On peut sc proposer de déterminer au moyen de la plan

PLANIMÊTR1E. — INSTRUMENTS.

chette, la projection * d’un point S, fig. 38, connaissant celles de G,M,D qui sont inaccessibles ou auxquels on ne veut pas se transporter. On mesure en S les angles GSM, MSD et l’on fait en g et d deux angles agm, bdm qui leur sont respectivement égaux . Par les milieux c, e, des droites gm, md , on élève des perpendiculaires ; en g et d on élève aussi des perpendiculaires à ga, bd. Les points de rencontre O et O' sont les centres de deux circonférences qui devront se couper en s : car si l’on mène sg, sm, sd, les angles gsm, msd seront égaux à agm, mbd comme ayant pour mesure chacun la moitié des arcs gm, md. (Legendre, livre II, propositions 18 et tô.)

100. Il pourrait arriver que les quatre points fussent situés sur la même circonférence, et alors le problème ne serait pas résolu ; ou que les circonférences se coupassent sous un angle très-aigu. Dans ce dernier cas, il y aurait incertitude dans le choix précis de leur point d’intersection, si l’on ne faisait attention que, dans un cercle, un rayon abaissé sur le milieu d’une corde lui est perpendiculaire. Il résulte de cette observation que la ligne qui passe par les deux centres O et O' est perpendiculaire à la corde sm et que sK = Km. Si donc, après avoir uni les centres trouvés, on mène par m la ligne Sm perpendiculairement à 00' et si l’on prend *K= Km, le point s sera bien la projection cherchée. On peut aussi calculer les longueurs des rayons, au lieu d’employer la construction graphique, puisque l’angle goc est égal U a : or, dans le triangle rectangle goc, on a

go=—sc- ■ ce qui revient à B=«— gm—

sin .goc n t. sid. i

101. On peut résoudre le même problème à l’aide d’une seule circonférence : mais cette solution, pour offrir plus d’exactitude, exige que M soit en deçà de la ligne GU par rapport à S, fig. 39. Placé en S sur le terrain, on tourne la planchette de telle manière que g étant dans la verticale de S, le côté gd du plan soit dans le plan vertical de SD du terrain. Faisant ensuite pivoter l’alidade autour de g, on la dirige vers M et l'on trace la ligne gm'; l’angle m'gd est alors égal à MSD. On tourne de nouveau la planchette jusqu'à ce que la même droite dg prenne la direction SG ; d étant sur la verticale de S, on vise le point M comme précédemment, et l’on trace dm' , de sorte que gdm' = GSM. Par les trois points m',rf,on fait passer une circonférence ; parmetm',

TOrOGRAPIIIE.

une droite dont la rencontre avec la circonférence détermine la' projection s de S où l'on est placé sur le terrain. En effet, les angles dgm' , gdm, sont bien égaux aux angles que forment entre eux les trois rayons visuels, et puisque dsm, gsm leur sont égaux comme inscrits dans les mêmes segments de cercle, il s'ensuit que s satisfait aux conditions du problème : de plus, il y satisfait seul, car pour tout autre point, *' par exemple, l'angle total gs'd est bien toujours le même et égal à GSD, mais chacune de ses parties diffère de l'angle partiel correspondant du terrain GSM ou DSM : l'un augmente quand l'autre diminue.

On peut ajouter qu'en vertu de la solution précédente, la projection du point cherché est l’une des intersections de deux cirfércnces construites sur GM', DM' et que M' est l'autre; donc évidemment, puisqu'un seul point doit résoudre le problème, s est ce point.

Nous avons dit que cette méthode convenait dans le cas particulier où M est en deçà de DG par rapport à S : s’il en était autrement, les deux points m et m', situés tous deux du même côté et conséquemment trop voisins l’un de l’autre, détermineraientd’uno manière peu certaine la position de la droite m'ms.

11 existe une solution de ce problème basée sur la trigonométrie. Elle trouvera sa place lorsque nous nous occuperons de la

102. Le même problème peut so résoudre par un tâtonnement quelquefois assez prompt. Soient a,b,c les projections 6ur le plan des trois points du terrain A,B,C, fig. 40. On veut déterminer S où l’on se trouve; on oriente à peu près la planchette; par A,B,C et leurs projections, on fait passer trois droites qui viennent se couper suivant un triangle a[iy. Si le plan était bien orienté, les trois lignes se couperaient en un mémo points, projection de S.

11 faut donc faire un peu pivoter la planchette dans le sens convenable, pour que les trois rayons forment, par leurs nouvelles intersections, un triangle a'P'y' plus petit que le premier. On continue à procéder de la sorte jusqu'à ce qu’on trouve un triangle a"'j3’'y", sensiblement réduit à un point. Il est à remarquer que, dans les différentes positions, les angles a, a1, a ", formés parles directions prises sur A et C sont les mêmes; ils ont donc une mesure commune qui est la moitié de l'arc passant par A et C et appartenant à une circonférence sur laquelle ils sont toussitués. Le même raisonnement s'applique à P, P', P', P,;', d’une

Diqi

PLANIMÊTRIE. — INSTRUMENTS.

part, et à y, y', y", y"', de l'autre. Donc le point s, qui est à la fois p’ ' , y'11, appartient aux trois circonférences, c’est-à-dire est leur .point d'intersection. Si l’on construisait ces circonférences, on rentrerait dans la première méthode qne nous avons indiquée. C’est pour éviter cetto construction que l’on opère par tâtonnement.

