LEVÉES AD GONIOGRAPÜE ET A LA CHAINE

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125. En ajoutant une chaîne au goniographe, on peut résoudre quelques nouveaux problèmes. Supposons que l’on ait à sa disposition, une planchette, une alidade et une chaîne ; on donne deux points do repère et l'on demande de déterminer la projection d'un troisième point :

1° Lorsqu'un des repères et le point cherché sont accessibles et le second repôro visible seulement du premier. Soient R,r; P,p les deux ropères et X le point que l’on veut trouver. On stationnera en R,r, s'orientant sur RP, on rayonnera RX et on le mesurera : on rapportera cette distance à l'échelle et l’on aura x.

2" Lorsque les deux repères sont inaccessibles, mais quo l'on

peut s'établir en un point A, fig. 56, de la droite qui les unit : que de ce point on voit X, et qu'enfin, l'un des repères est invisible de X, on se transporte en A, on cherche sur la planchette le point a' où la verticale de A rencontre rp; on s’oriente sur RP; ou rayonne AX, puis on le mesure, et on porte la longueur réduite à l'échelle de a > en x'. Par x', on trace parallèlement à rp une droite sur laquelle doit se trouver la véritable projection a; de X. Se plaçant en station en ce dernier point cl s’orientant au moyen de a'x1 , on dirige ensuite par P p un rayon visuel dont la trace contiendra aussi le point cherché x'.

3° Lorsque l’un des repères P et le point cherché X sont inaccessibles, on choisit un autre point accessible A, fig. 57, que l’on vise de R : on mesure RA quo l’on reporte sur le plan. En A, après s'étre décliné sur AR. on recoupe X qui avait été visé à la station II et se trouve ainsi déterminé.

4° Lorsque les deux points de repère sont inaccessibles et visibles tous deux du point cherché, et que l’on connaît la distance de ce dernier à l'un d'eux, ou quand l’un des repères est abordable seulement pour mesurer la distance, mais non pour s'y mettre en station. C’est ce qui arriverait si ce point était entouré de bois ou de maisons, et qu’il y eût seulement une route ou une rue se dirigeant vers le point dont on veut obtenir la projection. Si l’on peut tracer sur rp le segment capable de l’angle RXP, fig. 58, son intersection par l'arc de cercle décrit de r comme centre, avec la distance RX réduite ù l’échelle pour rayon, déterminera le point x cherché. Pour atteindre ce but, opérons comme au § 99, et pour cela, étant en station en X, établissons la projection p sur la verticalo de X et la trace rp dans le plan vertical RX : fixons la planchette et faisons pivoter l’alidade autour de p jusqu’à ce qu elle soit dans le plan vertical dont XP est la trace sur le terrain ; élevons une perpendiculaire sur le milieu de rp; au point p une perpendiculaire sur la ligne de construction pp', et le point o de rencontre sera le centre du segment capable. On voit que la distance rx étant supposée connue d’avance ou mesurée, on obtient la position de x en décrivant do r un arc de cercle dont le rayon est rx. En traçant les lignes rx, px, on a la projection de l’angle RXP, le moyen de s’orienter en X et d'y commencer les opérations relatives à la construction du canevas. Ces différents problèmes pourraient être également résolus au moyen du graphomèlrc ou de la boussole.

126 Nous terminerons ce qui a rapport aux divers modes de

1’LANIMÊTHIK. — INSTRUMENTS.

procéder avec la planchellc et la chaîne en suppQsant donné le cadre d’une levée avec la condition que l’un de ses côtés soit parallèle au méridien : la projection d'un point de départ étant également connue, il s'agit de faire le plan et par conséquent de conslruirc d’abord le canevas :

1° Si le point donné est accessible, on s’y transporte et l’on y détermine la direction de la méridienne par un des procédés précédemment indiqués ou plutôt au moyen du déclinatoire ou de la boussole. On met le côté précité du cadre dans cette direction, puis on vise un point accessible, on en mesure la distance avec soin, et l'on a ainsi une base orientée sur laquelle on appuie les opérations ultérieures.

2° Lorsque le point donné II est inaccessible, on se place à un autre point A, fig. 59, dont on prend, pour projection provisoire, a' sur la verticale do A : on oriente comme ci-dessus et l’on vise R et un nouveau point accessible B. La direction a'R ne passe pas par r, mais elle est parallèle à ar cherché. On mesure AB et l’on en porte la longueur suivant a'b1 . Arrivé en B, on considéré b' comme en étant la projection, on s'oriente au moyeu do AB et l’on trace 116' rencontrant a' R en un point r' qui est le troisième sommet d’un triangle a'b'r' égal h celui que forment les projections des trois points A, B, R : de plus, les côtés sont parallèles à leurs correspondants. Il suffit donc de faire glisser ce triangle parallèlement h lui- môme jusqu’il ce que r et r1 se confondent, alors a'b1 devient ab, et l'on a déterminé une base accessible au moyen d’un point qui ne l’est pas.

