPIIÊRIQUE. 47

cetie conséquence, que deux triangles sphériques sont égaux lorsque leurs angles le sont. Supposons en effet que l'on ait

Substituons les valeurs de ces angles déduites des relations des pyramides directe et supplémentaire : il viendra

et par suite a^d', b'=e', c'=f‘ : donc les côtés des triangles qui servent de bases aux pyramides supplémentaires sont égaux, quand les angles des triangles donnés le sont. Par suite, tes angles A;, B', C' sont égaux à I)', E', F' et enfin, en substituant à ces angles leurs équivalents

200 — a = 200 — d, etc. ou plus simplement a = d, b = e. e<= f.

53. Deux triangles symétriques sont équivalents en surface. On dit que des triangles sont symétriques lorsqu’ils ont leurs côtés égaux, mais placés les uns par rapport aux autres, de telle sorte qu’ils ne peuvent pas se superposer. D'abord la démonstration précédente pouvant s'appliquer également à la circonstance particulière que nous considérons, il en résulte que ces triangles ont aussi les angles égaux. Celte conséquence se tirerait encore de ce qui suit. Pour mettre en évidence l'égalité de leurs surfaces, faisons passer un petit cercle par les 3 points A, B, O de l’un ( fig . 11) et opérons de même par rapport au second triangle A'B'C'. Si, par les centres de ces petits cercles, on élève des perpendiculaires à leurs plans, elles perceront les sphères en des points P, P qui seront les pôles de ces petits cercles et conséquemment à égale distance des sommets de triangles. Imaginons les arcs de grands cercles PA, PB, PC d’une part, et P' A', P'B',P'C' de l’autre, tous égaux entre eux. Ils divisent les triangles donnés, chacun en 3 triangles partiels, qui sont égaux et superposables : en effet, les triangles ABP, B’A'P' sont égaux comme ayant les 3 côtés égaux chacun h chacun : ils sont isocèles , donc les angles BAP,ABP,B'A'P',A'B'P' sont égaux. Dès lors nous pouvons placer ces deux triangles l’un sur l’autre; l'angle A’B'P' couvrant BAP. De la môme manière, les triangles APC, A'P t : donc enfin deux triangles symétriques sont égaux en surface. Ajoutons que les deux angles en lesquels ont été décomposés chacun de ceux des triangles proposés, étant égaux, les angles homologues A et A', B et B', C et C' le sont aussi.

54. Un fuseau sphérique so compose do la portion de la sphère comprise entre les plans de deux grands cercles. Considérons le fuseau PMNQ {pg. 12), l'arc PQ mesuro l'angle des deux demigrands cercles qui embrassent le fuseau. Cet arc PQ peut être commensurablo ou non avec la circonférence. Voyons d’abord ce qui se passe dans le premier cas. Supposons que l’on ait PQ : ^circ. PL ; : rn : n. Divisons la demi-circonférence en n parties, dont m seront comprises dans PQ, et imaginons des arcs de grands ~ cercles passant par tous les points de division et dont l'intersection commune serait le diamètre MN : la demi-sphère se trouvera ainsi décomposée en n fuseaux égaux entre eux.

Puisque \ S — nf et F=«i f, on pourra écrire F nf,

en désignant par S et F, les surfaces de la sphère et du fuseau. Supprimons f facteur commun du second rapport, et nous aurons

f : 4 s : : m : n ;; pq «rc.

Substituons à i S et J- C, leurs valeurs en fonction du rayon r.

(I) F : ÎTtri :: PQ :«r d'où F=ï.r. PQ.

co qui exprime que la surface d’un fuseau sphérique est égale au doublo de l'arc qui le mesure, multiplié par le rayon de la sphère.

Supposons actuellement, pour généraliser cette expression, que le rapport de la circonférence à l'arc soit incommensurable, cl faisons voir que la surface du fuseau est exprimée de la même manière. S’il n’en était pas ainsi, la proportion (I) devrait être modifiée : le 3e terme serait plus grand ou plus petit et supposons quelle devienne F : 2 »r’ :: PR : » r.

On pourra toujours diviser, ne fût-ce que par la pensée, la demi-circonférence en parties assez petites pour que l’une d'ellesS, tombe entre Q et R. Dans co cas on aurait, d'après ce que nous venons de voir plus haut, F' : 2 »/•’:: PS : * r.