103. Nous plaçons ici une nouvelle solution graphique qui nous a été communiquée par notre collègue lo chef d’escadron Poudra, professeur de géomélrie descriptive à l'Ecole d'étatmajor. Nous avons cherché une explication du principe sur lequel est fondée cette solution : c’est celle que nous donnons plus bas, non, que nous la croyons meilleure que la sienne, tant s’en faut , mais parce que nous paraissant suffisante, nous n’avons pas voulu abuser de son obligeance en le priant de nous communiquer sa démonstration.

Lorsqu'après avoir orienté la planchette de deux manières différentes et toujours arbitrairement, on a obtenu deux triangles ajîy, a’p’f 1 ( planche XIX, fig. 3). On mène une parallèle à la droite mPy à une distance égale à py. O11 fait de même par rapport à P'y' •, les deux lignes ainsi tracées se rencontrent en un point V. On joint V et m par une droite qui doit passer par S.

En agissant de la même manière pour «p et «'p', ainsi que pour et a'y', on obtient deux nouveaux points V' et V" par les intersections do ces deux couples de ligues. On joint le premier à d, le second à g, et l’on a ainsi deux autres lieux géométriques de s, qui se trouve donc à la rencontre des trois droites mV, d\', gV».

Il s'agit de prouver que c’est bien sur chacune de ces trois lignes que tombe la projection cherchée s.

Pour cela, il faut faire voir d'abord qu'elles doivent partager les angles que forment entre elles les lignes correspondantes des deux premières opérations, de telle sorte que les sinüs des deux parties de l’angle subdivisé soient dans le môme rapport que les côtés homologues des deux triangles semblables aPy, a'p'y'. Ainsi, par exemple, les 2 lignes y$m, P'y'm se confondront évidemment lorsque les côtés py, P 'y' se réduiront à un 6cul et même point s, c’est-à-dire quand le problèrnp sera résolu.

Soit en effet un angle ABC ( planche XIX, f\g. i) partagé dans un rapport quelconque p : q par une droite BD. Si, par un point E, F, G ou tout autre de celte ligne, on en mène deux respectivc-

meut parallèles aux côtés AB et BC de l'angle donné, leurs distances à ces deux côtés seront entre elles comme les sinus des sections p et q de l'angle. Pour s’en convaincre, il suffit de tracer de B comme centre et d’un rayon quelconque BF, un arc de cercle HF1 dont les deux segments HF, FI mesurent les angles ABD, CBD et d'abaisser les perpendiculaires FK, FL sinus des angles partiels qui mesurent en môme temps les distances des parallèles AB, MF, CB, NF.

Il résulte do là que la droite BD est le lieu géométrique des sommets de tous les angles égaux à ABC, formés par des droites respectivement parallèles à AB et BC, et distantes de ces lignes dans le rapport des sinus des angles partiels.

Dans le cas qui nous occupe, ce rapport est connu; car il est le même que celui des deux lignes py, P'y' puis dos deux autres afl, a'p', et enfin de *y et a’y'.

Cela posé, il devient évident que si l’on trouve un seul point de chacune des bissextriccs des 3 angles dont les sommets sont en d,m et g, elles seront déterminées puisque chacunes d’elles passe aussi par chacun des points que nous venons de désigner.

Or c’est ce que fournit précisément le procédé du commandant Poudra, lorsqu’il construit les sommets V, V/ et V" de trois angles dont les côtés sont respectivement parallèles, pour le premier, à py et pV; à «p et a<p' pour le second, et h »y, «Y pour l'autre; et que d'ailleurs ils en sont à des distances exactement égales à ces mêmes côtés.

Il est presque superflu d’ajouter que la construction serait aussi bonne si, au lieu de distances égales, on prenait des multiples ou sous-multiples, puisqu'ils conserveraient entre eux le même rapport et que par conséquent les intersections des nouvelles parallèles appartiendraient toujours aux droites cherchées.

Ces 3 ligues qui, par leur intersection unique, déterminent », sont tangentes aux segments capables des angles dsm, gsm, gsd. Si les positions arbitraires que l'on a données à la planchette ont donné naissance aux triangles opy, a'p'y' très-voisins, et par conséquent fort petits, on peut considérer les tangentes comme se confondant avec les petits arcs «a1 pp' yy' et abréger encore 1 opéralion, en se bornant à joindre, *par des droites, les points « et p et P', y et y'.

Nous avions trouvé la démonstration qu’on vient de lire, lors-

PLANIMÊTRIE. — INSTRUMENTS'

que le commandant Poudra voulut bien nous indiquer sur quels principes est fondée la sienne. En la plaçant ici sous une forme et dans des termes qui n’engagent pas sa responsabilité, puisqu’ils nous sont tout personnels, nous laissons subsister celle que nous avions trouvée et qui, moins rigoureuse, nous le reconnaissons, est peut-être plus facile à retenir.

La démonstration que nous allons donner repose sur plusieurs petits théorèmes qui s'enchaînent assez naturellement : 1° deux circonférences 1/5 g. 5, planche XIX) se coupant en «» et en s; si • par l'un de ces points, m, par exemple, on mène un nombre quelconque de sécantes communesàces circonférences, telles que • mA,mA' : la première les coupant en A et B, la seconde en A' et

B' : Si l’on unit ensuite l’autre extrémité t de la droite tm avec A et B, puis avec A' et B', les angles A*B, A'*B' seront égaux, puisque les 2 triangles désignés par ces mêmes lettres ont leurs deux autres angles respectivement égaux. En effet, les angles «Bm, Æ'm le sont, comme s’appuyant sur le même segment de circonférence : ils ont l’un et l’autre pour mesure la moitié de l’arc tgm compris entre leurs côtés. Par suite, leurs suppléments SBA, SB'A' sont égaux aussi.

