Mener une horizontale par un point donné

Soit A [/ig. 130), ce point. On plante en terre, dans une direction inclinée, un bâton BO, au sommet duquel on suspend un fil à plomb qui tombe sur A : on fait porter en avant une mire à coulisse MN. Au moyen des miroirs à 50* de l’équerre, et l’œil étant placé en O, on vise directement le point A rendu bien visible parla présence sur le sol d'un corps AD, d’une couleur tranchant avec celle du terrain. Puis, la personne qui lient la miné en fait glisser le voyant M jusqu'il ce que l'observateur en aperçoive la

INSTRUMENTS A RÉFLEXION

.réflexion. L'angle des miroirs étant de 50‘, AOM= 100», et puisque AO est vertical, il s'ensuit que MO est horizontal. Si enfin de doMN on retranche OA, on est assuré que le sommeil1 d’un jalon N P restant en N déterminera l’horizontale de A.

163. Déterminer encore la dietance AX en supposant qu’on ne puisse mesurer que sur une direction donnée BC, et que Ton ri aperçoive X ni de C, ni de D , pied de la perpendiculaire abaissée de X (fig. 132), sur BC.

On cherche sur BC le point E pour lequel on a BEX = 50«. On prend également les points F et G où aboutissent les obliques venant de X et inclinées de 66*, 66 sur la base : on mesure EF,FGetl’on marque D milieu de FG. Ce point sera évidemment le pied de la perpendiculaire. On a DX = DE ; or AX =

V/dx*+ da’, donc AX est connu.

164. Trouver la distance qui sépare deux points inaccessibles X et Y (fig. 133) : puis, à un point déterminé du terrain, tracer une parallèle ou une perpendiculaire à cette droite.

On choisit sur la partie accessible du terrain une droite MN au moyen de laquelle on puisse, par l’un des procédés indiqués, trouver les longueurs des perpendiculaires abaissées de X et Y : on prolonge la plus courte d’une quantité QDégato à la différence des deux, et la ligne FG est de môme longueur que XY et de plus lui est parallèle. La seconde partie indiquée dans l'énoncé a déjà été résolue, lorsqu'à l’occasion de l’équerre d’arpenteur nous avons donné une autre solution du même problème.

S’il arrivait que l’observateur pût se placor en un point du prolongement de XY, il y élèverait une perpendiculaire sur laquelle il opérerait de manière à trouver les distances de X et Y au sommet de l'angle droit : la différence serait la longueur cherchée. Cette manière de procéder pourrait encore convenir à la circonstance que nous avons déjà indiquée, où X étant la position d’une batterie, Y serait l’ouvrage qu'elle doit battre.

165. Trouver la hauteur d’un objet AB (fig. 134), placé sur un terrain incliné, en supposani que l'on puisse s'établir en un point C duquel les directions sur A et B font un angle de 50*.

Imaginons par le sommet A, une droite Al) inclinée aussi de 50* sur AC : elle complétera un triangle ACD rectangle en D et

isocèle qui fournira Al) = ou AD = p^.

PuisqueCD = AD, il s'ensuit que BD = CD — CB= AD — BC, et en élovant au carré BD=AD |-BC?— 2AD.BCou,ensubstituant

à AD et AD* leurs valeurs, BD = f- BC — BC. AC y/ï.

C'est AB que nous voulons obtenir en fonction de quantités

connues. Or AB*= Al) V Bl). Introduisons-y les valeurs de AD et BD, il viendra alors 1 «

AB*= ^£-+ + BC*— BC AC \/2 = (AC - BC)» + BC. AC (i - y/2)

OU (AC4-BC)»— BC AC (i + 1/2).

La hauteur AB sera donc connue lorsqu’on aura mesuré AC et BC par les méthodes indiquées. Si C était plus élevé que B, la perpendiculaire AD tomberait dans l’intérieur du triangle, on aurait DB = BC — CD au lieu de DB =CD — BC et la valeur de AB b laquelle on arriverait, serait toujours donnée par la mémo expression que dans le premier cas.

Quand le terrain est horizontal, BD devient égal à zéro : AB= AD = BC = BD— 2.

AC — AB y/2 et Â~rf= ÂC V BC — AC. BC y/î

se réduit à

AB*= AC*+ BC y/2 Vl AB. BC = AC + BC. — * AB. ’

et enfin 2AÈ=a£, ce qui est conforme à ce que l’on connaît du triangle rectangle isocèle.

Si I on ne peut se placer de manière à former I angle de 50*, on plante deux jalons CP et OK (fig. 134 Ois), de manière que leurs extrémités supérieures C et O soient en ligne droite avec A. On mesure par l’un des moyens connus OC et OA, souvent même la première longueur OC peutêtre obtenue immédiatement. L'œil étant en O et visant B, on marque sur le jalon CP le point D qui se trouve dans la direction de BO; puis, mesurant CD, on a AB au moyen de la proportion

oc : oa : : cd : ab =