KG

le second terme étant une quantité très-petite |=j , on pouvait,

après l’extraction de la racine carrée des deux membres,^ s’en tenir aux deux premiers termes du développement, parce que le troisième terme contenant la quatrième puissance d’une trèspetite fraction peut être négligé. Actuellement que le but de cette transformatiou est rempli, on simplifie et l’on a

ou enfin de — DG

On voit qu'ici, comme dans le cas précédent, et pour le même motif, celui d’obtenir un résultat plus précis, on cherche la différence des deux bases ABC, DE, de préférence à la valeur immédiate de celle dernière.

Co..trairemeulù ce que nous avons dit au §368, l’angle B, qui sert à résoudre la triangle ABC, doit être obtus. Cela résulte des

MESURE DES BASES. 387

données particulières a. c. B qui le définissébt. En effet, la base AC serait déterminée par la formule

' i* ■= a» + c* — 2ac. cos.B

Mais une erreur P commise sur la mesure de B conduira nu résultat

6'* t= a* r* — 2 or cos.^B B)

d’où 6« — 4'* =»! ac J co4.(B + 3) — t»»-B I =• î oc B s'o B

Pour que l’erreur sur la base soit petite, il faut donc que B soit proche de O ou de 200'; mais comme, d’une autre pari, b doit être grand, In limite favorable est B=200".

.Nous avons traité comme rectilignes tous les triangles considérés. On est en droit d’agir ainsi, si l’of) a soin de Choisir A.[;

DE peu éloignés du parallélisme, B très-obtus et .AM, CP, très • petits. Chacun des triangles sphériques résolus comme s’ils étaient rectilignes, a alors une très-petite surface, et nous verrons plus tard que les triangles plans ayant même longueur de côtés que les triangles sphériques, ont des angles Irès-scnsiblemcnl égaux à ceux de ces derniers, lorsque les surfaces sont trèspetites.

379 Réduction de la base au niveau de la mer. Dans les deux triangles mixtilignes semblables de la figure 282, qui ont leur sommet commun au centre de la ferre, on a la proportion B : ô ; ’. R -t- A I B. R est le rayon de la terre au niveau de la mer ; h la hauteur de la base mesurée B au-dessus de ce niveau, et b la base réduite.

De la proportion ci-dessus on lire 6—

R et R -}- étant des nombres dilTérant très peu l'un de l’autre, les tables de logarithmes ne donneraient pas assez de précision, bornées qu’elles sont généralement aux sept premières décimales, qui pourraient fort bien être identiques pour R et R -H h. AGn d'éviter cet inconvénient, nous chercherons B — b, La même proportion nous donne

et B-4==~

Sabstltuanl la voleur que nous avons trouvée plus haut pour h, il vient

On peut encore, si l’on veut, réduire cette expression en série : pour cela, on divise le numérateur et le dénominateur par R, puis on trouve successivement

Nous verrons plus tard, en parlant du nivellement, comment on obtient h.

380. Pour faire voir avec quel degré de précision on mesure IfS bases et l’on observe les éléments des triangles, nous allons citer ici quelques résultats des opérations de la nouvelle carte de France.

En 180'», on a mesuré la base d’Ensisheim, près Colmar, avec trois des quatre règles de platine qui avaient été construites pour les opérations de la mesure de la méridienne, et dont la quatrième depuis lors reste constamment déposée au bureau des longitudes. Ou la trouva égale à 39 Elle devait servir de

départ pour la carte de la Suisse. En partant de cette base, on

est parvenu, par une suite de triangles,

Au côté Strasbourg. — Signal du Donon. . = 43931”, 62 Le même côté, en partant de la base de Melun, a été trouvé = 43930”, 91

Différence. = 0,”7l

Celle de Plouescat, sur les bords de la mer, non loin du cap Finistère, mesurée avec les mêmes règles, est de 10526",91, et calculée par une chaîne de 33 triangles qui la rattachent à la base de Melun, elle a été trouvée identiquement la môme.