127. Généralement, on donne plusieurs points de départ sur In planchette : mais, s’ils no s’accordent pas entre eux, c’est-à-dire si étant à l’un quelconque cl la planchette étant orientée, les rayons visuels dirigés sur les autres ne passent pas par leurs projections, il faut reconnaître les mauvais et les négliger, ou quelquefois môme les rejeter tous hors un, et opérer comme il est dit plus haut § 126.

Si l’on est appelé à faire la levée d’un terrain sur lequel il n’y a pas de points trigonométriques, on choisit des points remarquables a,b,c,d , fig. 60, on prend et mesure une base rtm, et l’on fait en sorte d’arriver à la détermination des points a,b,c,d en passant par le plus petit nombre possible d’opérations, afin d’avoir moins de chances d’erreur. Les planchettes voisines pourront alors se bien raccorder, si l’on a eu soin d’avoir un côté ab commun à deux contiguë

128. Si l’on veut déterminer l'échelle qu'il faut employer, pour que la projection d'une surface assignée du terrain soit contenue dans un cadre donné, on fait la reconnaissance du terrain, puis un canevas provisoire h une petite échelle; on y circonscrit un rectangle semblable au cadre donné, et le rapport entre un côté de ce cadre et son homologue dans le rectangle tracé est celui qui existe entre l'échelle qui satisfera à l'énoncé du problème et celle employée pour le canevas approximatif.

Si, réciproquement, l’échelle est spécifiée ainsi que la surface du terrain, on peut se proposer de trouver les dimensions du cadre. On opère comme ci-dessus, et le rapport entre l'échelle donnée et celle que l'on a employée pour le canevas devant être le môme que celui des côtés homologues, les dimensions du cadre cherché se déduiront facilement de celles du rectangle circonscrit.

129. L’équerre est plutôt un instrument d’arpenteur que de topographe ; cependant, comme il est d’un usage très-commun dans les campagnes et qu'un officier chargé de faire des reconnaissances doit surtout pouvoir tirer parti des instruments que le hasard lui fournit; nous entrerons dans quelques détails à son sujet. L’équerre est ordinairement un cylindre en cuivre, fig. 61, de O”, 08 b 0m,l de diamètre, dans lequel sont pratiquées quatre fentes verticales ou pinnules déterminées par deux diamètres rectangulaires. Cet instrument peut également se composer d'un cercle de cuivre auquel sont fixées quatro pinnules perpendiculaires b son plan, et placées comme les précédentes dans deux directions formant angle droit.

L’équerre se place sur un pied b trois branches ou sur un bâton ferré. On voit facilement que si l’on dirige l’une des alidades suivant un certain alignement, l'autre en déterminera un second perpendiculaire au premier. La seule vérification b laquelle on doit soumettre cet instrument, consiste b s’assurer que les deux directions se coupent b angle droit. Pour cela, on vise b travers deux pinfiules un objet éloigné et un second par les deux autres, puis l'on fait tourner l'instrument jusqu'b ce qu’on aperçoive le premier objet avec les secondes pinnules, et réciproquement. Si la coïncidence a lieu, l'équerre est juste. La plupart des équerres ne sont pas rectifiables : néanmoins on peut encore résoudre plusieurs problèmes intéressants avec une fausse équerre comme avec une qui est juste. On peut, par exemple, mener par un point extérieur une perpendiculaire b une droite, car on trouvera O',

PI.ANIMÉTRIE. — INSTRUMENTS.

I uj . 62, par un premier coup d équerre; et faisant ensuite venir l'alidade OC sur L'alignement AB, on marchera sur cet alignement jusqu'à ce que l’autre O b soit dans la direction de C : on divise en deux parties égales la distance du point O" où l'on se trouve, à la première station O', et le point milieu O est le pied de la perpendiculaire abaisséo de Csur AB.

Si la perpendiculaire devait être élevée en un point déterminé de la direction clle-môme, on opérerait en ce point, en dirigeant successivement l'une et l’autre pinnule suivant la baso : ces deux opérations auraient déterminé la position de deux jalons que l'on aurait eu soin de placer à même distance de l'instrument, au bout de la chaîne tendue si l'on veut. Le point milieu de la droite qui unit les deux jalons appartient à la perpendiculaire cherchée.

