RÉSOLUTION DES TRIANGLES SPHÉRIQUES
57. Nous avons vu quo trois des six éléments d’un triangle sphérique étant connus, on pouvait déterminer les trois autres. Cherchons donc les formules qui, établissant des relations entre quatre éléments d’un triangle, permettent do déterminer l’un d’eux en fonction des autres. Il faut trouver les relations essentiellement distinctes qui existent entre les six éléments combinés quatre h quatre. Ces combinaisons, qui sont au nombre de 15, se réduisent h 4 cas différents. (Nous verrons plus tard, à l’occasion du binôme de Newton que le nombre de produits de m, quantités prises
quatre U quatre, est égal à — ■■ f,”. — -. Ici m = 6, ce
qui donne ^ = 15.)
1° Deux angles et les deux côtés opposés
2° Trois côtés et un angle
3“ Trois angles et un côté
4“ Deux angles et deux côtés
58. Pour trouver la formule qui lie entre eux deux ongles et les côtés opposés, nous allons employer la pyramide directe et supposer ses trois faces rabattues sur le plan de l’une d'elles KOK.' (fig. 14). Mettons en évidence tous les éléments développés dans ce plan. Considérons un point de l'aréte dans l’espace, dont la projection sera M. La distance de ce point que nous supposons l'un des sommets du triangle, au centre O de la sphère, sera R ou l’unité. Par la perpendiculaire abaissée de ce sommet et aboutissant en M, imaginons deux plans respectivement perpendiculaires aux arêtes OK et 0K\ Les traces MKG, MK'G' seront en môme •emps les rabattements des intersections des faces de la pyramide
par ces plans ; si actuellement nous opérons un nouveau rabattement, celui des deux plans autour do leurs traces MG et MG', le sommet opposé à la face KOK viendra en C et en C' : les droites CK, C'K' seront égales à GK, G'K et les angles A et B seront la mesure des deux angles dièdres ou des angles correspondants du triangle : CM sera de même longueur que C'M, puisque tous deux représentent la perpendiculaire abaissée d’abord sur la face KOK'.
Dans les triangles CMK, C'MK', on a
CM «=* CK sin. A cl C'M = C'K' «o.B.
Mais
CK = GK *= GO un. 6 «= H sio.fc, C'K' — G'K' t= G'O siü.o = R sin n
donc enfin R sm.A sio. fi = Bsin.R pin.n
ou simplement sin.A*in.i = siü.Bjin.o (I)
ce qui nous apprend que, dans un triangle sphérique, les sinus des angles sont proportionnels aux sinus des côtés opposés. Celte relation analogue k celle qui existe dans un triangle rectiligne, est toute préparée pour l’emploi des logarithmes.
59. Pour trouver la relation entre trois côtés et un angle, nous nous servirons de la môme figure, en y ajoutant les deux droites ML, KT parallèles k OK, MK'. Nous allons, pour simplifier et comme nous ferons à l’avenir, supposer queOGetOG' rayons do la sphère sur laquelle est tracé le triangle, sont égaux k l’unité. Nous avons, dans la démonstration précédente, négligé cette convention pour faire voir que la formule a lieu, quel que soit le rayon. Dans ce cas, OK = cos.a.
Décomposant cette ligne en ses deux parties OT et TK', nous trouverons dans le triangle OTK rectangle en T, que OT = OK cos.c, mais OK = cos.6, donc OT = cos. 6 cos c. Ensuite, puisque TK = LM comme parallèles comprises entre parallèles, nous pouvons écrire, en remarquant encore que les angles MKLKOT, sont égaux, comme compris entre des lignes respectivement perpendiculaires
TK =KM sin.r,-' mais KM = KC cûs.A = GK cos. A = sin. S cos. A donc TK' =.sio.6 sin.c tos.A
et enfin ros a=.cos.icos.e4-sin tsm.ecos.A (2)
CO. 3" Celte formule donnera de suite la relation entre trois
angles et en côté au moyen de la pyramide supplémentaire : cor en substituant b A, a, 6, c leurs valeurs, il viendra
cos. (200 — A')=cos. (200 — B') cos. (200 — C')+ sin.
