CI

.+ Xlx* 4- ïlx 4- Y/.

+ VJ| -4-x/l

1“ Si A est la somme de m lettres, A-f-i représente évidemment celle de m + /, et par conséquent la forme assignée au coefficient du second terme est vérifiée. *

2° Si B indique la somrqe des produits deux b deux de m seconds termes a, b, c, etc., B-+-fA exprime aussi celle des produits deux h deux des m-f 1 termes.

3“ Il en est do môme pour tous les autres coefficients des diverses puissances de" x, et enfin IY est le produit de 'tous les seconds termes de »» 4- / facteurs.

En généralisant, on peut dire que le coefficient N d’un terme dont le rang est n -J- /, est le produit des seconds termes n à n. Pour passer actuellement au développement de la puissance d'un binôme, il suffit de faire a=b=zc =d= etc., et les résultats obtenus plus haut par la multiplication de 2, 3, 4, 5 binômes entre eux, se transformeront en puissances 2e, 3*, etc., de x -f- a et seront

(x -f n)’ = x* -f- îax 4- «*

(x -f- «i* = x» 4- 3ax* 4- 3n*x -} -a*

(x -f- «)* — x* 4“ Aux* 4” Gfl*x* 4- 4asx -f- 0 1 (x 4- “)5 =x5 4* ’oax* -)- IOfl*xJ 4- 10o5x* + 5a‘x-{-fl5.

71. Les coefficients numériques représentent le nombre de produits différents deux à deux, trois à trois, etc., que l’on peut faire avec un nombre do lettres marqué par la puissance du binôme, avec m lettres, si l'exposant de la puissance est ni. Pour trouver ces coefficients, indépendamment des multiplications partielles que nous avons effectuées, prenons une des m lettres pour la placer a côté des m — / autres ; elle aura fourni m — / produits de deux lettres : on peut en faire autant pour chacune, et l'on aura ainsi m (m — /) produits ou plutôt arrangements de deux lettres. Pour

avoir le nombre des arrangements trois à trois, on prend un de ceux de deux lejytres, puis on le porte à côté des m — 2 restantes ; le nombre des arrangements trois à trois est donc m (m — 1 ) (m — 2). Pour savoir combien m lettres en peuvent fournir p à p, on prend chacun des arrangements p — 1 à p— 1, et on l'écrit à côté do chacune des (m — p-f- 1) autres lettres. D'après ce que nous venous de voir, lo nombre des arrangements p — i à p — 1 est exprimé par m(m — 1) (m — 2). . . . (ro— p-+-2). Donc celui des arrangements p à p est

Mais il s’agissait d’avoir le nombre des produits différents ; il faut donc diviser par le nombre d’arrangements que l’on peut faire aveep lettres combinées toutes ensemble, car lo produit est toujours le même, quel que soit l’ordre des facteurs.

Pour le trouver, il suffit de faire p=m dans l’expression générale trouvée plus haut, ce qui donne

ou, ce qui revient au môme

Le nombre des produits différents que l'on peut obtei^ir avec m lettres est donc

Rien de plus facile que d’écrire actuellement le développement d’une puissance m d'un binôme, en donnant successivement h p différentes valeurs dans le coefficient du terme général.

Pour avoir le coefficient du troisième terme, faisons p = 2, il

vient — Yi —

Pour le quatrième terme

P=3 d’oïi

Donc

+etc. (i)

Pour en retenir plus facilement la forme, il est bon d’observer que le coefficient d'un terme quelconque se compose du coefficient du terme précédent multiplié par l’exposant de x dans ce terme, et divisé par le chiffre qui indique son rang dans la série. Ainsi, en se rappelant seulement que le développement (œ-t-oj’ commence par xm, tout le reste s’en déduit.

72. La marche que nous venons de suivre fait assez voir que la démonstration ne se rapporte encore qu'au cas où l'exposant est entier et positif. Il s’agit actuellement de généraliser et de démontrer que l’exposant étant fractionnaire ou négatif, le développement affecte toujours la mémo forme. En divisant par xm les deux membres do la formule (1), ello devient

-j-clc.

et en représentant - par s

(t + s) =3 t + ms -p m — — -! s« -)- m — — «3 -f-'elC. . (2)

Si nous vérifions la formule (2) pour tous les cas, (1) le sera aussi.

Dans la série qui forme le second membre do (2), s no change pas, c'est tn que nous rendons variable; nous pouvons donc dire qu’ello est fonction de m, et écrire

f ( m ) = t + m: -| ** + etc.

Quand m est entier et positif, nous savons déjà de quelle forme • est cette fonction ; c’est +5)™. Observons’actuellement

que quels que soient m et n, le produit de f {m) par f[n) sera toujours f[tn-\-n). Effectuant, on trouve en effet.

(3) A"0 =» t -f mï -f m ï» 4. -f s

MNÔMR DK NEWTON.

