SID. A
da=a (a cot.A — p col.B)
On aurait de même, pour le troisième cèté,
dc«« c (Y col.C — P cot.B)
La forme pour laquelle les erreurs da et de seraient mininia est évidemment celle qui rendrait les deux seconds membres nuis. Mais ces seconds membres sont fonction des erreurs angulaires «,p,Y, qui ne sont connues ni en grandeur ni en signes. Diverses hypothèses faites sur ces variables conduiraient à des formes de triangles favorables pour les cas examinés, mais défavorables pour les autres, et, comme on ne connaît aucunement le cas dans lequel se trouvera le triangle employé, il nous semble inutile de rechercher ce qu’on devrait faire dans une circonstance qui sera toujours inconnue.
La seule relation a -f- P -}- O (puisqu’il s’agit de triangles rectilignes A,B,C et A-H B -} p, C +7') ne précisant pas les valeurs relatives de ces variables, il nous semble rationnel de chercher à diminuer les erreurs linéaires da et de, en diminuant les termes dont elles se composent, ce qui conduit aux conséquences suivantes :
a petit ou A petit, A proche de 100', B proche de fOO»,
c id. C td., G id., B id.
Mettant de cAté celles de ces conditions qui sont contraires les unes aux autres, il ne reste que B proche de 100', qui, joint à la similitude des rôles joués par A et C,conduità cette conséquence, que la forme la plus avantageuse généralement à donner aux triangles rectilignes substitués aux triangles géodésiques est celle du triangle isocèle rectangle.
Dans la pratique, on se contente d’exclure les angles qui donneraient trop d’importance aux facteurs cot. A, cot.B, cot.C, c’està-dire ceux qui seraient trop petits ou trop rapprochés de 200*. On n’emploie pas d’angles plus petits que 20’ ou plus grands que 180».
La base dont on part, pour y attacher une chaîne de triangles, est toujours plus petite que la longueur moyenne qu’il convient d’adopter pour les côtés de triangles. Cela s’explique par la difficulté de trouver un terrain favorable d’une étendue suffisante, et aussi en raison du temps considérable et de la fatigue extrême
FOUME PRÉFÉRABLE DES THIANULLS.
que nécessite la mesure d'une base. 11 faut donc faire croître successivement la longueur des côtés , et cela ne peut avoir lieu qu’autant que B est aigu. Si l’on employait une succession de triangles équilatéraux , les côtés resteraient toujours de même longueur que la base b. Si l’angle B était droit, a et c seraient plus petits que b. Les côtés qui s’appuieraient sur a et e seraient, par le même motif, plus petits qu’eux, et ainsi de suite. On arriverait donc bientôt à des proportions inadmissibles.
Beconnaissons cependant, par rapport aux triangles équilatéraux, qu’une fois arrivé à la dimension moyenne des côtés, on a un double motif pour les employer. D’une part, les côtés restent dans les dimensions jugées convenables, et de l’autre, comme de tous les triangles ayant même périmètre l’équilatéral est celui dont la surface est la plus grande, il s’ensuit , et c’est un avantage, qu’on parvient à couvrir le terrain avec un moins grand nombre de triangles.
370. Terminons en disant que , dans les grandes opérations géodésiques, telles que celles relatives à la nouvelle carte de la France, on ne s’est pas contenté de la mesure d’une seule base. Dans ce cas {fig. 279) , l’une étant la base de départ , les autres sont des bases de vériGcation, sur lesquelles viennent aboutir les réseaux de triangles. Pour celles-ci, il faut, par une marche contraire et pour le motif énoncé plus haut, diminuer successivement les côtés de triangles. C’est alors qu’il y a lieu d’employer une succession plus ou moins grande de triangles isocèles rectangles qui, au moyen d'un côté connu, en déterminent deux plus
-petits que lui.
371. L’inexactitude d’un côté serait d’une conséquence beaucoup plus grave, et, en effet, en admettant que les angles  et B soient exacts et, si au lieu de ô on a trouvé b -f- db, on aura
(n-j-rfn) sin.D=»(è-f- 6?A) sin.A.
d’où a sId.B-4- da. sin.B = 4 sin.A-j-rfA. jin.A
A=B, on aurada=dô.
qu’il ne faut pas prendre pas faire croître trop ra-
Dans le cas le plus favorable, celui où Si B < A, alors da > db.
Nous tirons de là cette conséquence, une base b trop courte ou qu’il ne faut
pidement les côtés des triangles, puisque alors A> B donnerait da;> db, et, qu’ainsi, les erreurs iraient toujours croissant.
372. Voyons enfin ce qui arriverait si les angles et la base contenaient quelques erreurs
{a+da) sin.(B + p) = (4 + db) tin.(A + •)
(a + rfo) (lin.B+p cos.B)«= (é + rfi) (»in.A+ a cos.A)
en négligeant le produit des petites quantités telles que da et p, on arrive à
O !>in B a 3 (09 B -f sir .B ci: 4 tin. A+ 4 a COI . A + <f4 >in. A
J dh K , h . . .
da=a — ; — 5-4--^ — s acos.A— aacol.B 9111 B ' sin B
. </4, tin A , , . , n . n.
da — => — ^ — r — |- a (a eot.A — B col. B) sin.D '
Le premier terme du seeond membre indique l’erreur sur a lorsque la base seule n’est pas exacte.
Le deuxième exprime l'erreur due à l’inexactitude des angles. Donc, quand les deux circonstances fâcheuses se présentent à la fois , elles ne s'aggravent ni ne se compensent : elles ont collectivement la môme influence que lorsqu’elles ne se rencontrent pas ensemble.
373. L’expérience a prouvé que, dans une chaîne établie sur ces principes, les erreurs, au lieu de s’accumuler, secompensaient en partie: ainsi, dans la mesure de l'arc du méridien qui s’étend de Dunkerque à Perpignan, les observateurs avaient mesuré deux bases: l’une près de Melun, l’autre vers Perpignan. Cette dernière, conclue du calcul de tous les triangles intermédiaires, fut trouvée égale â la mesure directe à 0'",3 près. Ces bases ont été mesurées au moyen de quatre règles en platine de 4'° chacune.