I.a base de Gourbera près Dax (Landes) mesurée avec les règles

deplatineest 12220”,031

Calculée au moyen des triangles qui la lient à celle de Perpignan, on a trouvé 12220”, 769

Différence. 0“,738

On a reconnu, dans cette dernière opération, que l’Océan et la Méditerranée sont d» niveau.

381. Nous renvoyons ceux de nos lecteurs qui veulent connaître, dans leurs plus grands détails , les opérations minutieuses

MESUHK UES BASES.

osy

et les instruments de précision qu’ont employés Delambre etMéchain , lors de la mesure d’un arc de méridien , à la description qu’en a donnée Puissant dans son Traité de Géodésie ; il faudrait la copier textuellement ou la rendre incomplète en l’abrégeant. Nous nous bornerons donc à dire quelques mots de l’appareil do règles que possède l’Ecole d'application d’état-major, etqui présente une exactitude suHisante pour l’exécution des opérations relatives à la carte d’un pays occupé ou conquis.

Cet appareil est composé de deux règles de 4“ chacune. Les figures 283 et 284 représentent une de ces règles en projections verticale “I horizontale. Elles sont en sapin imprégné d’huile J.uuillante, puis de vernir Files portent, à leurs extrémités, des talons en cuivre, et à l’une d’elles une languette A, qui a la faculté de glisser dans une rainure à queue d’aronde, pratiquée dans l’épaisscur de la règle, et qui se meut à l’aide d’un pignon engrenant dans une crémaillère intérieure. Cette languette est divisée en millimètres. On y a même adapté un Vernier^ afin de pouvoir opérer avec plus de précision. Le talon en B est terminé par une surface arrondie à laquelle vient s’appuyer tangenliellement la languette de la règle qui suit. La longueur de 4" est comprise entre les points A et B : ainsi les languettes se comptent en plus. Chaque règle est soutenue par deux jambes ou montants J et J qui lui sont perpendiculaires; chacune d’elles pénètre dans une ouverture rectangulaire pratiquée dans la tablette supérieure d’un trépied. Cette ouverture est plus grande que n’est large le support; mais celui-ci, lorsqu’il en est temps, est maintenu par deux vis butantes dont les écroux sont noyés dans la tablette.

Vers la partie inférieure du trépied, est placée une autre planche qui relie les trois jambes, et sur laquelle repose et pivote au besoin l’extrémité O du support J. Enfin, les jambes do trépied sont terminées par des vis dont les larges tètes, tournées en contre-bas, appuient sur le sol. Ces vis sont destinées à remédier aux inégalités du terrain.

La règle et ses deux jambes sont unies par des doubles manchons Mm, M'm', dans lesquels elles peuvent glisser indépendamment l’une de l’autre. Des vis VV , TT', pressant sur des ressorts, fixent le tout ensemble, lorsque l’appareil est convenablement placé. Chaque règle est établie horizontalement au moyen du niveau SS' qui lui est adapté. On dispose enfin les règles dans une direction déterminée à l’aide d’une alidade et de jalons : puis on tend une corde d’un jalon à l’autre, pour disposer les jambes

GKODéSIE .

soo

J, J dans un même plan vertical. C’est alors que les deux vis butantes sont approchées peu à peu du montant J, qui était re.slé libre jusqu'A ce moment pour ne pas contrarier les mouvements impiimés à la règle, tandis qu’on la rendait horizontale. Toutes les vis étant bien serrées , l’appareil est stable. On fait sortir la languette de la règle précédente pour apprécier le petit intervalle que l'on avait conservé à dessein, afin d’éviter toute chance de recul,

.382. Appareil noutemi pour la me/ture des bases géodésiques, par Af. Porro, olprAer supérieur du génie sarde.

Cet appareil nous a paru digne d’être décrit ovci details, ou raison de sa simplicité et de l’cxliéme précision qu’il donne.

