MO

Et si nous désignons par d' la dilatation du platine, qui est 0,000008565 ou xàrr» grade, il en résultera

P — P +40d' — r =/■ +dft0-*)

d’où <o.d'=t0.d— dx et x-=l£i^pl5

Cette valeur de x une fois déterminée, la longueur de la base B est connue. Cherchons l’expression de x au moyen des valeurs numériques connues de d et d', on a

tOfO.OOOOlîî— 0,0000086) 0.000036 36

® “ O.OOOOt *î “ O.OOOOt îî < î.î

log.36 >> 4, 856304^5 log. 4 î, 4=4,0863598

log.x = 0,4700527 d x = 2»,9546

C’est donc à la température de 2%95 que la règle de fer est égale au mètre. On peut, pour vériGcation, voir si, en partant de celte température pour la règle de fer et de zéro pour celle de platine , on arrive à deux longueurs égales pour les deux règles à tO'.

MESURE nSS BASES. 581

De 2», 96 à 10* il y a 7»05 qui, multipliés par 0,0000122, donnent 0,00008601.

Ainsi la règle de ferà la température 1 0* est égale à l'>‘,0000860 1 .

Quant à la règle de platine 10.d'=0,00000865X 10=0,0000865 qui, ajoutés au mètre, donnent pour sa longueur, la même que celle de la règle de fer.

Si l’on ne tient pas à connaître la température x à laquelle la règle de fer est précisément égale au mètre , on modifie la marche du calcul ainsi qu’il suit:

/■,» /“.o + »'("- <<>)•• elc

B — K/'^^+ «/(/ + <'+ + etc.)— 40 KV.

Or /“—P — P +40 D — D.

ur 'ip 10 P ^ '

donc B — K« + c4 (< + ('+<''+elc.) + 40 K. (D-rf)

376. Dilatation inconnue. Supposons la base B mesurée avec des règles en bois. On donne le nom de portée à l’ensemble des règles que l’on emploie : on .se sert ordinairement de trois ou quatre et l’on n’observe la température que pour chaque portée.

On aura ainsi, p désignant une portée

B=P, + P, +P,„ + P^„ + eic.

Si noos désignons par U, la variation de longueur de la portée entière pour un grade , nous diminuerons le nombre des inconnues du second membre en remarquant que

B — K;i^+ D ^<+ /'+ <"+elc.) puisque P| Pp ‘ “ ^p ” *''•

ou la longueur de la portée à la températbre de la glace fondante ne nous est pas connue : il en est de même de la dilatation D, c’est donc de la recherche de ces deux quantités qu’il nous reste à nous occuper.

Pour cela, on plante deux bornes en terre, à une distance un peu plus grande qu’une portée : cette distance comptée de centre en centre est invariable.

CtODÉSIE.

On la masure avec les règles en bois qui coinposenl la portée, et l’on a, en la désignant par E,

/ne représente ici qu’une petite portion de la règle de fer que nous savons maintenant être égale au mètre à la température 2*95, si elle a été construite égale à l’étalon de platine à 10*. Mettons en évidence dans la valeur de E les quantités et D

que nous nous proposons de déterminer, c’esUà-dire écrivons en fonction de p , nous aurons p =p -4 0/; transformons de même f , il viendra

I Î.Vj 2.94 ^ ' “

et par suite E — + 2,iü>j (<)

Deux cas se présentent ici :

1® La portée a été une première fois comparée au mètre étalon. Supposons que cette opération faite à la température 0 ait donné la règle de fer étalonnée également a un cocilicient de dilatation connu, en sorte que la nouvelle équation renferme deux inconnues seulement E et U. Une seconde mesure de E faite à une nouvelle température (' donnera

retranchant les deux équations l’une de l’autre, on élimine E, et l’on connaît D, qui substitué dans

fait connaître lu base.

2° La portée n’a pas été étalonnée préalablement, par suite p^ est inconnu. Il faut alors le mesurer directement avec la règle

dcfer.oumieux, il faut mesurer avec celle-ci lu distance E dont la valeur corrigée, comme il a été dit au § 375, reportée dans l’équation (1) en même temps que 1) calculé par une double mesure, ainsi qu’il vient d'être indiqué précédemment, donnera une équation ne renfermant plus que l’inconnue qu’cllcferaconnaltre.

