Faire passer un plan par trois points donnés

Soient A,B,C, ces trois points, qui ont pour cotes 10, 15 et 13. On joint ceux dont les cotes sont la plus forte et la plus faible : tels sont A et B dans la pg. Ik, planche XX. On cherche sur cette ligne le point D qui a même cote que C. On unit C à D par une droite qui est l’une des horizontales du plan ; on mène par toutes les cotes entières de AB des parallèles à CD ; on leur élève une perpendiculaire EF, et celle-ci est l’échelle de pente du plan.

229. Mener par une droite un plan d'une inclinaison donnée. Soient A et B les deux points cotés de 1a droite et ^ l’expression de l’inclinaison du plan.

Si l’on peut construire un cône droit dont la hauteur et le rayon de la base soient dans le rapport prescrit tous les plans tangents à ce cône seront inclinés à l’horizon dans ce rapport, et

celui d’entre eux qui contiendra la droite donnée sera celui que l'on cherche.

Cette opération est très-facile et consiste à décrire dans le plan horizontal contenant B et du point A comme centre, une circonférence dont le rayon soit à « — P (différence de cote des deux points), dans le rapport de n à m.

La fig. 15, planche XX, indique toute l’opération. Le rayon cherché est AE et le rabattement fait voir qu’on a A"E' ou

Cette circonférence est la base d’un cône dont le sommet est en A'. Si maintenant nous cherchons les traces des plans tangents qui passent par B, le problème sera résolu.

Il est à remarquer seulement que, dans le cas le plus général, il y aura deux plans qui résoudront le problème : ils seront symétriques par rapport à AB. Leurs traces passant l’une et l’autre par B seront BC,BD, et leurs échelles de pente auront pour direction CA, CD.

C’est ainsi que la question se présente lorsque l’inclinaison imposée au plan est plus grande que celle de la droite.

Le rabattement de la fig. 15 étant celui du plan vertical qui contient la droite, met en évidence son inclinaison A' B'A" surle plan horizontal de B.

Si cette inclinaison était précisément égale au rapport les

deux lignes A'B',A’E'se confondraient. La droite donnée serait elle-mèino une génératrice du cônej on ne pourrait mener par' son pied B qu’une tangente BD (/îg. 16, piancAe XX) à la circonférence. BD serait la trace du plan dont l’échelle de pente se confondrait avec celle de la droite.

Enfin, le problème n’aurait pas de solution possible si l’inclinaison ” , indiquée pour le plan, était plus faible que celle de

AB. La fig. 17, planche W, fait suffisamment voir qu’on ne peut mener de tangente à la eirconférence par B qui tombe dans l'intérieur.

Si l’inclinaison de AB est très-faible, ou si la pente ™ est très-

forte, ou mieux encore, lorsque ces deux circonstances se présentent simultanément, la base du cône sur le plan horizontal de B est une circonférence d’un trop court rayon, cl il peut en

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résulter de l'indécision dans la détermination des traces des plans tangents.

On cherche alors ces traces sur un plan inférieur à A et B. Les plans cherchés doivent contenir chacun deux droites parallèles et inclinées toutes deux dans le rapport j prescrit. Ces lignes peuvent être, considérées comme génératrices de cènes qui ont leurs sommets en A' et B', /ly. 18, planche XX, et dont les bases sont dans le plan horizontal indiqué sur le rabattement par MN. Désignons sa distance verticale à B parif. Les rayons des deux cènes seront

,U--(f+a-a) fl BK — -r.

Les droites ye,di tangentes aux deux circonférences seront les traces sur le plan auxiliaire, et l’on aura exactement, s’il est nécessaire, les traces Bc, Bd sur le plan horizontal de B. Elles ii'unt d’ailleurs aucune utilité spéciale, puisque sans elles déjà on possède tous les éléments nécessaires à la construction des échelles de pente.

230. Par un point A iilué dans le plan c<mnu de position, faire passer une droite dont l'inclinaison soit exprimée par

On connaît donc la trace et l’échelle de pente du plan. Dans ce plan, on imagine une horizontale située à M" au-dessous de A. i*ar la projection de ce point, considéré comme centre, on décrit une circonférence d’un rayon £ M“. Les deux points où elle

coupe l’horizontale tracée sont les extrémités inférieures de deux droites qui résolvent le problème.

Si la distance de la projection de A à l’horizontale est égale à £M", il n’y a qu’une droite, celle qui joint .\ au point de tangence, qui rempli-sse la condition voulue.

Si cette distance est plus grande que £M", il n’y a pas de solution : et, en effet, un plan ne peut contenir de droite plus inclinée à l’horizon qu’il ne l’est lui-mème.