Voici en quoi il consiste ;

1” Une seule verge do sapin, huilée cl vernie, de0®,0t dediamètre eide S”, Ü7 de longueur, est enfermée dans un tuhe en cuivre mince dont elle occupe l’axe et maintenue par des diaphragmes concentriques. Ce tube, qui ne s’appuie sur les suppqrts que par se, s extrémités garnies de pattes de cuivre, a reçu une contrecourbure telle , que son axe est parfaitement rectiligne lorsque, supporté par ses extrémités seulement, il est soumis aux effeta de la pesanteur.

Un niveau à bulle d’air assez long, d’une enurburç prononcée, exécuté avec lo plus grand soin, est placé sur le milieu du tube. 11 est gradué de manière que, si <p indique la distance zénithale de l’une des extrémités de la verge observée de l’autre extrémité et « et p, les lecture:^ faites aux deux bouts de la bulle, on a

On vérifie l’exactitude de cette indication, en retournant l’appareil sur ses appuis et, s’il y a quelque correction à faire, on l'obtient au moyen de vis destinées à cet usage.

Un petit niveau placé perpendiculairement à la direction de l’appareil, vers l'extrémité postérieure, sous la main do l’un des opérateurs, a pour fonction d’assurer la verticalité de la section longitudinale utile du niveau principal. On satisfait à celte condition par un mouvement du grand tube dans les collets qui le fixent aux pattes mentionnées plus haut.

Chaoun des bouts de la verge de sapin est occupé, sauf 0”,06 de marge, par une languette en alliage de nikel incrustée dans le bois. Ces languettes ont 0", 05 de longueur; elles sont divisées

MESURE DES BASES

en 500 parties, numérotées à chaque millimètre, de zéro à BO, du dedans au dehors. Dans le tube sont pratiquées des ouvertures à recouvrements mobiles, qui permettent de voir les divisions. La distance constante G entre les zéros des deux languettes a été fournie par un étalonnage fait avec beaucoup de soin.

2° Trois microscopes achromatiques, grossissant environ quarante fois, sont montés ainsi qu’il suit :

Sur le centre d’une pièce à trois branches (/ig. blfplancheWU), et à trois vis calantes, s’élève une colonne métallique creuse que des branches horizontales et parallèles traversent à deux hauteurs différentes et que termine un niveau sphérique. Ces branches portent en saillie d’un côté le microscope dont elles maintiennent l’axe dans une position verticale. Un pignon et une crémaillère permettent de faire monter ou descendre le microscope pour le mettre à la distance la plus favorable de l’objet qu’on veut observer. De l’autre côté de la colonne, les branches convenablement entaillées maintiennent dans la position verticale un objectif simple de 3“ de foyer et de 0“,06 d’ouverture, placé de manière que son plan optique prolongé pas.se par l’axe du microscope, et que son centre optique en soit distant de 0",I25.

Une échelle en ivoire, divisée en millimètres , occupe un diamètre horizontal de l’objectif. Elle peut se retourner pour faire face de tel côté que l’on veut et pour monter ou descendre d'une certaine quantité, parallèlement à ellc-méme. Cette mobilité est nécessaire, aiu.si qu’on le verra bientôt, pour le cas où le terrain est incliné. On peut enfin la faire pivoter autour de l’une de ses extrémités, pour la déplacer lorsqu’on n’a pas à s’en servir.

L’origine de scs graduations est prise à partir de Taxe optique du microscope. Les trois objectifs et. leurs échelles constituent ce que M. Porro nomme Vappnrcil directeur.

Parfaitement semblables, et numérotés 1,2, .3, ces instruments sont maintenus sur le terrain par trois pieds ordinaires en bois.

Un niveau sphérique supplémentaire, monté de manière à pouvoir prendre la place du microscope, sert à assurer la verticalité de l’axe optique. Il faut toujours opérer par inversion. Lorsqu’on a rendu l’axe optique vertical, on rectifie le niveau de la colonne, de telle sorte qu’il soit d'accord avec le niveau supplémentaire. On remet alors l’oculaire en place , et tout est prêt à fonctionner.