’ Par un motif analogue, «Am = sA'm. Donc les troisièmes an-

gles des triangles dont il s'agit sont égaux.

Ceci posé, remarquons que le point *, dont il vient d'être question, est dans les mêmes conditions que celui qui, sous cette dénomination aussi, représente, dans la figure précédente et dans les fig. G et 6 bit, la projection cherchée de la station où l’on opère. Quant aux lignes AB et A'B', leur rôle est identique avec celui des couples <*(3 et a’p' , af et a'y', Py et p'ï'. Ainsi donc, il est démontré que les angles qui, ayant leur sommet commun en t, s'appuient sur les côtés homologues des deux triangles, sont P égaux.

2° Si l'on joint le point * à p et Y dans l’un des triangles, puis h P' et Y' dans l’autre, on formera ainsi des quadrilatères semblables par la raison, comme il est facile do le voir, qu’ils ont tous leurs angles égaux chacun à chacun. La fig. 5, planche XIX, l’indique au moyen d’arcs qui, par la manière dont ils sont figurés, évitent d’en dire davantage.

Les quadrilatères étant semblables, les triangles en lesquels on peut les subdiviser le sont aussi. Il y a donc similitude entre s Py et «P7 y', de sorte que si l’on abaisse du point t et sur les côtés Py

et py des perpendiculaires SD, SD' ; elles représenteront les hauteurs qui, dans ce cas et comme on sait, sont proportionnelles aux liases.

Tel est le motif pour lequel on a tracé dans la solution graphique deux droites parallèles aux bases, à des distances égales ou proportionnelles à ces bases. Le point de rencontre uni à m a donné une droite qui jouit, comme nous l avons précédemment énoncé en d’autres termes, de cette propriété qu’en abaissant des perpendiculaires de l’un quelconque de ses points, leurs longueurs sont proportionnelles aux côtés j3y, Py .

Le même raisonnement et la même construction, appliqués aux deux autres couples de lignes homologues, fournissent deux nouvelles droites sur lesquelles se doit trouver également le point s. Il est donc à leur commune intersection.

104. Il est enfin une dernière méthode, qui consiste h se servir d’un papier à calque. On l'applique sur la planchette; on y marque le point » où le percerait la verticale du lieu. Par ce point, on trace «A, sB, sC; on fait ensuite tourner le papier transparent jusqu’à ce que les trois directions qui y sont tracées passent respectivement par a,b,c, puis alors on pique le point t sur la feuille. Ce procédé, quand il est employé avec soin, est tout aussi rigoureux et beaucoup plus expéditif que les précédents. Il est nécessaire cependant que les trois rayons ne forment pas entre eux des angles trop aigus.

105. Graphomitre. Nous allons commencer la description des goniomètres par celle du graphomètre. Cet instrument se compose d’un demi-cercle (fig- 41) gradué en 180 ou 200‘, portant des pinnules aux extrémités de son diamètre et d’une alidade mobile autour de son centre et garnie aussi de deux pinnules. L’instrument roule sur un genou attaché à un pied. On place le limbe dans le plan des objets; on ajuste les deux pinnules du diamètre sur l’objet de droite en supposant que les divisions soient marquées de gauche à droite : on vise l’objet de gauche avec l’alidade mobile, et l’angle compris est l’angle cherché.

Pour vérifier cet instrument, il faut voir si le zéro de l’alidade mobile coïhcide parfaitement avec le zéro origine des graduations, lorsque les fils des quatre pinnules sont dans le même plan vertical. Si cette condition n’a pas lieu, il faut ajouter à chaque angle ou en retrancher l’erreur de collimation. On pourrait encore commencer par faire coïncider les deux zéros et voir si les

HIAMMÊTK1K. — INSTRUMENTS.

fils sont bien dans le même plan Vertical, mais la première marche est préférable, puisque, s'il y a erreur, on en lit immédiatement l'expression.

Si l'alidade mobile pivotait autour d'un point qui ne fût pas le centre du limbe, cette imperfection serait la cause d’une erreur véritable de lecture. Elle serait nulle dans la circonstance particulière où l'axe de l'alidade mobile passerait par le centre, et la plus grande possible quand cet axe serait dans une direction perpendiculaire à la ligne passant par le centre et par le pivot ; la distance de ces deux points serait sensiblement égale au maximum d’erreur. Au surplus, on pourra toujours, pour une position quelconque de l’alidade, apprécier l’erreur en dirigeant deux fois l'alidade fixe sur le point de départ, le limbe placé alternativement à sa droite et à sa gauche, puis visaul chaque fois le second objet par l'alidade mobile. La différence des deux lectures sera le double de l'erreur. (Voir§ 113 et fig. 43, pour une correction analogue de la boussole.) Ordinairement l'alidade mobile est munie d'un vernier dont nous allons donner une explication succincte.

106. On désigne sous le nom de vernier un appareil qui sert ù estimer les fractions des plus petites divisions d'un limbe ou d’une règle gradués. 11 est donc curviligne ou rectiligne : mais, l’explication étant la même pour l'un et l'autre, c'est du premier que nous allons parler, puisque tel est celui qui s'adapte au graphomètre. D’abord, nous dirons qu’un vernier, pour être d’un usage commode, doit être susceptible de deux mouvements, l'un prompt est imprimé par l'impulsion de la main à laquelle le frottement fait seul résistance; l’autre, qui s’opère aussi insensiblement qu'on le veut, au moyen d’une vis de rappel dont le vernier porte l'écrou. Celte vis fait corps avec le limbe du moment qu’on a serré la vis de pression qui y fait adhérer la pince dans laquelle elle roule.