Le coefficient du troisième terme peut s'écrire sous la forme

m (m — I ) imn 4- n (n — t )

Le coefficient du 4e terme en z3 do f (m + «) est

Celui du 4' terme, en z3 aussi, dans le produit de f(m) par f (n> est

t)(m — 2) ! mil (m — f)

ou, co qui revient au même,

m (m — t) (m — 2) , 3.m» (m + n — 2) ( n(n — 1)(n-*-2) îâ ■* 1 Ï3 .

Si l'on fait les multiplications et réductions convenables dans ces deux quatrièmes termes, on arrive au même résultat

-îK

donc

m3 + "* +3 ("•-!*•) —a (m* -f- n*) — Onro + 2 (m + »)

(m+nH <)

Et l’on voit que le second membre se peut déduire do (3) en changeant m en in-\-n. Donc enfin f (m)/‘(n)=/‘(m-f-n). Si l'on remplace « par n p , on aura de même f(m)f(n)f(j>) = /■(»» + n + p) et ainsi de suite. Supposons quo l'on répète cetto opération pour un nombre a de fonctions semblables, et que de plus n»=n=p=ctc., on aura [f{m) ]* = /‘(ma).

a est essentiellement entier et positif, mais m est toujours quelconque : on peut faire m == -, il viendra alors £ f (l+z)‘: car b est entier et positif. Extrayant la racine a des doux membres, f M = (1 + s)ï.

’ Nous avons d’aillours posé comme point de départ

/■(m' ou / (^) ^ 1 4^ - + «V« ^jW-fete.

Donc enfin *

(I + s)“ = I -f- - : -f- ° / ** + etc»

Supposons maintenant que m soit négatif et égal à — n , on aura /•(m-t-n) = /■(«)/» transformé en f(-n) /•(» — »)=/• (O)

or de la formule

f(m') = \ +m'i+. . . +iml, on tire /■(•<) = i en faisant m'= o. donc

/■(—*) /■(*)—» * OU n-n, =7^. = —„=(!+ z)

Il n’est peut-être pas inutile de signaler ici une contradiction apparente, dans ce que nous venons do dire que f[ 0)==1 : eu effet, si c’est dans la formule (3) que l’on fait m= 0, tous les termes hors le premier et le dernier deviennent nuis, et celui-ci ne contenant que la puissance zéro dune quantité userait égal à 1 unité, d’où il résulterait que /’(0) = l-*-l =2; mais pour détruire cette fausse conséquence, reprenons la formule (2) qui suppose que l’exposant n’est ni fractionnaire ni négatif, et examinons la composition du second membre. Il contient un nombre de termes plus grand d’une unité que l’exposant, et le dernier termo contient z à la puissance même h laquelle on élève le binôme : l’exposant est zéro dans le cas particulier dont nous nous occupons donc le nombre des termes se réduit au premier. Il est d’ailleurs égal à l’unité, ou en d’autres termes à z élevé à la puissance zéro : donc enfin le développement se réduit h l’unité et /’(O) à li •

73. Nous aurons souvent bésoin du développement en séries du sinus et du cosinus en fonction do l’arc. Pour en trouver la forme, il est nécessaire de faire voir d’abord que

(cos.A-f-V' — I sin.A/n = cos.»iA 1 sin.mA.

* Pour cela effectuons le produit de

cos.A -f- V — t sin.A ' ’

par cos.B -f- i/ — i sin.B

cos.A cos. B -f- v — • (sin.A cos. B + mn.B cos.A) — sin.A s*. B ■= cos. (A -f B) + V -1 [sin. (A + B))

DEVELOPPEMENT DES SINUS ET COSINUS

Si A=B , alors

(cos. A4- V —1 sin.A)* =<ÿjs JA -j- V —I sin.SA

Il est facile de voir que cette propriété continue à se vérifier pour les autres puissances. En effet, faisons 2A= P et multiplions

cos. P + V~sin.P par co»jjj|4- 1 sin.C.

Il viendra, comme plus haut

cos. (P 4- C) + v'^î Sin. (P + C)

puis en faisant A = C et rétablissant 2A au lieu de P

(cos.A + V sin.A)3 = cos.3 A 4- V— I sin.3 A. *

Démontré pour le carré et le cube, on peut, en généralisant, écrire

(cos.A 4- \/—\ sio.4ff=cos.mA 4- V— I sin.mA.

Telle est la formule do Moîvrc, de laquelle nous allons déduire les séries que nous nous sommes proposé de trouver. Si nous développons la puissance m du premier membre suivant la formule du binôme de Newton, il s’ensuivra que

cos.m A 4- \/ — 1 sm.in A = cos. A4» V — 4 sin.A cos"-'a —

r sin. * A cos. A ■

— 1 — ^ ,j -V — I sin.5A cos. A 4-

nt{m— <)(m — î)(m— 3) »-♦

H TÏTi sio.<Acos. A-fetc.

Toute équation telle que celle-ci, renfermant des quantités réelles et des quantités imaginaires, ne peut exister qu’aulant que les quantités réelles sont égales entre elles, et qu'il en est de même des quantités imaginaires.

