CHAPITRE PREMIER

NOTIONS GÉNÉRALES

7G. La topographie étant la description d’une portion de la surface de la terre, doit se composer de problèmes graphiques dont la géométrie descriptive donne la solution au moyen de deux projections. C’est ainsi, à quelques modifications près, que l'on procède en topographie. On sait qu’en général, pour décrire un corps, on projette ses différents points et arêtes sur un plan vertical et sur un plan horizontal : puis qu’ensuile, si l'on veut reproduire ce corps ou en construire un semblable, on emploie les ordonnées déterminées par ces projections, ou des lignes qui leur sont proportionnelles. Telle est la méthode usitée pour la construction des plans en relief. Sur le polygone formé par la projection horizontale et à chacun de ses points principaux, on élève des verticales égales en hauteur aux distances respectives des projections verticales de ces points à la ligne de terre, et l’on réunit ensuite tous les sommets de ces ordonnées par une matière solide. Nous n'entendons parler ici que des reliefs d’une petite étendue, tels que ceux en plâtre qui sont employés pour modèles. Ceux en grand, qui autrefois étaient construits en carton, le sont aujourd’hui en bois. Les procédés très-ingénieux que l'on emploie, sont des opérations pratiques étrangères à notre sujet.

Quand On ne construit pas do relief, quand on s’en tient aux plans, on veut qu'ils parlent clairement aux yeux, pour que ceuxci puissent instantanément saisir l'ensemble du terrain et de toutes ses formes. Les deux projections dans ce cas, ne conviennent pas. Pour parer ù cet inconvénient, on est conduit h supprimer la projection verticale, en indiquant par des chiffres inscrits sur le plan les hauteurs relatives des points principaux. Ce moyen, déjà préférable aux deux projections, ne répond pas

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encore d'une manière assez satisfaisante au but que l’on veut atteindre, puisque la réunion do ces cotes ne ferait pas saisir au premier coup d'œil les accidents divers du terrain. Le seul moyen est d'imaginer tracé sur la terre un système de lignes dont les inflexions projetées horizontalement, indiquent celles du sol.

Cette manière de procéder appartient h une théorie particulière, très en usage pour le tracé des plans de fortification. Nous lui consacrerons plus loin un chapitre spécial.

Toute surface peut être engendrée de plusieurs manières : ainsi, un cône peut l'être par une génératrice passant par le sommet et s’appuyant constamment sur la courbe qui lui sert de base, ou par cette courbe s’élevant et décroissant sans cesse, jusqu’à ce qu’arrivée au sommet, elle se réduise à un point. Dans celte dernière hypothèse, on peut n'avoir égard qu’ii celles de ces courbes qui sont à égales distances, et qui peuvent être considérées comme des sections du cône par des plans équidistants. Une demi-sphère sera engendréo par un quart de cercle s’appuyant sur une circonférenco, et passant par son 'pôle, ou par cette circonférence s’élevant parallèlement à elle-même et décroissant de rayon jusqu'à ce que, réduite à un point, elle se confonde avec co pôle. De là naît l'idée des deux moyens adoptés pour rendre les formes du terrain, et dont l’un emploie les lignes de plus grande pente et l'autre les courbes horizontales. Parmi tous les systèmes que l’on pourrait imaginer, ces deux offrent une assez grande simplicité.

77. La ligne de plus grande pente est caractérisée par les propriétés suivantes :

1" De toutes les lignes partant du même point et (racées sur le terrain, c’est elle qui fait le plus grand anglo avec l'horizon : ceci résulte de sa définition;

2° Elle est perpendiculaire aux intersections do la surface par les plans horizontaux passant par ses extrémités;

3° Sa projection est perpendiculaire à celles des intersections et par conséquent est la plus courte distance entre ces lignes.