Le vcrriier,surune courbe concentrique au limbe, est divisé en un nombre de parties plus grand d’une unité que celui des divisions renfermées dans le même espace sur le limbe. De là, il résulte, en désignant par D et d les graduations du limbe et du vernier, puis le nombre des dernières par n, que nd = (n — 1) I),

d ou l) = D et D— </=-

c’est-à-dire que la différence entre D elrf est d'autant moindre

loi

que n est plus grand. Pour le graphomèlre où D = 50' et n =» 10, on a D— d = 5C Si l’on avait pris n=25', on aurait 2iD =25 d et D — d = 2' : si enfin le cercle gradué était d’un assez grand rayon pour comporter des divisions de J* ou 25' , on trouverait D — d — V. D’après cela, et en raisonnant sur l'hypothèse de n = 10 , on voit qu'une division du vernier a une amplitude égale aux ~ d une division du limbe. Cela posé, supposons que les deux zéros coïncident, les deux divisions suivantes différeront de — : celles qui viennent après, de etc. Réciproquement, si ce sont les deux premières qui coïncident, le zéro du vernier aura dépassé l'autre de £ : si c'est la septième du vernier qui coïncide, le zéro du vernier sera en avance sur celui du limbe de ^ de 50', c’està-dire de 35'.

Puisque nous avons eu occasion de parler du vernier, disons qu'il est aussi d'un grand secours dans le compas à verge. Cet instrument est formé d’une règle d'acier graduée à laquelle sont adaptées deux pointes maintenues par des coulisseaux. Généralement cependant, c'est à l'une des extrémités de la verge qu'est fixée l'une des pointes, tandis que l'autre est maintenue à volonté par une vis de pression. C'est à cette pointe mobile que s'adapte le vernier garni d'une vis do rappel.

Pour terminer ce que nous avons à dire du graphomèlre, ajoutons que si les objets que l'on vise et le point de station sont à peu de chose près dans le même plan horizontal, la hauteur des ouvertures pratiquées dans lespinnules permet de les voir, quoique le limbe soit placé horizontalement. Si la différence de niveau est un peu considérable, il faut établir le limbe dans le plan des objets, ce qui a l’inconvénient de ne pas donner exactement l'angle réduit à l'horizon. 11 y aurait, dans ce cas, une correction à faire, mais on s'en dispense parce qu elle ne saurait être appréciée, lorsque plus tard on trace l'angle sur le papier au moyen du rapporteur. Quelquefois d'ailleurs on obvie à cet inconvénient en substituant aux pinnules des lunettes plongeantes qui évitent encore la perte de temps causée par le tâtonnement au moyen duquel on arrive au plan des objets. Construit ainsi, le graphomèlre doit porter un niveau qui assure l'horizontale du plan du limbe.

Si, connaissant la projection d'une base, il s'agit, au moyen «lu graphomèlre, de déterminer des points remarquables sans s'y transporter, on s’établit à l'une des extrémités de la base sur laquelle on dirige l'alidade fixe ; on vise les points avec l'alidade mobile et l'on rapporte les angles sur le papier. On opère de

PLAMMÊTBIE. — INSTRUMENTS.

même h l'autre extrémité et les inlerscclions donnent les projections cherchées. S’il faut lever en cheminant, on vise la station que l'on vient de quitter, avec l'alidado fixe, celle où l'on va sc transporter ensuite avec l’alidade mobile, et l'on rapporte l'angle.

107. Déclinatoire et boussole. Ces deux instruments étant fondés sur la propriété dont jouit une aiguille aimantée suspendue librement, de prendre une direction constante, nous allons dire quelques mots sur la manière d’aimanter une aiguille. Pour cela, il faut avoir deux barreaux fortement aimantés eux-mêmes. On dispose exactement l'aiguille dans la direction nord-sud et l'on pose' les barreaux sur des points voisins de son centre, savoir : le pôle sud do l’un du côté du pôle nord de l’aiguille, et le pôle nord du second vers le pôle sud de l'aiguille. On les incline de manière qu’ils fassent avec celle dernière des angles aigus symétriques; puis, on les conduit en appuyant assez fortement, chacun jusqu’à la pointe qui lui correspond. On les enlève, on les remet dans la première position, et l’on recommence. Il n’y a aucun inconvénient à ce que l’aiguille soit fortement aimantée. Pour juger du degré d’aimantation et s’assurer qu’elle n’en acquiert plus, on lui fait enlever différents poids. 11 ne faut pas oublier, après chaque essai, de toucher de nouveau l’aiguille qui, dans cette opération, perd toujours une partie de sa vertu magnétique.

108. On sait que l’aiguille aimantée, lorsque rien ne l’empêche d’obéir à l'action magnétique, se dirige vers le nord, non pas exactement, mais en faisant avec le méridien un angle qui varie en raison du temps et des lieux, suivant une loi inconnue jusqu'à présent. Cet angle se nomme la déclinaison. Ses variations un peu considérables ne s’opèrent pas d’une manière brusque, en sorte que, lorsqu’on a réglé l’axe de l'aiguille, c’est-à-dire trouvé la direction du méridien magnétique, on peut le considérer comme constant pendant une campagne entière. L'aiguille, outre le mouvement graduel qui la porte vers l'ouest, éprouve chaque jour des oscillations à peu près régulières, mais dont nous n'aurons pas à nous occuper parce qu’elles sont toujours au-dessous des erreurs d’observation.

