CANEVAS. — TRIANGLES

lairo doit rester l’erreur p, et par suite, quel instrument on doit employer pour atteindre ce but.

Si enfin, la longueur moyenne K étant obligatoire, on n'avait pas le choix de l’instrument; si l'on n’en avait qu’un seul h sa disposition et dont on connût le degré do précision JJ, la première inégalité indiquerait que les côtés de triangles, par suite des circonstances particulières que nous supposons, seront affectés

d’une erreur au moins égale à Kl,™8’g. On saurait ainsi quel degré de confiance on pourrait accorder au résultat, ou si l'on veut encore, quelle échelle il faudrait employer pour que l’erreur E devint insensible.

89. Pour bien nous rendre compte de ce que nous représentons par E et pour sentir de quelle influence est l’échelle du plan, observons d'abord que la cinquième partie d’un millimètre pouvant être considérée comme la limite des longueurs appréciables sur le papier, nous devons faire en sorte que l’erreur E réduite à l’échelle

ne soit pas plus grande que g^ou O™ ,0002 : c’est ce qui arrivera

Mra

lorsque nous aurons faitE=zg^, M représentant le dénominatcur de la fraction dont le numérateur est l’unité, et qui exprime l’échelle. En effet, pour réduire l’erreur E ou à celle échelle, nous devôns multiplier par— , ce qui nous donne précisément

gjjjjjj puisque RI est facteur commun aux deux termes de la fraction. Voyons quelles valeurs prendront E et K en raison des échelles. Supposons celle de ~ : alors

= 5000 “ 5 Ct

Pour l’échelle do

5tang.0

Si l’on opère à ^

ï. R UDg./3

t»ug./3

S’il s'agissait de continuer une levée faite h une ancienno échelle, h celle de 6 lignes pour 100 toises qui correspond à 77^,

Diqi

topographie.

ou aurait E = ,-^^ = 2'",880 et l'on conclurait encore le maxibOOU ,

muni correspondant de K. Supposons, pour fixer les idées, que

l’instrument dont on doit faire usage ne donne les angles qu'à 25’

prés, on aura :

K long. Ou. 23 R-

ou K ■<

R.2m,88 long (Kl, 25'

log. R =t <0.0000000 log. 2“ ,88 = 0.4479329 Cl. log . 0*, 28' = 2.4059379 <2.8538708

Ce logarithme, après avoir supprimé 10 à la caractéristique, correspond à 71V”. Telle est donc la plus grande dimension que puissent avoir les côtés pour que l’erreur angulaire no produise pas d’effet sensible sur le tracé des projections des côtés. Nous aurions pu, dans le calcul précédent, ne pas mettre en évidence le logarithme du rayon des tables, puisqu’on l’ajoulc par le fait môme de l’emploi du complément d’un logarithme, ce qui a nécessité la suppression de 10 à la caractéristique du résultat.

90. Les triangles étant disposés en vertu de ces différentes considérations, et d’après une reconnaissance préalable du terrain, on mesure les angles, les instruments le plus en usage se divisent en deux classes : les premiers sont la planchette et l’alidade dont l’emploi combiné donne le moyen de tracer les angles immédiatement et sans en connaître la gradation : on les nomme goniographes ; dans cette première classe on doit ranger encore le sexlant graphique dont nous donnerons la description en parlant des instruments à réflexion. Dans la secondo catégorie sont rangés les goniomètres, c’est-à-dire les instruments qui expriment l’amplitude des angles : ce sont le graphomètre, la boussole elle sextant gradué; ne nous occupant ici que des opérations graphiques, nous ne devons employer que les instruments qui donnent les angles réduits à l’horizon.

On se transporte successivement aux sommets de chacun des triangles désignés et l’on y recueille tous les angles qui y aboutissent; ces angles construits immédiatement donnent le tracé complet du canevas. Il ne faut pas oublier de déterminer en môme temps autant de points que possible de ceux qui ne doivent pas • servir de station, en dirigeant sur chacun d’eux des rayons do trois points au moins (afin qu’il y ait vérification); de manière qu’ensuitc tous l^s détails se rattachent à des points assez rapprochés pour que les erreurs, s’il y en a, deviennent insensibles.

TRIASUl.ES. — ORIENTATION.

9t. Nous avons dit qu'après avoir mesuré exactement la base, nous parlions de ses extrémités pour construire le canevas des triangles : mais AB étant cette base représentée sur le'papier et à l’échelle par ab, nous ne pourrons construire, h l'aide d'un goniographe. sur cette ligne un triangle abc semblablo h ABC, qu'aulant que nous ferons coïncider successivement a avec la verticale de A ,b avec celle de B et que ab sera dans le plan vertical de AB. C’est en cela que consiste l’ orientation du plan. Il est nécessaire que a coïncide avec A, lorsque de ce point on veut tracer l’angle immédiatement. Sans cela, il suffit pour l’orientation que ab soit parallèle au plan vertical de AB et que a et b soient disposés semblablement h A et B. On dira donc qu'une levée est orientée lorsque la ligne qui unit les deux projections est parallèle au plan vertical passant par les deux points homologues du terrain : ces points étant d'ailleurs disposés de la même manière.