Pour le démontrer, soit AB, fig. 17, une ligne de plus grande pente terminée aux courbes que produisent les sections faites par deux plans horizontaux : P est la projection de A sur le plan inférieur et PB celle de AB. Prenons sur la tangente à l’élément de la courbe passant par B, deux points M et N voisins et également distants de B ; puis joignons M et N avec P. En comparant les

TOPOGRAPUIE.

triangles AMP, ANP et APB, on voit qu’ils sont tous trois rectangles en P, et ont un côté commun AP. Les deux premiers AP AP

donnent tang. AMP —j^y lang. ANP = — : le troisième four- AP

nit tang.ABP = pg. Les numérateurs étant les mêmes, il faut,

puisque l'angle ABP est plus grand que les autres, que le dénominateur PB soit plus petit que les dénominateurs MP, NP, et qu’ainsi PB étant la plus courte distance du point P U la ligne MN, lui soit perpendiculaire. De là résulte que les triangles rectangles MPB, NPB sontégaux ; car PB est commun et MB, NB sont égaux par construction : doncMP=NP. De même les triangles rectangles AMP, ANP sont égaux, et par suite leurs hypoténuses AM et AN sont égales. Il s'ensuit que les triangles AMB, ANB sontégaux, puisqu’ils ont un côté commun et lés autres égaux : donc les angles homologues et par conséquent ceux en B sont égaux ; donc enfin ces derniers sont droits. Ces lignes sont des obliques également écartées de AB qui, par suite, est perpendiculaire à MN: donc enfin, les différentes propriétés énoncées se trouvent démontrées. Si l’on employuit des lignes de plus grande pente continues depuis le sommet jusqu’en bas, elles seraient le plus généralement des courbes à double courbure, tandis que les sections horizontales sont des courbes planes. De plus, si l’on était parvenu à déterminer sur le terrain un assez grand nombre do ces lignes de plus grande pente ou normales, on ne serait encore pas dispensé de tracer des courbel horizontales, quand on voudrait avoir les cotes de certains points déterminés. Il faudrait d’abord qu’une de ces lignes de plus grande pente AB, A,B/, f>g. 18, fût cotée dans toute sa longueur, et si M est le point dont on voudrait connaître la hauteur au-dessus du plan de repère, il serait nécessaire de faire passer par ce point une courbe horizontale ME jusqu’à la ligne A’B', et CD serait la cote de M.

78. Le système des courbes n’offre pas le même inconvénient : tous les points appartenant à chacune d’elles auront même cote, et si l'on adopte un écartement constant entre tous les plans coupants, les courbes n'auront pas besoin d’être cotées. De plus, leur rapprochement ou écartement en projection, annoncera que la pente est plus ou moins rapide. Supposons qu’un plan vertical coupe cet ensemble de courbes, on construira facilement le profil résultant do cette intersection, en marquant au-dessus de la ligne de terre MN, fig. 19, les traces de tous les plans horizontaux équi-

NOTIONS GÉNÉRALES

distants, et y projetant les points des courbes correspondantes. Le proCI du terrain sera la ligne qui unira ces points. Si l'équidistance est assez petite pour que l’on puisse considérer les éléments du profil comme des lignes droites, on aura une suite de petits triangles rectangles dans lesquels les côtés verticaux de l'angle droit seront tous égaux, les hypoténuses représenteront les lignes du terrain, les côtés horizontaux on seront les projections, et dans lesquels la pente du terrain, étant proportionnelle au rapport des deux côtés de l'angle droit, sera en raison inverse de la base, puisque la hauteur est constante.

Si l'on a besoin de connaître la cote d’un point M, fig. 20 , placé entre deux courbes auxquelles appartiennent A et B, on l'obtiendra au moyen des deux triangles semblables ABC, AMN. La quantité MN ainsi obtenue sera ajoutée h la cote du point A ou de la courbo inférieure.

Plus tard (chap. II, § 202), en nous occupant de la manièro de figurer le terrain, nous verrons comment on a combiné ces deux systèmes : ce que nous venons d’exposer suffit on ce moment pour donner une première idée do ces méthodes.