3* Après avoir jalonné la ligne à mesurer et fait placer aux e.xtrémilés des bornes, dans le centre desquelles un grain mélalli-

que est fixé pour recevoir un Irait finement gravé, on place le microscope n* 1 sur l’extrémité de la base où l’on veut commencer. On s’assure que l’axe optique correspond parfaitement avec le trait gravé, et l’on a bien soin que le niveau de la colonne soit calé.

A trois mètres environ de distance , cl dans l’alignement ap- • proximatif de la base, on place sur son pied et l’on cale le microscope n“ 2. On a soin, en plaçant les microscopes, de faire en sorte que la direction des branches métalliques qui portent toutes les pièces soit à peu près perpendiculaire à celle de la base, afin que l’axe optique des objectifs directeurs soit approximativement parallèle à la base.

On place de même le microscope n® 3 à 3 mètres du n* 2. Ce sera ensuite le n“ 1, puis le n® 2, etc., qui viendront successivement sc poser de 3 en 3 mètres en avant.

Lorsque les microscopes n“* t et 2 sont placés, et tandis que l’un des opérateurs pose le n® 3, deux autres personnes présentent la verge sous les n®‘ 1 et 2, lisent sur les languettes les quantités qui sc trouvent sous les croisées de fils et les enregistrent ainsi que l’inclinaison ^ = P, fournie par le niveau.

On aura donc, en désignant par la distance comprise entre

les axes optiques verticaux des deux microscopes consécutifs, et par flp b , les lectures des languettes P «(C-ï-û

Le troisième microscope se trouvant placé avec les mêmes précautions, on transporte la verge à la deuxième portée comprise entre les microscopes 2 et 3, et l’on a même

4® Les quantités P^, P^, P^, etc., représentent les distances entre les verticales successivement déterminées par les axes optiques des microscopes : mais ceux-ci n’ayant été, comme il a été ' dit plus haut , qu’approximativement alignés , il sera nécessaire d’évaluer les éléments de la correction à apporter à ces valeurs pour avoir les portées réelles que l’on peut désigner par

C’est à la détermination de cette correction que servent les objectifs et les échelles d’ivoire dont il a été déjà question.

Voici comment on procède :

MBSURB DES BASES.

A une assez grande distance, sur l’alignement de la base, prolongée au besoin, on place un gros fil à plomb. On en place même plusieurs, si la base a un développement considérable ; ils sont maintenus et accrochés au sommet de trois perches ou jalons unis ensemble.

L’alignement exact de ces fils à plomb, ou les éléments de la correction, si leur alignement n’est qu’approximatif, s’obtiennent par des moyens connus. Cet alignement est considéré comme parallèle à la véritable ligne à mesurer, et séparé d’elle par une distance de puisque nous avons, plus haut, admis ce chif-

fre comme expression de l'écartement entre l’axe optique d’un microscope et celui de l’objectif directeur correspondant.

Soit maintenant (/ig. 51, planche XXII) M , M la position

de deux microscopes consécutifs à la n“* portée. Soit Q le fil à plomb sur lequel on veut relever l’élément de correction de l’alignement : un observateur O regarde le fil à plomb Q avec une lunette à main , qu’il tient de manière que son objectif soit en partie masqué par Vobjectif directeur du microscope voLsin Dans cette position , l’échelle d’ivoire du microscope M

lui apparaîtra dans le champ de la lunette , et l’image du fil à plomb marquera sur l'image de l’échelle un nombre D de millimètres.

Des principes d’optique, il résulte :

1» Que D est indépendant de la position de l’observateur et des petits mouvements qu’il peut, malgré lui-méme, imprimer à la lunette dont il se sert ;

2* Que le lieu de l'échelle où cette quantité correspond est exactement le point a d’intersection entre l’échelle du microscope et la ligne qui , du centre optique o de l’objectif directeur du microscope se dirige au point Q.

3" Si l’on mène, par l’un des microscopes, une parallèle M q à l’alignement vrai, et si l’on abaisse de l’autre 7 perpendiculaire à M 7 , la ligne = 8 sera sensiblement égale à D

— 0“,125, et le triangle rectangle.M M o, dans lequel on

connaît l’hypothénuse et le petit côté de l’angle droit, donnera la longueur réelle de la portée réduite M__q = P.