Pour lever un polygone, on détermine les coordonnées de ses sommets en les rapportant à deux axes rectangulaires. On prend une base AX (ftj. 63), on marche dessus en mettant une des alidades dans sa direction jusqu'à ce que l'on arrive en a' où l’on aperçoit un angle a dans la seconde alidade. On opère de même pour les autres points b,c, d,e et l'on porte sur le papier les longueurs Aa’, Ae', \b', etc. On prend un second axe A Y sur lequel on effectue des opérations analogues aux précédentes et les intersections des perpendiculaires à cet axe aa", b V', cc", etc., avec celles que l'on a élevées ena' ,b',c' , etc., déterminent les projections de tous les sommets du polygone.

Si les deux couples de pinnules n’étaient pas rectangulaires, il faudrait que les axes fissent le même angle qu'elles, et avoir soin en opérant de diriger toujours l'équerre de la même manière.

Il existe des équerres dont l'angle n'est pas constant : elles se composent de deux cylindres creux s'emboîtant commo les deux parties d'une tabatière. L’un porte une alidade et un index ; l’autre une alidade et une division circulaire. Cet instrument ne peut étro d’une très-grande précision, en raison de son petit diamètre.

On peut encore, pour lever le plan d'une figure quelconque, agir ainsi qu’il suit : on mène dans l'intérieur et dans le sens de la plus grande dimension, une droite que l'on nomme base ou directrice. Ile tous les angles du périmètre, on paisse sur celle base des perpendiculaires que l'on mesure ainsi que les segments qu’elles déterminent sur celte base.

On peut se servir immédiatement du rapporteur sur le terrain . pour construire les perpendiculaires.

Si l’intérieur du polygone est inaccessible, on emploie la première méthode indiquée, ou en supposant que la figure soit curviligne, on lui circonscrit un quadrilatère ou tel polygone qui lui convient le mieux, et de tous les principaux points du contour, on abaisse des perpendiculaires sur chacun des côtés pris successivement pour directrices.

130. Nous allons passer encore en revue quelques-uns des problèmes susceptibles d'ôlre résolus avec l’équerre.

1° Par un point C mener une parallèle à une droite AB accessible (fig. 64). On cherche sur la ligne donnée le pied A de la perpendiculaire passant par C où l'on se transporte ensuite : on y dirige l’une des alidades de l'instrument suivant CA, et l’autre détermine la direction de la parallèle demandée.

2° Mesurer la distance h laquelle on se trouve d’un point A inaccessible. Si l’on est placé en B (fig. 65), on mesure une base BC perpendiculaire à AB et dont on marque le point milieu D : en C, on élève une perpendiculaire indéfinie A'C à la base cl on la jalonne; on jalonne de môme l’alignement AD prolongé, et le point de rencontre A' détermine la solution du problème : car les deux trianglesABD.A'CD sont égaux puisque, rectangles tousdeux on B et C, ils ont les angles en D égaux comme opposés par le sommet et les côtés BD, CD égaux par construction : donc A'C est égal à la distance cherchée AB.

3° Mesurer la distance de AàH tousdeux inaccessibles et par un point O donné, mener une parallèle h AH. On prend une base BC sur laquelle on cherche les pieds B et C des perpendiculaires abaissées de A et de H, puis on mesure la longueur de BC cl l’on en marque le milieu D. Le terrain sur lequel on a tracé BC a été choisi tel que l’on puisse opérer avec précision. On prolonge , au moyen de jalons, les directions DA, UH jusqu'à la rencontre en A' et H' des perpendiculaires HC,ÂB aussi prolongées. Les deux triangles ABD,Â'DC, comme nous venons de le voir plus haut, sont égaux , puisqu’ils ont un côté égal adjacent à deux angles égaux. La distance de A à B est donc connue 5 elle est égale à A'C. La comparaison des triangles CDH,BDH' donne également CH=BH'. Il en résulte que la figure AILA'H' est un parallélogramme, que .VIL est égal et parallèle à AH et qu'ainsi la longueur AH demandée est connue. Pour mener enfin par O une parallèle à AH, cela revient à tracer une parallèle à la droite accessible A'H' par le procédé indiqué au premier problème.

► PLANIMÉTRIE. — INSTRUMENTS 1*25

Si lo terrain en arrière de la base n’était pas assez vaste pour opérer ainsi, on prendrait Dn=jDG et Dm=z\ BD ou DC : on élèverait par m et n deux perpendicu'aires jusqu a la rencontre des prolongements de AD et DH, et l’on arriverait àoA = jAH.