109. Le déclinatoire n'est autre chose qu’une aiguille aimantée, renfermée dans une boîte rectangulaire, dans le fond de laquelle sc trouve un limbe tourné de manière que la ligne nord-sud soit exactement parallèle au plus grand côté de la boîte.

Le moyen le plus simple et le plus généralement en usage pour trouver la déclinaison de l’aiguille aimantée, suppose que l’on connaisse l'azimulh d'un côté de triangle, c'est-à-dire l'angle qu’il fait avec le méridien. On trace la projection de ce côté sur le papier, on oriente la planchette suivant celte ligne, puis ayant fait coïncider l’une des deux grandes faces du déclinatoire avec la trace d'un méridien, le chiffre auquel correspond 1'extréuiilé de l'aiguille est l’expression de la déclinaison. Elle est actuellement do 25* vers l’ouest. Une autre méthode plus longue et moins exacte consiste, lorsqu’on n’a pas la projection d'un côté, à déterminer une méridienne par l’une des méthodes connues.

Réciproquement, lorsqu'on connaîtra la déclinaison, on pourra orienter, par rapport à la méridienne, une levée sur laquelle serait tracée la projection d'un côté , et non les méridiens, car en posant le déclinaloiro sur la planchette orientée par rapport à ce côté, et lo tournant jusqu’à ce qttte l'extrémité nord de l'aiguille soit dirigée vers lo chiffre de déclinaison, le côté de la boite donnera la direction du méridien et, par suite, fera connaître l’azimnth du côté projeté d'avance. Ce moyen n'est qu’approximatif, en raison du peu do longueur de l’aiguille d’une part et du côté de la boîte de l’autre.

On voit qu’en ajoutant le déclinatoire à la planchette, on peut abréger les operations par la facilité qu'il donne pour orienter et pour commencer la levée à un point quelconque dont la projection n'est pas donnée, pourvu que, pour la déterminer d’abord, on aperçoive des points connus. Si l’on ne connaissait pas la déclinaison d’avance, on pourrait encoro orienter lo plan d'une manière relative, c'est-à-dire suivant le méridien magnétique. Il ne resterait plus ensuite qu à faire tourner tout le système de l'angle de déclinaison pour le rapporter au méridien du lieu.

La construction du canevas topographique doit sc faire avec la planchette et l'alidade dont l'emploi fournit des résultats trèscxacls. L’addition du déclinatoire ne convient qu’à la levée du détail exécutée le plus habituellement à la boussole. Peut-être le premier mode de procéder est-il préférable au second, en ce qu'on évite par là les erreurs que l'on peut commettre en rapportant les angles, et qu’en même temps il y a économie de temps.

1 10. La bouuole est, comme le déclinatoire, composée d’une aiguille aimantée suspendue sur un pivot et renfermée dans une boîte. A celle-ci est adapté un genou qui repose sur trois pieds .

PI.ANIMÊTRIE. — INSTRUMENTS-.

Au fond de la boîte est un limbe divisé ordinairement en grades et demi-grades. Le long de l’un des côtés est appliquée line alidade à visière, ou mieux une lunette assujettie à la boussole par son milieu autour duquel elle a la faculté de pivoter. La ligue nord -sud ou 0‘ — 200' du limbe est parallèle à l'axe optique de la lunette ; le point nord marquant 0". On comprend do suite que si, mettant d’abord l’extrémité N de l'aiguille en face de 0" du limbe, de manière que la lunette soit dans la direction du méridien magnétique, on fait tourner ensuite la boussole pour viser un point de mire, la pointe de l’aiguille parcourra un arc dont la graduation donnera celle de l’angle que fait le côté observé avec le méridien magnétique. En faisant la même opération sur un autre côté, étant d’ailleurs toujours placé à la même station, on aura également l’angle de ce côté avec le méridien magnétique, et des deux on pourra conclure celui que forment les rayons visuels.

On pourrait encore lever avec une boussole dans laquelle la lunette et le diamètre 0 — 200‘ ne seraient pas parallèles et dont on ne connaîtrait pas la déclinaison.

11 n’en sera pas moins facile d’avoir l’angle entro deux objets A et B (/îj. 42) : en effet, on trouve qu'après avoir visé A , le méridien magnétique et' le diamètre 0' — 200‘ font un angle de30‘ par exemple. Pour diriger ensuite la lunelto sur B, le mouvement horizontal que l’on imprime à la boussole fait décrire b chaque point du système, et par conséquent, au point 1), un arc de même amplitude que celui qui mesure AOB, car le rayon CD perpendiculaire à AD devient CD' quand la lunette est dirigée suivant BD.

Les angles AD 'B, BCD' 6ont égaux puisqu’ils sont compris entro des droites respectivement perpendiculaires. D’ailleurs, dans le mouvement, tous les points du limbe gradué, et par conséquent le point N ou0‘ ont parcouru des arcs égaux h DI)': donc si, dans la seconde position, c’est le chiffre 65 qui correspond à l’extrémité de l’aiguille, la différence 35 des deux leétures indiquera l’angle compris entre les deux objets visés. De cette manière, les triangles qui composent le canevas seront bien coordonnés entre eux, quoique orientés d’une manière arbitraire, et pour en rapporter l’ensemble à l’orientation généralement adoptée, il suffira do connaître l’azimuth de l’un des côtés. Celte erreur se corrigerait en rapportant les angles, si l’on connaissait d’avance la déclinaison de l’azimuth d’un côté.