L’équation (2) donnera ensuite la longueur de la base.

Il pourrait se faire encore, quoique cela soit peu à craindre.

MESURE DES BASES

que le coefflcient dedilatalion de la règle métaliiqae tût inconnu. Il faudrait alors rapporter les fractions mesurée» avec cette règle à celle de son étalonnage, ce qui donnerait deux équations de la forme,

E-P^ + D<+/',J>+rf(<-<0)) (3)

Deux mesures directes de E faites avec la règle métallique donneraient deux nouvelles équations de la forme

E„m/;=m/'^JI+rf«103] (t)

m étant un cofflcienl numérique. Les équations (4) feraient connaître E et d, qui substituésdans les équations (3) permettraient de calculer et D, dont il n’y aurait plus qu’à reporter les valeurs dans l'équation (2).

11 est convenable de dire que la dilatation du bois étant peu sensible dans le sens de la longueur, surtout lorsque, par des préparations préalables, on a cherché à le soustraire aux influences hygrométriques, ou se dispense le plus souvent de tenir compte de l’elTel de la température.

377. Réduction de la base à l'un de tes termes, ou réduction à Vhorizon. Les opérations géodésiques qui ont pour but de projeter les sommets des triangles sur la surface des eaux moyennes de la mer, exigent que la base qui jusqu’à présent se trouve seulement dans un plan vertical, soit encore projetée sur l’arc de cercle correspondant de la sphère des eaux moyennes. Réduisons d’abord cette base à sa projection sur un grand cercle passant par l’une de ses extrémités. C’est dans ce but qu’on a mesuré l’inclinaison à l’horizon de chacun de ses éléments. Soit .48 = b, (fig. 230), une portée. Si l’on regarde les deux verticales qui passent par ses extrémités comme parallèles, la tangente AB' pourra être prise comme égale à l’arc de cercle AB = P qui est la vraie projection cherchée, et sera représentée parP = 6 cos.«. Rigoureusement AB'' <AB' <! b cos.», mais pour un élément de la base l’erreur commise en prenant ? = b cos. a, quoique se répétant un grand nombre de fois, est complètement négligeable. 11 n’en serait plus ainsi si l’on appliquait ce raisonnement à la longueur totale de la base ou à une fraction considérable de celle-ci.

Désignons par b, b' b '.... les éléments mesurés sous des inclinaisons *' “ *•••> par P‘> projections sur les arcs des

ÜSi GÉODÉSIE.

grands cercles passant par chaque extrémité de ces éléments, et par 6 et B' la base mesurée et celle qui résulte de la réduction. On aura évidemment

B — B' => A (t — co3.a)+ 6' (I — ros.a')^- i"(t — cot.a,")

^ ib siu. 4 at -f- î sut. J -f- î bf’ siii. J

La correction ainsi obtenue conduira à la connaissance de B'. Observons qu’on n'obliendra ainsi que la somme des arcs de cercle 3, P', P'... de la ligure 280 bis, tandis qu’o'n aurait dû avoir 3 des arcs appartenant à un même cercle. Mais si

l’on remarque que l’on a toujours soin de prendre les éléments de la base trùs-peu incLnés sur leurs divers horizons , on en conclura qu’on peut, sans erreur sensible, regarder la base P -|-

p< -f 3 ' calculée, comme se confondant avec 3 -f- p,' -|-

appartenant à un cercle qui passe par une de ses extrémités, ou mieux à un cercle intermédiaire. Une vérification directe faite par le calcul prouve que l’erreur commise, dans les circonstances de longueur et d’inclinaison des bases mesurées jusqu’ici, est au-dessous des erreurs d’observations inévitables.

11 est important de bien faire sentir ici le double but pour lequel on cherche la dilféreucc entre la ligne mesurée et sa projection, au lieu de cette projection elle-même, parce que plusieurs fois, pour les mômes motifs, nous opérerons plus tard de semblables transformations. Dans le choix du terrain, on s’est arrêté à un qui fût, sinon entièrement horizontal, du moins fort peu incliné : ainsi <* est toujours un angle très-petit. Or, quand les angles approchent de zéro, les cosinus varient très-lentement, et leurs valeurs sont représentées dans les tables par des logarithmes qui ne diffèrent pas ou presque pas entre eux dans les sept premières décimales.

