tÎ

— etc.

co»m.r=l-ï + — -JJÎJÔ

-fête.

75. Après avoir indiqué la méthode précédente, pour donner une idée des ressources qu'offre le calcul différentiel, nous donnons encoro une démonstration par celle des coefficients indéterminés, comme exemple d’un procédé usité en beaucoup de circonstances, et que nous avons déjii employé dans la construction des tables de logarithmes.

Pour développer sinus x , observons d’abord comme plus haut, qu’il ne doit pas y avoir dans la série de terme indépendant de l’arc, puisque le sinus devient nul en mémo temps que l'arc. Dans le cosinus au contraire, le premier termo est l’unité, puisque x=0 donne cosin. =1. Do plus, le développement du sinus no doit contenir que deâ puissances impaires do x, et celui du cosinus que des puissances paires, par la raison que pour des arcs égaux et de signes contraires, les sinus sont aussi égaux et de signes contraires et les cosinus égaux et de même signe.

Les développements seront donc de la forme (I) sin.x =» Ax + Cx’-f- Ex* + etc. (î) cos.* «■= 1 -f Bx* +- Dx< + clc.

Ils formeraient réunis, la série complète

\ -j- Ajp •+■ Bx* Cx5 4- Dx* -f* Ex5«4" etc.

En cherchant les valeurs des coefficients A, B, C, etc., leurs signes seront en mémo temps déterminés, et nous serons assurés que toutes les puissances de x entreront days les deux développements , si nous ne trouvons aucun de ces coefficients égal à zéro. Prenons les deux formules

sin (x+ A) = sin.x cos.A 4- sin .A cosîn.x. cos.(*4- A) = cos.xcos.A — sin.x sin.A

et substituons les valeurs de sin. a: et cos. a; fournies par les formules (1) et (2), ainsi que celles de sin.A et cos.A, que donnent les mêmes formules en y mettant A au lieu do a; t il vient alors

(3) sin.(xf-A)— (Ax+C*« + E*5+ clc.)(l +BA»+ DA» + «te.) +

(AA + CAs + EA' + elrO (I + B*2 -1-DH + cic )

DÉVELOPPEMENT DES SINUS ET COSINUS

(4) co«.(x 4 A) = (1 4 Bxî + Dx* 4- etc.) (t 4. BA» 4- D h* 4- etc .) —

( Ax 4 Cx» 4 Ex* 4 etc. ) ( AA 4 CA» 4- EAS 4 etc.)

Si dans (1) et (2) on remplace x par x-t -A, on trouve

(5) sin.fx 4 A) =, A (x 4 A) 4 C (x 4 A)» 4 E (x 4 A)5 4- etc.

(6) cos.(x 4 A) = 1 4 B (x 4A)« 4 D (x4 A)« 4 F (x 4 A)6 4 etc.

Les équations (3) et (5) fournissent deux expressions différentes de la môme quantité sin.(a; -f- A) : nous pouvons donc égaler entre' eux les seconds membres et en faire autant de (V) et (6) : il vient alors en développant les différentes puissances du binôme x 4- h , • et ordonnant par rapport à A

Ax 4- A | 4-Cx» 4-3Cx»