111. Pour éviter d'avoir égard à la position d’un côté de triangle h droite ou h gauche d'un méridien, on est convenu de compter tous les angles à partir de ce méridien de 0' à 100* du nord pour y revenir en passant par l'ouest, le sud et l'est, de sorte qu'il suffit de lire la graduation qui correspond à la pointe nord do l'aiguillej on voit qu'en vertu de celte convention les graduations de la boussole doivent aller du nord vers l'est. La levée que l'on exécutera ainsi sera orientée par rapport au méridien magnétique, et il suffira, pour la rapporter au méridien vrai, de faire tourner le cadre d'une quantité égale à la déclinaison.

112. Si celte déclinaison est connue à priori, et que l’on veuille lever de suite suivant la véritable méridienne, on fera tourner tout le limbe au moyen d'un mouvement qui lui est propre, d'une valeur angulaire égale à cette déclinaison, c’est-à-dire qu’on placera le chiffre 25 (si telle est la déclinaison) sous l’index qui marque l'extrémité du diamètre NS parallèle à la lunette. L’instrument ainsi préparé, en visant un objet dans la direction du méridien, le chiffre qu’on lira b l'extrémité de l’aiguille sera zéro : si l'objet est situé dans la direction du méridien magnétique, l'aiguille, le diamèlro NS et la lunette seront parallèles, et de plus, les deux premiers coïncideront, ce sera donc 25‘ qu'on lira, etc. • Dohc enfin, avec la boussole ainsi déclinée, on obtient immédiatement les angles que font les rayons visuels avec la méridienne du lieu.

113. Les vérifications de cet instrument ont pour but de s'assurer : 1° qu'il est bien centré, c’est-à-dire que le pivot sur lequel pose l'aiguille est bien au centre du limbe gradué. S’il n'en est pas ainsi, de toutes les positions que peut prendre la boussole relativement à l’aiguille, une seule fournira une lecture conforme à la vérité. Soit C’, fin. 43, la position du pivot et Ç celle du centre : quand l'aiguille sera en AB, l ’arc A a mesurera l’erreur de lecture. Si clic prend la position FG, l'erreur C g sera plus petite puisque la distance des deux droites C G, C g sera mesurée par la perpendiculaire CT qui n'est qu’un côté de l'angle droit d'un triangle rectangle dans lequel CC'est l’hypothénuse. Si enfin, l’aiguille est dirigée suivant DE, l'erreur est nulle. Celle dernière position donne donc le minimum d'erreur, -et la première, le maximum.

On peut encore avoir l'expression de l'erreur, et par suite,

PLAHIMÉTB1B. — IN8TBUMENTS.

1 angle vrai, sans retourner l'instrument de 200*, et en prenant simplement la moyenne entre les chiffres auxquels aboutissent les deux extrémités de l'aiguille : en ayant soin toutefois de retrancher 200 de l'un d'eux. Et en effet, on voit sur la figure M que si la pointe nord indique un chiffre trop fort de a\, la pointe sud donne un nombre trop faible de èB qui est égal à <i\. Néanmoins l'on ne pourrait pas faire usage de ce procédé et il faudrait avoir recours au premier, si, par suite du vice de construction de l’aiguille, les trois points A, B et C; n’étaient pas en ligne droite.

On peut, pour une position quelconque, connaître la correction il faire à la lecture en retournant la boussole de 200*. Dans ce mouvement, le pivot C', fig. vient en G1', et la lunette qui était en OP so place en O'P', pourvu que l'on ait l’attention de la faire tourner aussi autour de son axe pour amener l’oculaire vers l'œil. L’aiguille so trouve alors en C" A' et l’arc AA' est le double de la correction. Il serait impossible, dans la pratique, de prendre ainsi deux fois chaque angle. Si la différence est peu considérable, il faut la négliger, sinon faire rectifier la position du pivot.

2° Le diamètre à l’extrémité duquel est l'index, doit être parallèle à l'axe optique de la lunette. Voici comment on peut s’assurer que cette condition, qui d’ailleurs n’est pas indispensable, est remplie. L'inclinaison d’un côté sur le méridien est toujours la somme ou la différence de l’angle que fait ce côté avec le méridien magnétique et de la déclinaison suivant que ce côté est situé vers l’ouest ou vers l’est par rapport à la direction de l’aiguille. Si donc on connaît d'avance l'azimuth d'un côté et la déclinaison, la quantité dont la lecture différera de leur somme ou leur différence sera l'erreur de parallélisme entre la lunette et le diamètre de départ. Il résulte encore de ceci que l’on peut opérer exactement avec une boussole affectée d’une telle erreur; et pour cela il suffit de connaître l’azimuth d'un- côté. En effet, tournant l'alidade dans la direction de ce côté, l’aiguille marquera un certain nombre de grades dont la différence avec l’azimuth sera la quantité dont il faudra décliner la boussole. Cette déclinaison ne sera que relative à l'instrument et différera de la véritable de l'erreur de parallélisme mentionnée plus haut.

3° La déclinaison exactement déterminée. Le moyen de satisfaire à cette troisième condition a été indiqué au § 103.