4° Prolonger avec l’équerre une ligne AB au delà d'un obslaclc. On mèneBfc (fig. 66), perpendiculaire sur AB ; bc perpendiculaire surBfc; Cc=B6 perpendiculaire surfcc et enfin CD perpendiculaire sur Ce.

Suivant la position de l'obstacle, on pourra encore résoudre ainsi le problème. Par 6 on mène cd quelconque; on choisit d (fig. 67) de manière que do perpendiculaire à cd dépasse l'obstacle : on prend bc=bd. En c on élève la perpendiculaire ca que l’on mesure , puis faisant doz=ca, on a le point o qui appartient au prolongement de ab.

Si l’on veut encore, on trace fcc (fig. 68) et cd perpendiculaires à ab et ac. Les deux triangles rectangles abc,acd étant semblables parce qu'ils ont un angle et un côté communs, fournissent la proportion ab : fcc : : ac ; cd de laquelle on tire, pour avoir la position de d,

ac X bc

cd — — •

ab

Enfin, par a et 6 [fig. 69), on mène cd et ef perpendiculairement à ab : on prend bc=bd, ae — af e t les alignements ec, df prolongés donnent, par leur rencontre, un point O appartenant à la droite indéfinie ab.

5 Mesurer une ligne accessible à ses deux extrémités seulement. On construit le rectangle ABA’B' (fig. 70), et l’on mesure A'BC On peut aussi au point A (fig. 71), élever AC perpendiculaire à AB; mesurer AC : par un point D do cette ligne, mener une parallèlo à AB jusqu'à la rencontre en E de CD : on mesure DC ainsi que AC DF

I»E et l'on a AB = CL) '. On peut encore par A (fig. 7*2), mener

une droite quelconque AC que l'on prolonge jusqu'à ce que l'on atteigne le pied de BC perpendiculaire à AC et l’on conclut

AB = V Âc*-f BC*

ou enfin , si l'obstacle no permettait pas de construire la figure précédente, on tracerait AA' (fig. 73) puis A'C' perpendiculaire à W et BC' perpendiculaire à AC' : il viendrait alors

A 8 = V Âc’ + Bc* “ V Âüî -f (BC' —AA'J

6° S'il s'agit d’évaluer la surface d’une levée renfermée dans une courbe quelconque, rien n’est plus facile quand le périmètre est un polygone régulier. La géométrie fournit les méthodes à employer en pareilles circonstances. Si le contour est une figure irrégulière, le procédé consiste à inscrire, si l'intérieur est accessible, un polygone dont les côtés s’écartent le moins possible de la courbe , puis à décomposer la surface totale en triangles que l'on évalue partiellement au moyen de la formule S ==■ BH et que l’on peut vérifier par celle autre

p représentant la demisommo'dcs côtés.

Il ne reste plus alors à évaluer que les portions AmB, Bm'C,

Cm"D, etc. ( pg . 74). Voici comment on procède : soit une surface terminée par la courbe irrégulière Ac'd'e’Be"d"c" (pg. 75), on trace la droite AB suivant la plus grande longueur de la figure : on la partage en parties égales \c,cd,de,eB, assez petites pour que l’on puisse regarder comme des lignes droites les portions de courbes comprimes entre les perpendiculaires élevées par les points c,d,e. Ne considérons que la partie supérieure à AB puisque nous opérerions de la même manière à l’égard de l’autre. Nous voyons quelle est décomposée en une suite de trapèzes compris entre deux triangles. Désignons cc1 par h, dd' par /»' ,««' par h" et faisons A.c=cd=de = Be = b-, nous aurons, en représentant par S la surface totale et par etc., les surfaces partielles.

«=J4A; i>=1 4(4+ A'), *"= J A(A'-f A"); »»'=>* AA» d'0Ù S =i 4 [A +(A+A')+;A'-f-A»)+A"] = A(A + A'+A»)

Ceci nous suffit pour déterminer les petites surfaces curvilignes de la f ig . 74. Telle serait aussi la marche à suivro si l’intérieur de la courbe était inaccessible, comme serait un étang, un bois, etc., car alors on circonscrirait un polygone ( pg . 76). On en calculerait la surface de laquelle on retrancherait celles des intervalles compris entre la courbe et les côtés du polygone. Nous voyons encore que si, dans la figure 75, nous calculons la surface au sud do AB comme nous l’avons fait pour celle qui est au nord, cela indique un moyen que l’on peut encore employer directement pour trouver l’aire d une figure sans .y inscrire de polygone.