SURFACES COURBES

302. La réfraction dans les milieux dont les surfaces ne sont pas planes est essentielle à connaître, en raison de son application usuelle dans les instruments d'optique. On peut considérer une surface courbe comme un polyèdre composé d’une infinité de petits plans diversement inclinés entre, eux. Lorsqu'un cône lumineux tombe sur l’une de ces surfaces et que le corps est diaphane, chaque rayon subit, à l’égard du petit plan qui le reçoit, une réfraction soumise à la loi énoncée n° 2S1, mais en raison des inclinaisons respectives des faces du polyèdre réfringent, les rayons réfractés prenant, les uns à l’égard des autres, des positions qui dépendent de la figure du milieu, tantôt convergent, tantôt divergent.

Dans les applications de l’optique, on ne fait usage que de verres sphériques, parce qu’ils sont les seuls que l’on puisse con- '.truire avec précision et facilité. On les divise en ; 1“ biconvexes; 2” plans convexes; 3® ménisques convergents [fig. 237); 4° biconcaves ; 5” plans concaves ; 6® ménisques divergents.

Les trois premiers sont convergents et fournissent généralement des images réelles.

Los trois autres, qui sont divergents, donnent naissance à des images virtuelles.

L’flje de ces verres, que l’on désigne aussi sous le nom générique de lentilles, est la droite qui passe par les deux centres, ou, en d'autres termes, la normale commune à ses deux surfaces.

303. Le centre optique est un point unique de l’axe qui jouit de cette propriété, que tout rayon qui, par l’effet de la première réfraction, passe parce point, sort de la lentille en suivant une direction parallèle à celle qu’il avait avant l’immersion. Pour le trouver, traçons deux rayons CA,C'A' {fig. 238) parallèles ; les éléments des surfaces en A et A' seront parallèles aussi. Parmi toutes les directions que peut prendre un rayon incident SA, il en est une telle que le rayon réfracté suit la ligne qui unit A et A', de sorte qu’à sa sortie et au delà de A' il se dirigera suivant A' S' parallèlement à SA. Le point O de rencontre de AA' et de l’axe de la lentille sera le centre optique.

RÉFKACTION.

Pour trouver sa position, qui doit varier en raison de la courbure des surfaces, et être par conséquent fonction des rayons de courbure, remarquons que les triangles CAO, C'A'O', sont semblables et fournissent la proportion

CO ; CO CA ; C'A' ou co : c'O CB : C'B' de laquelle on tire

CB— CO : C'B'— C'O ;; CB : C'B' c’est-à-dire bü ; B'O CB : C'B'

Ce qui peut s’énoncer ainsi : les distances du centre optique aux surfaces sont en raison directe des rayons de courbure de ces surfaces. Le rapport de BO à B'O étant constant et indépendant de l'inclinaison sur l’axe des rayons parallèles CA, C'A', il est évident que toutes les droites qui, telles que AA', unissent deux éléments parallèles des faces opposées, passeront par le point O.

On voit, par la proportion précédente, que si l’un des rayons, C'B', par exemple, devient infini, BOdoit être nul. Cela signifie que, dans un verre plan convexe, le centre optique est situé sur la surface courbe.

La lentille ayant peu d.’épaisseur, on considère le rayon, qui passe par le centre optique, comme étant tout à fait en ligne droite, en négligeant la double brisure formée à l’immersion et à l’émergence.

304. Pour déterminer le foyer d’une lentille et pour procéder du simple au composé, nous ne considérerons d’abord que la face antérieure, en supposant le milieu réfringent étendu indéfiniment au delà. Soit S un point lumineux situé sur l’axe du verre {fig. 239). Le rayon dirigé suivant SC étant normal à la surface ne subira pas de réfraction et sera le lieu géométrique du foyer. Un autre rayon SM arrivé en M, s’infléchira pour se rapprocher de la normale et rencontrera l’axe en F. Tous les points situés à même distance de l'axe que M c’est-à dire placés sur la circonférence dont MP est le rayon, réfracteront exactement en F. Ceux qui seront plus voisins de l’axe, mais concentriques aux premiers, auront un foyer un peu plus éloigné de la surface, et enfin, le foyer sera moins éloigné pour ceux qui s'écarteront davantage de P. Ces divers foyers difféceront néanmoins peu les uns des autres, en raison des petites dimensions de MM', et par suite de la trèspetite obliquité des génératrices des cônes lumineux par rapport à leur axe commun SF. D'où il suit qu’on suppose F le foyer unique.

i94 ot'Tiuui:.

Si S s’éloigne ou s’approche, le rujon SM fera un angle plus petit ou plus grand avec la normale, l’angle de réfraction diminuera ou augmentera en môme temps, c’est-à-dire que le fover suivra une marche inverse à celle de S relativement à la surface MM'. On conçoit alors que S là l’inlini correspondra à la plus petite distance focale possible ; qu’à un certain rapprochement de S correspondra une direction parallèle à l’axe pour les rayons réfractés, auquel cas le foyer sera situé à l'infini ; que la distance de S à la surface diminuant encore, les rayons réfractés divergeront, et leurs prolongements donneront, par leur rencontre, une image virtuelle qui sera située du même côté que l’objet.