11!>. On veut avoir l'angle que forme avec le méridien, le rayon

dirigé suri), fig. 45. On tourne la lunette sur ce point; dès-.lors le diamètre du départ, prenant une direction CD' parallèle 5 OD, ne passe pas par D et cependant, c'est l'angle formé par ce diamètre et l’aiguille que donne la lecture. On commet ici une erreur « qui est l’angle formé parlesdroitesCD,CD',a'est égal à a comme

CO

alternes internos et le triangle rectangle COD donne sin. «'= — .

L’angle « ou a' est donc très-petit puisque l’expression de son sinus est la très-petite fraction dont le numérateur est le rayon de la boussole et qui a pour dénominateur la distance à 1 objet visé. Celte erreur angulaire est d’autant plus grande qu’on est moins éloigné du point D, et cependant pour une distance de 50", la correction est moindre de 13', quantité bien au-dessous de l’erreur que l’on commet dans la lecture. 11 est donc inutile d’en tenir compte, mais il était nécessaire de l’apprécier.

115. La plus petite division du limbe est ordinairement 1°; l’erreur pourra être du quart de 1' ou de 25'. Le rayon du limbe ou l’aiguille a généralement O^OS de longueur. Cherchons à déduire do ces dimensions la grandeur moyenne admissible des côtés du triangle, eu égard à l’échelle, pour ne pas commettre d’erreur sensible. L’angle ACB, fig. 46, représente l’erreur 25' que l’on peut faire. Le rayon AC, avons-nous dit, a 0m,05 ; considérant le petit arc AB comme une ligne droite, nous aurons en résolvant le triangle

log. AB = log. sin. fô’-f log. 0“,05 — log. =6,2930288 d’où ab=o, 00019035 ou plus simplement ab=o,ooo2

On pouvait encore trouver cette valeur en raisonnant ainsi qu'il suit : la circonférence dont le diamètre est l'unité est exprimée par 3,141565. Elle~le sera donc par 0,3141565, si le diamètre est dix fois plus petit. Pour connaître la dimension d’un arc de 25 qui est la 1600' partie de la circonférence, il faut donc diviser 0,3141565 par 1600 ou 0,003141665 par 16. Le quotient est 0,0001966 ou plus simplement 0,0002 comme ci-dessus.

Si l’aiguille avait 0m,l, le limbe pourrait être divisé en demigrades ; l’approximation serait alors 2 fois plus grande que dans l'hypothèse précédente, c’est-à-dire de 0“,I26: mais la dimension resterait encore 0,0002.

Ce rapport do O™, 05 à O"1, 0002 est aussi celui qui existe entre la longueur d’un côté et l’erreur causée sur un second côté par

l'LANIMÉTRIE. — INSTRUMENTS.

l'incxaclitudc de la lecture. En s'astreignant à la condition que les côtés réduits à l'échelle du plan ne dépassent pas 0<D 05, il en résultera que l'incertitude de lecture ne peut causer d’erreur sensible sur le côté opposé.

Si l’on veut opérer à l’échelle de 0m,05 correspondent à 250" sur le terrain et 0”,0002 à 1“. Donc, pour cette échelle, on opérera exactement en ne prenant pas des côtés plus grands que 250". S'il s’agit de lever à 0,05 représentent 1000“ et 0,0002 en représentent 4. 11 faudra, pour celte échelle, que les côtés ne dépassent pas 1000m.

Dans le premier cas, on ne pourra pas répondre de la longueur des côtés à lm près et à 4“ dans le second. On déduit de ce qui précède que, quelle que soit l’échelle, la projection des côtés uc doit pas dépasser en longueur celle de l'aiguille de la boussole.

116. Lorsqu’on aura levé un polygone entier, on pourra, avant de le rapporter sur le papier, voir s’il ferme exactement, au moyen d'un calcul très-simple. On se rappellera pour cela que la somme des angles intérieurs d’un polygone est égale à autant de fois deux angles droits qu’il y a de côtés moins deu-x. On fera donc la sommo de ces angles en les déduisant ainsi qu’il suit de ceux que font les côtés avec le méridien. Soit ABCDE, fig. 47, le polygone, il est évident que l’angle A est égal à la différence d'inclinaison sur le méridien, des deux côtés qui aboutissent à ce point. Désignant les deux lectures par A et A', l’angle dont le sommet est en A sera représenté par A — A'. Il en sera do mémo pour tous les autres, et la somme des angles du polygone sera représentée par A-j-B-f-C + etc. — (A'-t-B'-+- C' + elc.). Si, en effectuant le calcul, on trouve pour résultat autant de fois 200“ qu’il y a de côtés moins deux, on sera assuré d’avoir opéré exactement.

Lorsque lo méridien passe entre les deux côtés d’un angle dont le sommet est dirigé vers le sud, cet angle est égal à 400“, moins la différence entre les deux lectures.

117. De ce que, dans un petit espace de terrain tel que celui qu’embrasse une levée, les méridiens magnétiques peuvent être considérés comme parallèles, il s'ensuit que l’on peut, dans le contour d’un polygone, passer successivement un sommet sur deux sans y faire station. En effet, après avoir stationné en A, fig. 48, et avoir pris la direction AB, c’est-à-dire l’angle Noa, au lieu de s'établir en B pour prendre l'angle NBC ou O', on pourra

do suite se transporter en C, et visant en arrière sur le point B, prendre l'angle NCa1' ou O en sorte que le point B se trouvera également déterminé; mais, pour mettre plus d'uniformité dans la manière d’inscrire les angles, on écrit celui-ci comme s'il avait été observé en B, en y ajoutant 200*.