79. Le problème de la topographie se compose, comme nous venons de le voir, de deux parties distinctes -. 1° la projection de tous les points de la surface constitue ce que l’on nomme la levée du plan; 2° la connaissance des ordonnées de tous ces points. C’est ce qui se désigne sous le nom do figuré du terrain.

Le plan de repère que l’on choisit pour y établir la projection orthogonale est le plan tangent h la surface de la sphère au point milieu de la portion que l’on veut décrire. Il faut entendre par surface de la terre celle des eaux de la mer prise entre leurs plus 1 grande et plus petite élévations.

Nous avons dit quo nous projetions tous les points de la surface h représenter sur le plan horizontal : ainsi BTB', fig. 21, étant cette surface, elle se projettera en ATA', et la calotte sphérique sera représentée sur le plan de projection par la surface du cercle dont AT=AT' est le rayon: c’est-à-dire que la projection allèrerâ les dimensions de la surface projetée. C’est d’ailleurs ce qui arrive toujours lorsque la projection et la surface no sont pas parallèles.

80. D’un autre côté, la surface de la sphère n’étant pas développable ne pourra jamais être représentée sur un plan d’une manière exacte. Il faut donc voir jusqu’à quel point, dans la pra-

tique, on peut prendre la projection pour la surface projetée : ce qui fixera la limite des levées topographiques. En d’autres termes, ce quo nous cherchons, c'est dans quelles limites le plan tangent en un point du globo peut, sans erreur sensible, être considéré, comme se confondant avec la surface. Soit O le centre du globe, T le point de tangence : la différence entre TA et SB, ou entre la tangente et le sinus, sera plus grande que celle qui existe entre l'arc et la tangente. Si nous supposons l’arc BTB' égal à 1*, le logarithme de la tangente de sa moitié BT ou0\50' sera 7,8950988 et celui du sinus correspondant, 7.8950854. Les deux nombres auxquels appartiennent ces logarithmes, sont 0,00785414 et 0,00785390 dont la différence est 21 cent millionièmes du rayon pris pour unité. Pour ramener celle différence au rayon du globe, qui a six millions de mètres environ, il faut multiplier 24 par ce qui donne = La différence outre la double tangente

AA' et le double sinus sera ainsi 2“ ,88, et par conséquent celle de l’arc à la tangente sera plus petite que ce nombre. Il s'ensuit qu’en prenant le cercle dont AT est le rayon, pour la projection de la calotte sphérique dont la corde est BB' et qui a 1‘ ou 10 myriamètres de diamètre, on ne commet pas une erreur de 3“ sur la dimension totale. Cette quantité est bien au-dessous des erreurs inévitables dans les opérationsde la levée d'un terrain d'une aussi vaste étendue. L'arc BTB' étant de 1" ou 100000 mètres représente en effet 20 lieues moyennes et la surface correspondante est de 314.

81. La projection que nous nous proposons de construire sera une figure semblable k celle qui serait projetée sur le plan tangent à la surface de la sphère. Elle sera le résultat de la rencontre de tous les rayons qui aboutissent aux points remarquables du terrain, par un plan aa' parallèle à AA', ou tangent à une sphère concentrique h la terre. Le rapport entre OT et O t qui sera aussi celui des côtés homologues sur le globe et sur la projection aa' sera l’échelle du plan. Il est évident que l’on pourra obtenir une infinité de projections semblables, mais différentes de dimensions, en faisant varier la longueur de Of.

Si l’on mesure un côté du terrain, et son homologue sur le papier, avec la même unité de mesure , on trouve deux nombres dont le rapport fournit une fraction qui indique l’échelle du plan. Toutes les fois qu’il est possible de la réduire à n'avoir que l'unité pour numérateur, on le fait pourlasimplifier.Si, par exemple, ,-j;