305. Si nous supposons que le milieu réfringent soit biconvexe (fig. 2H), le rayon SM s'étant infléchi en s’approchant de la direction de la normale CM, arrivé en N, s’écartera de la seconde normale CN, puisqu’on sortant du verre il rentre dan^ l’air : il convergera donc plus rapidement vers l’axe que lorsqu’il s’agissait d’une seule surface. Si le verre est plan convexe 2i2), le rayon se brisera encore en traversant la face plai\e, moins cependant que dans le cas précédent. Si enfin il s’agit d’un ménisque convergent {fig. 243), la convergence, au lieu d’augmenter au sortir du verre, deviendra plus faible, et le rayon lumineux, loin de suivre la direction MNA déterminée par la courbure extérieure, se dirigera suivant ND.

806. Cherchons actuellement la formule qui détermine la position du foyer en fonction de celle du point lumineux çt de la quantité que l’on nomme l’indice de réfraction , ou le rapport entre les sinus des angles d’incidence et de réfraction.

Heprenons le point S et le corps transparent terminé par la calotte sphérique dont MM' {fig- 239) est une section méridienne : nous cherchons quelle relation relie SO, CO et FO, en raison de l’indice de réfraction. Pour atteindre notre but, nous remarquons que l’incidence CMC étant l’angle extérieur du triangle MSC, nous avons GMC=MCS MSC. D’autre part et par rapport au triangle MCF, nous avons CMF = MCS — MFC.

Substituant aux ongles qui forment les deux termes des se-: tonds membres de ces deux égalités leurs tangentes ou leurs sinus qui en dilTèrenl très-peu, nous aurons

rMt'- — CP+SB’ ' “Ci*

WP

PP

HÉFR ACTION.

d'où

GMC MP , ^

iMFU;p l'i-v (jp’^ SI'

Remarquons qoe les angles GMC.CMP, étant très-petits aussi, peuvent être remplacés par leurs sinns dont le rapport est ce que nous avons désigné sous le nom d'indice de réfraction : il viendra donc, en le représentant par?i, en supprimant le facteur commun MP et en exprimant par s, f et r, les lignes PS, PF et PC, ou ce qui leur est sensiblement égal, OS, OF et OC,

d’où

ou encore — (i)

Pour savoir quelle est, dans ce cas, la position du foyer principal, et en supposant que le milieu réfringent soit du verre, ce

qui exige que n=~, il viendra, en faisant * =

ou pour expression générale et F=3 r pour le verre.

Nous ferons voir tout à l’heure que s= X et F sont

des foyers conjugués par réfraction. Si nous voulons savoir à quelle valeur de * correspond f—X>, introduisonscetle supposition dans (1) qui deviendra s= et s’il s’agit du verre 2 r. Ici encore, s = c\, f= x> sont des foyers conjugués.

La formule (l) indique, d’après la jig. 239 qui a servi à lu trou» ver, que /‘est considéré comme positif, quand il eslsilué du mémo cité que le centre par rapport à la surface; que s, au contraire, est positif lorsqu’il est placé du ccMé opposé. Nous saurons donc ce que signifient les changements de signes, s’il en survient dans ce

qui va suivre. Tant ques> y^ ou en résulte

' O, c’est-à-dire f positif.

Ainsi, le foyer est réel quand « > 2 r.

Si A < >1 s’ensuit que j et que /"< o.

Donc, pour un tel rapprochement, les raj ons réfractés sont divergents, et le foyer virtuel est situé du même côté que l’objet , mais toujours plus éloigné que lui de 1a surface. Fn nous résumant, (lisons que f augmente successivement jus<ni'à l'inUni, au-

quel cas s=2r, si l’indice de réfraction est f Jusque-là aussi, l’image n’a pas cessé d’étre réelle. Si ensuite s continue à décroître, f qui est devenu négatif passe par tous les états de grandeur depuis l’infini pour être nul au même instant que s. Cette dernière relation est de toute évidence dans la formule (2) résolue par rapport à f.

307. Nous venons de dire que toutes les valeurs correspondantes de fet s liées entre elles par la formule (1) appartenaient à des foyers conjugués. Pour le justifier, il faut voir si la formule ne change pas, ou si du moins elle revient à sa forme première en introduisant les conditions convenables. Si le point lumineux prend la place qu’occupait d’abord le foyer, l’indice de réfraction doit être modifié ; car, dès lors, les rayons sortent du milieu le plus dense pour passer dans celui qui l’est le moins ; il devient

donc ^ au lieu de n : de plus, pour que les lettres s et /'expriment toujours les mêmes quantités, il faut les permuter et changer simultanément leurs signes, ou, ce qui revient au même, changer seulement celui de r. La formule (1) devient alors

— - — ns'f )ir

et enfin =>-!--

Si *=r et n=|, la formule (2) donne f— — 3r; nous avions trouvé plus haut qu’à s=» correspond F=3r ; donc, l’objet venant de l’infini et se rapprochant jusqu’à ce que s=r, le foyer a parcouru le sextuple du rayon.

i='îc, /=«; f=3r, f=S)r

s = kr, i=3r, f=W,

Quand le foyer est virtuel, c’est-à-dire situé du même cêté que l’objet, il est toujours plus éloigné que lui de la surface.

Pour trouver la longueur de s pour laquelle f est de même valeur, il faut, dans la formule, faire f =s, et il vient successivement

îl+l

et si n=«J,

On peut, en substituant 5r à s dans (2), reconnaître qu’effectivement elle donne f = 5r.