LEVÉES A LA CHAINE. ALIGNEMENTS. TRANSVERSALES

131. Il est indispensable qu’un officier chargé de lever, souvent sans le secours d’instruments, connaisse les ressources que peuvent lui fournir de simples alignements tracés au moyen de jalons, et la chaîne ou son pas bien réglé. Prendre ou jalonner un alignement, c’est chercher, sur le terrain, la trace du plan vertical qui passe par deux points déterminés. On se sert pour cela de jalons ou béions ferrés.

Si l’un des points est accessible, on s’y place et l'on fait planter une suite de jalons dans la direction du second. Il est bon de viser d’un peu loin et de faire passer le rayon visuel tangentiellement aux jafons et alternativement à droite et h gauche.

Si aucun des deux points n'est accessible, on se transporte en C sur la direction présumée AB ( fig . 77), on y place un jalon, et l’on en fait planter un autre C'.sur la direction CB : on se rend en C' pour voir si A,C,C', sont en ligne droite, et s’il n’en est pas ainsi, on dérange les jalons et l’on arrive par tâtonnement à leur véritable position. Le concours de deux personnes abrège évidemment l’opération.

132. Soit proposé de trouver la projection d’un point C, connaissant celles de deux droites AB, A'B'.

1® Si d’abord le point C [fig. 78) doit se trouver sur les deux alignements, il est évident que sa position se détermine en prolongeant les droites ab, a1 b' jusqu’à leur rencontre.

2° S’il doit se trouver sur l’un seulement des deux alignements, sur AB [fig. 79), on prolonge d’abord A'B' au moyen de jalons jusqu’en C' : on mesure CC' et on le porte réduit à l’échelle sur le plan de c' en c suivant ab.

3° Si C est situé hors des deux directions données AB et A'B', on demande encore d’en déterminer la projection par la méthode des alignements. On connaît sur le plan ab,a'b > et d projection d’un point D visible de C, mais inaccessible [fig. 80). De C, on marche vers D jusqu'à ce qu’on parvienne en C' sur la droite qui unit A à B : ensuite on mesure la distance de C' à C" point de rencontre des deux alignements’ connus, puis on porte sur le plan

d’abord la longueur c'c" : on trace de', eUur son prolongement on porte celle de ce’ quldélermine c.

On pourrait se passer do connaître la position de d si l'on pouvait mesurer CG ' : car, en prenant C' à une distance arbitraire de C", on décrirait, do ces deux points comme, centres, avec des rayons ce1 et ce' deux arcs de cercles dont l'intersection déterminerait c.

k° Le point C [fig. 81) est situé sur une droite AB dont la projection est connue : on a également d celle de D accessible; il s'agit de trouvère. On marche sur la direction CD que l’on mesure, puis du point d comme centre et d un rayon égal à CD réduit, on décrit un arc qui coupe ab en c point cherché.

5° La projection de AB et celle de D accessible {fig. 80) étant encore connues, on veut déterminer C que l’on ne suppose plus sur la direction AB. On mesure CD et la distance de D h C' point de rencontre do AB et CD ; après quoi sur le papier, de d comme centre et avec de' pour rayon, on décrit un arc do cercle qui coupe ab en deux points, mais on reconnaît facilement celui qui convient : on trace de' et l’on porte cd sur cette ligne à partir de d.

133. Théorie du transversales. Sans le secours d’autres instruments que la chaîne et des jalons, on peut encore résoudre plusieurs problèmes dont la pratique se présente assez fréquemment.

La solution de quelques-uns d'entre eux s'appuie sur deux propriétés fondamentales des lignes que l'on nommo transversales. On désigne sous ce nom des droites qui traversent un système d’autres lignes droites.

Premier théorème. Imaginons une transversale XV coupant le système des trois droites Ac,C6,Ba aux points c,b,a {fig. 82): ces trois lignes forment généralement un triangle ABC, et l'ensemble fournit cette relation :

Le produit des segments de droite est égal au produit des segments de gauche; ou, ce qui est la mémo chose, le quotient de ces deux produits est égal à l'unité.

La gauche et la droite sont prises à chaque sommet de triangle, par rapport h son centre, et les segments se comptent sur les directions prolongées des côtés, à partir do chaque sommet jusqu'à la rencontre de la transversale. Pour le démontrer, menons par C,Cc' parallèle U AB, et nous aurons, en comparant les triangles

tran8Vbhsai.es. 129

semblables Kca, C ce' , ^ Les deux triangles èCc',fcBadon-

C6 Ce'

neni également gj ~ multipliant ces deux égalités membre à membre, il vient Ae.CA Aa.Ce' Ac.Cfc.Ba

Ce. BA ‘ Ce* Ba

OU

Aa.BA Ce

OU enfin Aa.BA.O = Ae.CA.O

On voit que si, dans l'une de ces équations, on connaît cinq quantités, la sixième s’en déduit.

134. Deuxième théorème. Considérons maintenant le triangle ACB (fig. 83) relativement à trois transversales passant chacune par un des sommets et prolongeons les côtés du triangle jusqu'à ces transversales. Le triangle ACC' 11 donne par rapport à lalrans-

AA'.C,,rDf CB

versale DD' et d’après le théorème précédent Xd> dc'» ca'^*'

Le triangle ABC'" fournit de môme, par rapport h DD", AD".CC'".BB"

ÂB~' D,rcm bc~ * Multipliant membre à membre et supprimant, dans le premier, BC facteur commun au numérateur et au dénomi-