( 200 — B') sin . (200 — C1) cos. (200 — o')
Les cosinus des angles supplémentaires sont égaux et de signes contraires, tandis que les sinus, égaux aussi, sont de même signe : donc en supprimant les accents,
— cos. A = cos.Bcos.C — sin. B sin.C cos o.. ... (3)
61. 4° 11 reste b résoudre le 4* cas , dans lequel il faut combiner deux angles et deux côtés, l’un opposé, l'autre adjacent: A,B,i,c, par exemple.
" C’est encore au moyen de la figure 14 que nous allons trouver la formule. .
Pour cela, considérons le triangle OKT, dans lequel
KT*=OK sin.c ou KT«=eos.A sin.e
puisque OG représentant le rayon de la sphère, le triangle OKG fournit bien OK = cos. b.
Décomposons actuellement KT en ses deux parties KL et LT, que nous allons apprécier en fonction des quantités qui doivent être mises en évidence et combinées entre elles pour résoudre le problème.
KL = KM. cos.e= KC. cos. A cos.c== sin. 6. cos .c. cos A LT = MK' * C'K'. cos.B <=» sin.o. cos.B donc KT ou cos. 6 sin.e = sin. 6. cos.c. cos.A-f- sin. A. cos.B ou, en divisant le tout par sin. b,
, . . , sin.o „
-eot.o sin e = cos.c. cos. A H ; cos.B
sin b
Ne devant laisser en évidence que 6, c, A, B, il faut éliminer • , . sin. A
sin. a au moyen de sa valeur sin.o ce qui donne pour relation finale entre les données
col. S. sin c= cos.c. cos. A -J- sin. A cos.B . .... (4)
Cela peut encore se déduire do la formule (2) ou plutôt do eos.b= cos.a. cos.c -f- sin. a. sin.e cos.B, dans laquelle on introduit A et l’on élimine a ; substituons-v, pour cos .a, sa valeur
cos. A. cos.c -f- sin.&siu.c. cos. A
et pour sin.a, son équivalent sin. 6 il viendra successivement
cos.fr = cos.fr. cos.c + sin.fr. sin.c. cos.c. cos A -f- sin.a. sin.c. cos B cos.isin*c = sia. A sin.c. cos.c. cos. A + sin.a. sin.c. cos B divisant tout par sin.c,
cos.fr. sin. c = sin.i. cos.c. cos. A -f- sin.a. cos. II OU cos.fr. sin.c >= sin.fr . cos.c. cos. A -f sin.fr. stn.A col B
et CnDli cot.fr sin.e= cos.e. cos.A + sin. A. cot.B . . . . . (4)
Telles sont les quatre formules générales propres à la résolution des triangles sphériques. La première seule n’a pas à subir de transformation pour être résolue par logarithmes. Les autres doivent, dans la pratique, être modifiées ou remplacées par de nouvelles, suivant les circonstances particulières qui se présentent.
6*2. Modifions les formules générales pour le cas où le triangle à résoudre est rectangle.
Puisque la somme des trois angles d’un triangle sphérique est comprise entre 200* et 600‘, il s'ensuit qu’un triangle peut avoir un, deux et même trois angles droits ; mais nous n'aurons à nous „ occuper que du premier cas. En effet, s’il est bi-rectangle, les côtés opposés aux angles droits sont égaux entre eux et au quart de la circonférence : sa surface est la moitié de celle du fuseau dont l’angle dièdre est mesuré par le troisième côté, puisque
S„r(A+ B+Q— «T» SC modifie en S=r(A + *«rr-f i Itr)- *r« = Ar
Si, parmi les éléments connus d’un tel triangle, il n'entre pas l’angle A ou le côté a qui en est la mesure, le problème est indéterminé, c’est-à-diro qu’une foule de solutions satisferont à la condition des deux angles droits auxquels sont opposés deux quarts de circonférence.
Si le triangle est tri-rectangle, les trois côtés sont égaux au quart de la circonférence. Quant h sa surface, elle devient
S=sr(ljtr-pl»r-f-Jnr) — «• r* ou S = J,r*;
mais 4» r' exprime la surface de la sphère entière, donc celle du triangle en est le huitième.