Or, ces deux proportions ne peuvent subsister ensemble, puisque le premier antécédent do celle-ci étant plus grand que le premier de l’autre, le second antécédent est au contraire plus petit.

De même, on démontrerait que le 3' terme ne peut être plus petit que PQ ; donc la proposition est démontrée dans tous les cas.

55. Quelquefois on dit que la surface d'un fuseau est égale au double de l'arc qui le mesure; mais alors on sous-entend le rayon que l'on suppose égal h l'unité; car pour que la formule soit homogène et n’amène pas h un résultat absurde, il faut que le se-

TRIGONOMÉTRIE SPHÊRIQIB. 49

cond rnombro soit du deuxième degré , puisque le premier qui représente une surface est aussi du deuxième degré.

Le plus généralement un arc est donné en parties de la circonférence, en grades, minutes et secondes. L’expression de la surface ne peut contenir un facteur de cette nature : il y a donc, dans ce cas, une modification h apporter. On peut multiplier les deux termes d'un rapport par tel facteur commun que l'on veut, sans

l’altérer. Si donc le rapport abstrait ^ de l'arc au rayon est multiplié par la longueur de l’arc d’une seconde, par le mètre ou par toute autre quantité prise pour unité de mesure, il en résultera

que -p- = p. De là, \" = \m ^ etA*=^-. On emploiera

ta première ou la seconde suivant que l'on voudra transformer en . un arc gradué, son équivalent connu en mesure linéaire, ou remplacer un arc gradué par une ligne do môme développement. C’est la seconde qu’il faut employer dans l’expression do la surface du fuseau. On pourra facilement obtenir r" en remarquant que la demi-circonférence dont la longueur en fonction du rayon est représentée parier, contient 2000000 ' et qu’ainsi

itr : ÎOOOOOO"

ÎOOOOOO 3,14-1865 elc

On peut encore trouver ce que représente -L en remarquant

que r'1 étant un nombre abstrait qui exprime combien de fois Tare de la longueur d’une seconde est contenu dans le rayon, on a

r = r" arc 1" OU — <== arc. I».

D’ailleurs, nous savons que l’arc d’une seconde est très-sensiblement égal à son sinus, donc, puisque les tables nous donnent les logarithmes des sinus et non ceux des arcs, on peut écrire

Tels sont, en définitive, les facteurs qu'il faudra employer, quand on voudra faire l’une des deux transformations signalées plus haut.

56. Pour trouver l'expression de la surface du triangle ABC fig. 13), remarquons que celle dcThémisphèrc est égale à celles

50 trigonométrie spbéiiqie.

des trois fuseaux mesurés par les trois côtés AB, AC, BC, moins deux fois la surface du trianglo. Le premier fuseau est BCC' A dont l’amplitude est BA. Le second, qui comprend aussi le triangle ABC, est ABB C mesuré par le côté AC : Enfin, le troisième est C AA'B' dans lequel le triangle A'C'B' =ACB parce qu’ils ont les côtés égaux chacun à chacun et qu’ils sont symétriques.

Désignant par F, F-, F", les 3 fuseaux, nous aurons JS = F + F' + F" -2T=2r{A + B + C) — ÎT et enfin T = r(A4-B + C) — icr* = rtA + B + C — 1 cire.)

Pour abréger, on dit, en supposant le rayon égal à l’unité, que la surface du triangle est exprimée par l’excès de la somme de ses trois angles sur deux droits. Si l’on voulait calculer la surface d’un triangle au moyen de la formule ci-dessus, il faudrait commencer par réduire les arcs A,B,C en longueurs, d’après ce que nous avons indiqué plus haut. Il viendrait alors T = sin.l'' (A" -}-

pi * ,-2 formule homogène, puisque le second terme du

second membre contenant le carré de r multiplié par * qui ne représente qu’un rapport est de la deuxième puissance, comme le premier terme, aussi bien que le premier membre qui représente une surface.

Répétons ici, et pour la dernière fois, que lorsqu’on arrive à une formule en apparence absurde, cette prétendue absurdité, si l’on a opéré juste, tient à ce que l’on a considéré quelque ligne comme l'unité ; et dans les opérations trigonométriques, c’est toujours le rayon. Si, par exemple, on obtient une équation de la forme.