La première chose à faire, en arrivant aux sommets A, B, C, etc., sera d’orienter le plan. On pourrait aussi satisfaire à cette condition, quand bien mémo les points donnés seraient inaccessibles. Dans ce cas, on prendrait un point J, fuj. 25, à peu près dans la direction AB ; on ferait placer un jalon J'sorl'alignement JB; on irait en J' et l’on verrait si J, J', A sont en ligne droite : sinon on changerait J, puis par suite J' de position, et ainsi de suite jusqu'à ce que les quatre points fussent en ligne droite : après quoi l’on pourrait stationner en J ou en J' et orienter son papier. On parvient au même résultat à l’aide de l’alidade. Plus lard, après avoir décrit cet instrument et la planchette, nous verrons comment on s’y prend.

92. On est généralement dans l’usage d'orienter par rapport à la méridienne, et par conséquent de tracer cette ligne sur les levées topographiques. Nous allons indiquer plusieurs manières d’atteindre ce but.

On peut tracer la méridienne au moyen des hauteurs correspondantes du soleil, et le problème se réduit à avoir l’angle que fait un côté du canevas avec la méridienne.

Soient AB un côté sur lo terrain, et ab, fig. 26, sa projection provisoire : on orientera la feuille do papier suivant ces lignes ; on élèvera sur le plan disposé horizontalement, un style vertical terminé par une plaque de fer noircie, percée d’un petit trou à son centre m et disposée de manière à recevoir à peu près perpendiculairement le rayon du midi : on projettera le centre m

en m' au moyen d’on fil à plomb; du point m' comme centre, on décrira plusieurs circonférences no'n', pop ' , etc.; on observera la marche du soleil un peu avant et un peu après midi; on divisera en deux parties égales chacune des portions de circonférences interceptées par la courbe produite par lo spectre solaire; les points milieux o,o',o", etc., et m' appartiendront à la méridienne. Si l’opération a été faite avec soin, ils seront exactement en ligne droite; sinon, il faudra prendre pour trace du méridien la droite qui passera le mieux possible par ces points.

Ceci est fondé sur ce que le soleil décrit sensiblement un parallèle h l’équateur, surtout pendant le temps que dure l’observation. Soit donc m', fig. 27, le point de station, SjS^S’.S'", les positions correspondantes du soleil avant et après midi. Les rayons Sp,S//p'.S'n,S",n/ feront des angles respectivement égaux avec le méridien; par conséquent les arcs no' ,n'o' seront égaux ainsi que po" ,p'o". Ce genre d’opération est plus exact vers les solstices qu’à toute autre époque de l’année, parce qu’alors la déclinaison est la plus petite.

93. S’il était nécessaire, pour avoir plus de précision, de tenir compte de la déclinaison diurne du soleil, on opérerait ainsi qu’il suit : soit R, fig. 28, le point de station, on s'oriente sur RP dont la trace rp sur le papier doit servir do ligne de repère.

On observe avec la lunette d'une alidade, garnie d’un verre noirci, le lover L et le coucher C du soleil le môme jour et l’on marque les projections de ces directions sur le papier.

Par la raison indiquée au paragraphe précédent, et abstraction faite delà déclinaison, le méridien devrait partager l'angle LRC en deux parties égales. Soit donc Rtn la ligne qui satisfait à cette condition. Pour la durée d’un jour, la déclinaison est assez sensible : en sorte que réellement, l’angle que fait la vraie méridienne avec RC est plus petit que celle quelle fait avec RL. (Nous supposons que le soleil se dirige du solstice d’été à celui d’hiver.)

La ligne Rm est donc un peu trop orientale ; mais, si l’on combine le coucher C avec le lever L' du lendemain plus tardif que celui de la veille, la ligne Rm qui partagera en deux parties égales l’angle CRL' sera, par une raison contraire, trop occidentale. Donc, en prenant une direction moyenne RM, elle sera trèssensiblement la méridienne.

Quand, par l’une ou l’autre de ces méthodes, on a obtenu la

i'LANIMÉTRIB. — INSTRUMENTS. 91

projection de la méridienne sur le papier, il faut mesurèr l'angle qu’elle fait avec l'un des côtés du cadre; faire sur rp, fig. 29, un angle égal, cl quand ensuite on aura tourné le plan de manière que cette nouvelle direction soit dans le plan vertical de RP, alors le côté du cadre dont il vient d’être mention sera dirigé suivant le méridien du lieu.