En effet, nous voyons, fig. 49, que O est l'angle qu'on aurait observé en B, tandis que c'est 0‘ qu’on a obtenu en stationnant en c. Or, voici la relation qui existe entre ces deux angles :

Quand on chemine en opérant ainsi, on prend h chaque station où l’on s'arrête, deux angles, l'un d’avant, l'autre d’arrière. La correction de 200* se fait sur ce dernier, ou si l’on veut inscrire de suite les angles tels qu’on les lit, on observe le premier avec la lunette à droite comme d’ordinaire, et lesecond avec la lunette à gauche.

118. Rapporteur. Nous venons de voir comment on se sert du graphomètre ou de la boussole pour avoir l’angle entre deux objets. 11 s’agit actuellement de le décrire graphiquement sur le papier. Un emploie pour cela un instrument nommé rapporteur. C’est un demi-cercle en corne assez épaisse pour ne pas se voiler trop facilement par la chaleur, sans cependant cesser d'être transparente. La surface du demi-cercle est augmentée du rectangle A 0* B 200*, fig. 50, et la ligne AB parallèle au diamètre 0 — 200 sert de règle pour tracer les lignes sur le papier. Le diamètre a de O1", 15 à O1” ,2.

La circonférence porte une double graduation : l'une de 0* ù 200, l'autre de 200 h 400. Les grades sont divisés en deux, de sorte que l’approximation est la même que dans la boussole.

Il est facile de comprendre l’usage de cet instrument. On opère en l’employant sur la projection comme on fait avec la boussole pour déterminer les angles sur le terrain. On sait que dans celte dernière circonstance, lorsqu’on lit l’angle que fait une direction avoc le méridien, on sous-entend une opération préalable, mais superflue, celle d'avoir visé dans la direction du méridien, ce dont on est assuré par la coïncidence du zéro et de l’extrémité nord de l’aiguille. Pour rapporter cet angle sur le papier, on peut supposer que l’on procède d’une manière analogue, ce qu’au reste font effectivement les personnes qui n'ont pas encore acquis l'habitude de cette très-simple opération. On place d’abord le diamètre 0' — 200', fig. 51, sur la projection du méridien du lieu,

PLANIMf TRIE. — INSTRUMENTS. 113

ce qui revient h diriger sur le terrain la lunette dans la direction de ce méridien ; puis, faisant tourner le rapporteur en conservant son centre au même point, on n’arrête ce mouvement qu'à l’instant où le chiffre qui indique l’angle à rapporter se trouve sur la projection du méridien, et celui-ci sert ici de repère comme l'extrémité de l’aiguille dans la boussole. Il est évident qu’alors la règle du rapporteur fait bien le même angle que la lunette avec le méridien. Lo nombre do degrés, d’après la convention établie, indique do suite dans quelle région se trouve le point vise.

Il serait fort incommode, vu la multiplicité des points de détail, de tracer pour chacun d’eux une méridienne. Pour obvier à eut inconvénient, on en trace un certain nombre assez rapprochées, à 0",1 par exemple : on met le centre du rapporteur sur la plus voisine du point-, on le fait pivoter jusqu’à ce que la règle fasse l'angle voulu, puis on le fait glisser dans cet état, parallèlement à lui-même, jusqu'au moment où la règle passe par le point. On obtient ce parallélisme de la règle dans les deux positions, en conservant toujours sur le méridien, le même chiffre et le centre. Si l'angle est assez petit pour que la distance bc, fitj. 52, soit moindre que celle de A au méridien, la règle dans lo déplacement du rapporteur ne pouvant plus atteindre le point A, il faut alors modifier l’opération. On se sert du rapporteur complémentaire dont les chiffres de la graduation diffèrent de 100* de ceux du rapporteur ordinaire, et l’on emploie, au lieu de la méridienne, une ligne qui lui est perpendiculaire. Au surplus, on peut facilement se passer du rapporteur complémentaire et tirer le même parti de l'autre. L’opération mentale à faire est tellement simple qu’il nous parait inutile de chercher à l’éviter.

119. Proposons-nous, comme exemple du parti que l’on peut tirer de la boussole, de trouver le prolongement de la capitale d'un ouvrage que l’on ne peut approcher. Soit C le saillant, et AC, BC, fig. 52 bit, les faces de cet ouvrage : on se placera eu deux points a et b sur les prolongements des faces et l'on observera les angles * et /3 qu'elles font avec le nord. L’angle saillant ACB est évidemment « — /3, comme l'indique la figure, et l'angle

que forme la capitale avec chacune des deux faces est-~ ^qu’il

faut retrancher de a. ou ajouter à /S , ce qui donne

ou

ilfc

On pourra trouver par tâtonnement la position d'un point J) pour lequel DC fait cet angle x avec le nord.

120. Cordes. Le rapporteur donne avec une exactitude suffisante les angles relevés à la boussole. Si cependant ces angles avaient été déterminés h l’aide d’un instrument plus parfait, il serait préférable de les rapporter au moyen des cordes. Supposons que l’on ait calculé une table des cordes pour les angles de 10 en 10 minutes depuis 0* jusqu'à 100“ et d’un rayon H, on décrira de b, fig. 53, avec un rayon égal à la corde correspondant à l’angle bac que I on veut tracer, un arc do cercle qui coupera celui décrit do a comme centre avec le rayon des tables, puis joignant a et c par une droite, l’angle bac sera celui cherché. Les tables des sinus naturels pourraient servir à cet usage en se rappelant que corde À = 2 sin.j A. M. Francœur a calculé une table de cordes pour la division du cercle en 360".