TRANSVERSALES

137. Mener par le point « une droite parallèle à AB supposée partout accessible.

On prend C {fig. 88) sur aB prolongé : de C on mène les trois droites CA, CB et Ce; celte dernière étant dirigée sure milieu de AB; ensuite, on détermine l’alignement An; on marque le point de rencontre de A a et Ce. puis enfin on prolonge Bl) jusqu'en b et la droite qui unit a b 6 est la parallèle cherchée, d’après l'une des propriétés des transversales.

Si les extrémités seules do la droite sont accessibles, on mène les alignements nB, AI), on mesure DB,AD,Da et l’on porte sur AD prolongé, ï)b f/î^. 88 bis), quatrième proportionnelle à ces trois lignes.

Un obtient encore la longueur de AB au moyen d’une proportion de côtés dans les triangles semblables ABD, atD, après avoir toutefois mesuré ab. Celte méthode pourrait être également employée dans le premier cas, mais l’autre est préférable en ce qu'il ne faut mesurer que AB pour en avoir le milieu.

Si la droite est entièrement inaccessible, on mesure les distances AD, BD d’après le principe que fournit le premier théorème; puis on opère comme dans le second cas.

Si AB (fig. 89) est accessible dans son prolongement seulement, on pourra construire l’angle en a par les trois côtés du triangle de construction abc, puis au point C où l'on veut faire passer la parallèle, on fera l’angle C égal ô a en construisant également le triangle Ced=abc.

On peut encore, quand la droilo donnée CD [fig. 100) est entièrement inaccessible, employer le procédé suivant : A étant le point donné par lequel on doit mener la parallèle, il est clair que lo problème se réduit ù faire l’angle DAK=CDA. On mesure l'angle CAD sous lequel la droite Cl) est vue par l’observateur placé en A : on choisit, un peu loin de ce point, un autre point B duquel CD apparaisse sous le même angle et l’on y parvient par tâtonnement. A,B,C,1) supposés dans un meme plan, seront situés sur une même circonférence, et l’on auraCBA = CDA. Si donc on fait en A, avec AD, un angle égal é ABC, le second côté AK de cet angle sera la droite demandée.

138. Les obstacles qui empêchent de prolonger une ligne ou do mesurer une distance, peuvent se présenter de diverses manières et donnent lieu à différentes solutions dont nous allons passer quelques-unes en revue.

1° Trouver les projections des points B et B' situés sur le prolongement de AA' et au delà d’un obstaclo ( fig . 90). On choisit un point G duquel on puisse voir A, A', B et B' : on mène les alignements GA, GA', GB,GB'. Par un point C quelconque pris sur l’un d’eux , on trace, par l’un des moyens connus, CF parallèle à AB’, et de simples proportions déterminent les distances des points B, B' et permettent ainsi de tracer leurs projections.

139. 2* Trouver la projection de F (fig. 91), que l’on sait être sur le prolongement de AB. On peut choir un point B', duquel soit visible F et tel qu’on lo voie aussi de O milieu de BB'. Par D pris arbitrairement sur AB, on mène une parallèle DD' à BB', on cherche lo point de rencontre O de celle ligne et de OF prolongé, puis faisant 0'D' = 0’1), on trace sur le papier les lignes indéfinies 00' cl B D' qui rencontrent le prolongement de AD précisément en la projection de F. Par ce moyen, on a trouvé en même temps la distance do ce point supposé inaccessible. On aurait encore pu, sans mener I)D' parallèle h IIB', marquer par un jalon le point c intersection de B D et OF, puis mesurer CB, CB'.CD et porter CD' quatrième proportionnelle à ces trois lignes.

lit). 3° S’il s’agit de déterminer sur le terrain un point F sur le prolongement de AB (fig. 92), on peut encore procéder ainsi qu’il suit : on prend une base AC, on abaisse B\' sur AC et sous un angle quelconque; on lui mène une parallèle DE à une distance convenable pour qu’elle no rencontre pas l’obstacle. Enfin on marque, au moyen d’un jalon, E rencontre de BC cl DE. Le»

AH-iVR

triangles semblables ABA'.AFD donnent FD= - — et ces 3

lignes pouvant être mesurées immédiatement, lo problème est résolu.

141. Deux points accessibles étant connus déposition et situés sur un terrain découvert , déterminer au moyen de la chaîne la position d'un troisième point inaccessible.

1“ Soient A et B les points donnés, on jalonne les directions AC,BC sur lesquelles on marque deux points A', B', puis on mesure AB,AA',AB',A'B,BB' et l’on construit sur le papier les deux triangles aafb,abb‘ semblables à ceux du terrain. On prolonge ao' et bb1 et le point de rencontre c est la projection de C.

2» Si un obstacle, comme l’indique la figure 94, s’opposait à ee qu’on marchât de A en B'et de B en A', on construirait les

transversales. 133

deux triangles AA'A",BB'B", on en mesurerait les rôles, puis on les construirait sur le papier;

3° Si A et B étaient situés sur les deux bords d'un fleuve [fig. 95), de manière à ce qu'on no pût avancer de A en B et en C, ni de B vers A et C, on construirait les triangles AA' A", SB7, B' sur les prolongements des côtés du triangle ABC;

4° Supposons que A cl B soient séparés par un obstacle et que du premier seulement on puisse voir C. On prend sur l'alignement AC un point C' visible de B : sur BC, on marque un point 1) et l’on prolonge CD jusqu’en B'. On mesure AC',BC',B1) et BB'. Par C', on imagine la droite C'A' parallèle à CD : cela posé, des deux triangles semblables BC'A BDB', on tire BD: BB':: BC' : B.V. Cette proportion donnant BA' en fonction de quantités connues, on en déduit AA’ qui est la différence de AB à A 11 : puis comparant AC'A' et ACB', on trouve