Ainsi, pour que- »n4-»iv/^î=p4-?V/~i soit vrai, il faut que m=p et n = q, puisque l’on en tire m—p=(q — n)y/— 7 ou en élevant au carré (m — p)’ = — ( q — «)\ Des carrés sont toujours positifs : cette équation dernière renfermera donc une absurdité toutes les fois que l'on n’aura pas m = p , n=q.

I) après ce principe , cos.mA doit égaler tous les termes réels

*72 développement des sinus et cosinus.

du second membre, et sin.roA tous ceux qui sont affectés du signe V^TT. Cela nous donne donc

cos.wA=cos. A s s,n' ''

l cos. A +

ni (m — 1 ) ("i — 2) (m ~ 3) sin *1 cos . * A — etc.

„l (m - I) (m — 2) t krn,m^\ 4sin.m A = m sm.A cos. A — 4.3.3

. m (m — I) (rn — *) (*" — 3) (w — 4) >m 5 A cos m \ cic.

Nous pouvons ici remplacer sin. A par son équivalent cos. A , tang. A. La raison qui nous conduit à celle transformation, est que la somme des exposants du sinus et du cosinus étant la même pour tous les termes, tous ensuite contiendront cos.“A qui pourra être mis en facteur commun.

cos.m A «cos. A -5 tsng.*A-f — — ,534 8

m (m — 1 ) (m — 2) (m — 3) (w — 4) (« — !i) „nï 044. de.')

Tî.3.4.56 .

sin.m A = cos. A (m Ung.A 7^3 la"B ^

m {m - <)(m - 2) (m -3) (m - 4) ^ , t etc. )

Or, n'ayant pas jusqu’ici assigné de valeur particulière é A , nous pouvons faire t»A =* ou m = \ : substituant dans les formules, elles deviennent

.co,.i-eo. ; A (l -Â (a-‘ ) !>.« 'A+

sin.i=cos

*'A f - lang.A — Â (à 4) (a *) long.» A + V A 1 2.3

DÉVELOPPEMENT DES SIKHS ET COSINUS. 73

Réduisons les facteurs des coefficients de tous les termes au même dénominateur et nous aurons

! = eos.à A ^t —

x (x — A) tang.s A

X [x — A ) (x — 2A) (x — 3A) lang.<A 2.3.4

ng.<A \

sin.x=cos.»A [ x

»ng-A x [x — A) (x — 2A tang.»A

x(x — A)(Jr— 2A)(x— 3A)ix — 4A) lang.s.4 . \

2 8.4 S ~s ele- )

Ces deux formules doivent avoir lieu quel que soit A ; nous pouvons ainsi lui donner une valeur particulière, sans ôter à x sa généralité : supposons donc A=0 et voyons ce que devient le rapport de la tangente h l’arc.

On a vu, dans la trigonométrie rectiligne (37) que^ > 1 et — <1. Celte dernière inégalité peut, en remplaçant sinus par son équivalent cosinus x tangente, se mettre soüs la forme arc > cosinus X tangente ou — < J — , Cela a lieu quelle

arc cosinus ^

que soit la valeur de 1 arc : au moment où il devient nul, le cosinus est égal à l’unité ; les deux limites se confondent, et pour que ce que nous venons de trouver ait encore lieu, il faut que

tang-0* ,

arc 0* “

Cela posé, les formules qui développent sinus et cosinus deviennent

x1 xi

sin.^ clc.

cosinus = « - ^ + jJj - OXiÎG + «e.

74. Nous plaçons ici une démonstration des mêmes formules par le calcul différentiel, afin que l’on puisse comparer les méthodes.

Remarquons que le développement d’un sinus ne peut contenir de terme indépendant de l'are, puisque celui-ci étant nul, son sinus l'est aussi, et qu’il entre un terme qui est l'unité dans le

DÉVELOPPEMENT DES SINUS ET COSINUS

développement du cosinus par la raison quo l'arc étant égal à zéro, le cosinus est l’unité. Nous pourrons donc écriro

(1) sin.x = Ax + R* -f- Cx + elc. ,

(2) cosinusx = t -)- A'x -f B’x + C'x -fdc. différenciant cos deux équations, il vient

cos.x dx = a Ax dx-\- 4Bx dx -f- rCx dx + elc.

— sin.x tZx = n'A’x <ix-t-4'B’x rfr-f-f'C'x <lx-\-clc.

et en divisant de part et d'autre par dx

(3) cos.x = <iAx + Mix -f- eCx + elc.

(4) — sln.x = o'A'x + 4'B'x + c’C'x -felc.

Nous pouvons égaler les valeurs de x fournies par (1) et (4) de môme que celles de cosinus déduites de (2) et (3), ce qui donno

abc u'— I A' — I <■’— I

Ax + Bx + Cx + ctc. == — o'A'x — 4'B'x — c'C'x —etc.