ô* An lieu de chercher la portée réduite, on cherche, pour plus de précision , comme déjà nous avons fait dans d’autres circon-

CÉODitSIB.

stances, el notamment au § 377, la différence entre l’hypothénuse et le grand côté de l’angle droit, c’est-à-dire entre la portée mesurée et la portée réduite.

Désignées l’une par P, l’autre par it, on a donc P —

Si, par suite des accidents très-prononcés du terrain , le fit à plomb directeur apparaissait beaucoup au-dessus ou au-dessous de l’horizon de l’observateur, celui-ci emploierait, au lieu d’une simple lunette à main, une lunette plongeante se mouvant à angle droit autour d’un axe dont rborizonlalilé serait assurée par un petit niveau à bulle d'air.

6° Afin d’obtenir plus de précision encore et, en même temps, pour contrôler si la lecture n’est pas affectée de quelque erreur, on peut procéder ainsi que nous allons dire.

Apres avoir lu, sur les languettes, les quantités telles quea, 6, on déplace un peu la verge dans le sens longitudinal, el l’on fait la lecture qui donne deux nouveaux nombres a',b' ; on procède plusieurs fois de la même manière, el l'on est assuré de l’exactitude des lectures, si a -t- 6 = a -t- b' = a" -t- b ' =, etc. Les sommes n-i-b, a’-h b', etc. , différeront généralement de quelques millièmes ou même de un ou deux centièmes de millimètre, en raison de l’estime, surtout si les observateurs changent muluclleracnl de place, ainsi qu’il est bon de le faire, après chaque observation. Lu moyenne ne pourra, au surplus , qu’approcfier davantage de la vérité.

6' Pour déterminer la constante C, c’est-à-dire, pour étalonner la verge en la comparant à un étalon de mètre, on place d’abord arbitrairement et on cale le microscope n° 1, puis les 2*, 3', à la distance d'un mètre l’un de l’autre, sur un môme alignement que l’on vérifie par un fil tendu. On présente ensuite le mètre étalon lui-même sous les microscopes et on évalue les intervalles qui les séparent, ou bien on les rend exactement égaux au mkre étalon, si on le préfère. On transporte ensuite le microscope n“ 2 à une quatrième position, dans le même alignement et à 1" du n° 3. Lorsqu’un a évalué ce troisième intervalle, on présente la verge, qui a 3“ environ, sous les microscopes n”* 1 et 2, qui occupent la première et lu quatrième position. On lit, à plusieurs reprises, les quantités a, b, a' b', etc., comme il a été dit précédemment, pour obtenir un résultat moyen, dont l’exactitude dépend du nombre de répétitions qu’il convient à l’obsen’ateur de faire.

HeSURR DES BASES.

Si r^talon dont on dispose est métallique, on doit naturellement tenir compte des cITets de dilatation dus à la température.

7* L’appareil se démonte en trois parties pour pouvoir être contenu dans une boite portative, et, bien que les joints de la verge de sapin soient ajustés de telle sorte qu’on peut les séparer et les assembler sans craindre de variation dans la longueur de la verge, on ne doit néanmoins pas se dispenser de refaire l’étalonnage sur les lieux mêmes, lorsqu’on veut opérer avec la plus grande précision. C'est pour ce motif qu’on ajoute à l’appareil un mètre-étalon en sapin de même grosseur et de même forme que la verge. Comme elle, il est garni de languettes. Inutile d’ajouter qu’il a été lui-même construit sur un étalon métallique légal. Ce mètre en sapin sert aussi comme auxiliaire pour mesurer des parties de la base moindres que la portée.