La substitution des sinus est alors très-favorable ; puisque, dans les mômes circonstances, ils varient fort rapidement, et permettent ainsi de tenir compte, avec beaucoup de préi ision, de la valeur de “.

Le second avantage est, qu’en calculant par logarithmes 2MM" sin.^ ï a, qui est l'expression de la différence, on trouve, correspondant au logarithme de ce produit, un nombre qui contient la même quantité de chiffres, quelle que soit la caractéristique : plus celle-ci est petite, plus le résultat est donné avec précision, puisque le nombre de chiffres décimaux qu’il contient

MESDRB DES BASES. .^85

estd’aotant plus grand. Prenons un exemple numérique pour mieux faire entendre ceci :

An logarithme 46611853 correspond le nombre 29254 : si la caractéristique est 4, le nombre ne contiendra pas de décimales, et on pourra dire qu’on le connaît à moins d’une unité , tandis que, si la caractéristique est zéro, le nombre correspondant ne contiendra qu’un chiffre entier ; tous les autres exprimeront une fraction décimale : il sera 2,9254, et sera exact à un dix millième près.

Nous devons mentionner un autre avantage résultant de la recherche de la correction qu'il faut faire subir à un premier résultat pour en obtenir un second, au lieu de la recherche directe de celui-ci, quoique cet avantage n’apparaisse pas dans le cas actuel.

Cette correction est généralement très-petite; on pourra alors se contenter delà calculer par approximation, en ne commettant sur le résultat final qu’une erreur d’autant moindre que la correction elle-même sera petite. On sera donc en droit d’apporter aux formules employées des simplifications qu’on n'aurait pas pu appliquer à celles des formules qui auraient donné la quantité cherchée elle-méme. Ainsi, s’il s’agit de calculer une longueur de lOOOO" au moyen d’une correction de iO™, on pourra, dans la recherche de cette dernière, négliger un c’est 4-dire, O", 01, tandis que dans le calcul direct de la distance 10000 il n’aurait pas été permis de négliger le millième, qui aurait été de 10“.

378. Réduction de la base à un arc de grand cercle. Supposons que la base mesurée soit ABC (fig. 281), faisant un angle en B. On n’a pas pu prendre de préférence la droite AC pour base, ou parce que A et C sont invisibles l’un de l’autre, ou parce qu'il y a un obstacle entre deux, ou enfin parce qu’une droite DE peu éloignée satisfait mieux à la condition que de ses extrémités on puisse voir tous Içs points destinés à être rattachés à la base : le terrain de Den E peut être en même temps plus difficile à mesurer que ABC que l’on peut supposer une grande route ou le bord d’une rivière.

Ayant les côtés AB, BC en mètres, on observe l’angle ABC, et résolvant le triangle, on connaît AC ainsi que les angles qui ont leurs sommets en A et C. A ces deux points on trace AD, CE perpendiculairement à AB, CB ; puis, par les points D,E, on mène

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GÉODÉSIK.

deux lignes ÜM, EF perpendiculaires sur les proIongemenU de AC. üii résuul alors les deux Inangles rcclangles D.HA, ECP, dans lesquels on conuail les hypulhénuscs U.V, CE el les angles ; en ellel, puisque DAU el DCE soni droits, DAM = 100 — BAC el PCE 100 — DCA ; d’ailleurs, les côtés DA, CE ont pu èlre mesurés imiiiédiuteincnl sur le terrain, ou obtenus par la résolution des triangles ABD, CBE : dans ee cas, étant en B, on aura dù observer les angles ABU et CBE. Ou trouve de môme, au moyen des triangles MUA, PCE, les valeurs de .MA, DM, CP el PE. Cela posé, imaginons par le point U la ligue DG parallèle à AC ; DG sera égal à .MP ou MA AC OP, comme parallèles comprises entre parallèles : de plus, celle ligne formera l’un des côtés de l’angle droit, dans un triangle rectangle DEG dont l’hypolhé- Duse DE est la nouvelle base cherchée. Le second côté de l’ongle droit est EG= EP — DM.

Dès lors on a

DF. — DG -f- EG — 00 H 4- ^

el DE - DG 1 4 -f — l*