En supposant A =100‘ on a sin. A = 1, cos. A = 0 ,
TRIGONOMÉTRIE SEUÉR1QIF.
la première formule devient
. . , sin.6
SIO.OSin.B=5SID.O ou S10.O = — -
sm.B
c’est-à-dire que le sinus de l’hypothénuse est égal au rapport de ceux de l’un des côtés de l’angle droit et de l’angle opposé.
La deuxième se réduit à cos.o = cos.6cos.c.
Elle indique que le cosinus de l’hypothénuse égale le produit de ceux des deux autres côtés.
La troisième devient cos. a =cotang.B cotaog.C.
La quatrième enfin cotang.o = cosin.Bcotang.c.
Ces quatre formules ne sont pas les seules que l’on puisse déduire des quatre ou du moins des troisième et quatrième. Il est indifférent que, dans la première, ce soit A ou B qui vaille 100*, puisqu’elle est symétrique par rapport à ces deux angles. La seconde ne renfermant que A, n'éprouvera aucune modification dans l'hypothèse de B ou C droits.
Supposons actuellement B= 100', l’équation (3) deviendra
cos. A =a sin.C coa.o et 1 équation (k) cotang.o siu. c=,cotang, A.
Pour les pouvoir comprendre dans les mômes notations que les précédentes où a représente l’hypolhèuuse et A l'angle droit, changeons dans les deux dernières A en B, a en b, et écrivons
cos. B *• sin.C cos. & et cotang.6 sin.c = cotang.B.'
Il est inutile de supposer C= 100*, puisque la troisième équation fondamentale est symétrique par rapport à B et C, et que C neutre pas dans la quatrième.
Rapprochant ces formules, nous avons donc pour la résolution des triangles rectangles :
i sin <iXsin.B==sin 6 ç cotaog.a = cos.B X colang.r.
? eos.o=cos.4 Xcos.e. s cos.B = sio.C X cos.6.
J cos.a=col.B x cot.C ® cotang.6 sin.c = cotang. B.
Nous remarquons que, composées de facteurs seulement, elles sont favorables à l’emploi des logarithmes. C’est par ce motif que nous nous en servirons bientôt pour trouver de nouvelles formules relatives à la résolution des triangles obliquangles.
TRIGONOMETRIE SPUÊR1QUE.
ôG
CHAPITHE III.
RECUERCUB DES FORMULES PROPRES A LA RÉSOLUTION DES TRIANGLES A L’AIDE DES LOGARITnMES.
63. Les formules générales réduisent à quatre cas distincts les quinze combinaisons que produisent quatre à quatre les six éléments d’un triangle. La question n'est plus aussi restreinte, lorsqu’il s'agit do la résolution réelle et pratique : quand on veut faire usage des logarithmes qui, comme on le sait, abrègent et facilitent beaucoup les calculs,
1° La formule (1) résout indistinctement le problème, quelle que soit l'inconnue a, b, A ou B.
2° Le second cas (a,b,c et A) donne naissanco b quatre problèmes : l'angle en fonction des trois côtés ; le côté opposé à l'angle en fonction de cet angle et des deux autres côtés ; enfin l'un ou l'autre de ces deux côtés en fonction des trois autres quantités.
Résolvons le premier et pour cela reprenons la formule (2) de laquelle nous tirons
cos.a — cos.A Xcos.c
cos.A = . — r . (7)
sis. A X sin.c
11 s’agit de réduire le numérateur du second membre à n’étre composé que do facteurs. L’artifice de calcul que l’on emploie consiste h ajouter l'unité aux deux membres de l'équation, ce qui donne, en réduisant au même dénominateur
I cos. A
sin.A sin.c-)- cos.a — cos. 6 cos. c sin.A sin e
cos. n — cos. (A -|- c) sin.A sin.c
la trigonométrie rectiligne nous a donné
\ -)~ cos.A «= îcos.s J A et cos.ç — cos.p = 2sin.l (/» -J- 9) sin.} (p — q) donc en comparant gàactpàô-fc
sin.l (a -f A -|- c) sin J (A -f c — a)