8* Les pieds ou supports, au nombre de quatre, destinés à porteries microscopes, sont d’une construction qui leur donne à le fois de la légèreté et de la stabilité ; ils se prêtent, par leur simplicité, à une manœuvre prompte et aisée. Un seul écrou sutlit pour arrêter tous les mouvements. La planchette qui les termine peut être disposée horizontalement , de manière que l’opérateur, après y avoir été placer le microscope, n’a presque plus rien à faire avec les vis à caler de ce dernier. Au point où correspond l’axe optique du microscope, la planchette est percée d’un trou garni d’un anneau métallique dont on va voir l’utilité.

9» 11 arrive assez souvent que le point de départ est marqué sur la borne ou sur la tête d’un piquet enfoncé jusqu’à fleur du sol. Il faut donc placer l’axe optique du premier microscope dans la verticale de ce point.

On se sert pour cela d’un petit instrument accessoire, composé d'une tige en cuivre, creuse, d’une longueur variable et surmontée d’un niveau disposé de manière à assurer la verticalité de cette tige. Celle-ci se termine, à sa partie inférieure, par une pointe d’acier très-fine qui entre dans un trou très-petit aussi, pratiqué dans la tète de la goupille métallique qui masque l’extrémité de la base. Cet instrument est surmonté d’une échelle horizontale en argent, divisée comme les languettes de la verge de sapin, et disposée de telle sorte que, passant au foyer du microscope, on peut aisément apprécier l’intervalle conjpris entre la verticale de l’extrémité de la base et l’axe optique du microscope.

Deux lectures faites sur cette échelle, la première avec le zéro

à droite, la seconde avec le zéro à gauche, donneront denx quantités « et p, telles que ~ sera l’expression de l’intervalle.

Lorsqu'on arrive à l’extrémité d’une base ou quand il faut suspendre l’opération le soir, pour la reprendre le lendemain, on plante un piquet. affleurant le sol, et l'on marque sur la goupille l’indice qui doit servir, à la séance suivante, pour continuer la mesure.

Chaque support est garni d’un fil à plomb adapté au centre de la planchette. On conçoit facilement quelle est son utilité, lorsque l’on cesse ou qu’on reprend le cours des opérations.

10« En faisant usage de quatre supports au lieu de trois, on charge un aide de placer, toujours par avance, le pied vacant à la distance de 3 mètres du dernier microscope. On trouve pour cela, dans la botte de l’instrument, une autre verge de sapin, qui a S”* et qui se démonte comme l’autre.

Un autre moyen, plus commode dans la plupart des cas, consiste dans l’emploi d’un niveau sphérique, d’une petite lunette de sextant et de deux prismes, le tout contenu dans une petite botte.

Le niveau est disposé de manière à indiquer au poseur si cette botte, placée sur le support, est horizontale, ou dans quel sens il faut faire varier sa position, si elle ne l’est pas.

Les fils à plomb adaptés à chaque pied ont exactement 0®,75 de longueur : ils sont terminés par des sphères de cuivre ; la lunette et les denx prismes, disposés dans la boite de telle sorte qu'il produisent un effet de double image semblable à celui de tous les instruments à réflexion, mesurent un angle invariable dont la tangente est

L’instrument, placé sur le pied à régler, étant dirigé vers le pied précédent, l’opérateur verra l’image de la sphère du fil à plomb de ce dernier se balancer sur sa planchette, à laquelle elle semblera tangente, et même paraîtra posée dessus, si la distance est précisément de 3“. Cette coïncidence n’aura pas lieu, si la distance est un peu plus ou un peu moins grande. Le poseur devra rapprocher ou éloigner le pied, jusqu’à ce qu’il obtienne la coïncidence apparente avec une approximation suffisante. Ce

CERCLB RÉPÉTITEUR. ?97

moyen, nous le répétons, est préférable et plus prompt que l’emploi de la perche auxiliaire.

Nous terminerons cette description, dont les détails minutieux pourraient un jour être très-utiles à quelques-uns de nos lecteurs obligés de mesurer une base avec soin, en faisant remarquer que la perche pouvant s’incliner jusqu’à 6' par rapport à l’horizon, sans que l’exactitude soit compromise en rien, on rencontrera bien plus facilement un terrain favorable d’ailleurs à la mesure d’une base.