VESURE DES ANGLES. — INSTRUMENTS

Après avoir indiqué les moyens de mesurer une base, nous devons parler de la mesure des angles et décrire d’abord les instruments qui servent à cet usage.

383. Cercle répétiteur. Il est fondé sur le principe suivant : si l’on porte successivement m fois la longueur d’un arc sur une circonférence graduée de même rayon, et à partir d’un point fixe, jusqu’à ce que sa seconde extrémité tombe exactement sur une des ligues de division, ou du moins à une quantité près inappréciable, la longueur de cet arc en grades sera égale à l’arc total parcouru, divisé par n.

Si, par exemple, la circonférence graduée contenant 4,000 parties, l'arc dont nous avons parlé, après avoir été porté 9 fois, a son extrémité sur la 167* division, au delà d’une circonférence entière, on aura arc = ^- = ^6Z parties = 46*, 30'. 11 est clair alors que l’erreur qui a pu être commise sur l’ensemble des longueurs portées à la suite les unes des autres devra être divisée par 9 pour indiquer l’erreur dont est affecté l’arc dont on voulait connaître l’amplitude. Rien n’empêche d’atténuer encore cette erreur, en multipliant davantage les opérations.

384. Le cercle répétiteur, comme nous allons le voir, donne successivement le double, le quadruple, etc., de l’arc cherché, et si l’on suppose que l'on ait répété les observations jusqu’à la 20*, on aura, en divisant l’arc total par 20, et d’après le principe précédent, l’arc simple, à ^ près de l’erreur totale.

Pour bien concevoir la marche de l’opération, nous allonssupposer l’instrument réduit à des lignes mathématiques, persuadé

CÉODÉSIB.

que, lorsque l'on aura bien compris son principe et ses propriétés, l'inspeclion d’un cercle suffira pour en faire doiner le mécanisme qui, d’ailleurs, varie d’un inslruincnl à un autre.

Coucevous un cercle gradué cl deux lunettes pivotant autour de son centre, l’une se mouvant sur le plan supérieur du limbe, l’autre sur la face inférieure.

885. Soient Ü et G les deux objets entre lesquels est compris l’angle que l’on veut mesurer. Fixons la lunette supérieure OA {fig. 285) à zéro: ainenons-la, èn faisant tourner tout l’instrument sur l’objet de droite 1), si les divisions vont de gauche à droite : ce serait sur l’objet de gauche que l’on dirigerait celle lunette, si le limbe était divisé dans le sens inverse. Forions la lunette inférieure O 'B sur l'objet de gauche, au moyen d'un mouvement qui lui est propre : l’angic compris entre les deux lunettes est l’angle cherché; mais on ne peut le lire, puisque, relalivemeul au limbe, c’est la lunette inférieure qui a bougé, tandis que le zéro marqué près de l’oculaire de la lunette supérieure est encore, comme au commencement de l’opération, sur celui du limbe. Acluellcmeiil, faisons tourner tout le système jusqu’à ce que Ü soit sur l’axe optique de la lunette inférieure ; l’autre, toujours attachée au limbe, viendra en A'O', et l’angle ACA' sera égal à ACB. Üélachoiis-la pour la diriger sur G, son index parcourra l’arc O'Oü" double de l’angle cherché. Le chilfi e indiquant la division qui est en ü , divisé par 2, sera donc l’expression de l’angle formé par les deux objets D et G : ainsi, le double de l’angle s’obtient au moyen de deux observations conjuguées.

Si l’on recommence une nouvelle couple d'observations en ramenant la lunellc supérieure, son index restant eu ü , sut l’objet I), on arrivera au quadruple de l'angle, et ainsi de suite.

On pourrait facilement obtenir la série 1,2, 3, etc., des angles : car, si après avoir dirigé la lunette supérieure marquant zéro sur D, ou y amène aussi la lunette inférieure qui, dans ce cas, sert de repère, et si l’on rend cette dernière fixe par rapport au limbe, on aura l’angle simple, en rendant libre la lunette supérieure, et la faisant tourner jusqu'à ce qu'elle soit dans la direction de G. En continuant à opérer ainsi, on aura l’angle simple, double, triple, etc. Celte méthode, beaucoup plus longue, n’est guère employée.

386. Le cercle répétiteur sert encore à prendre les distances

CERCLE RâPÉTITEUR.

■énithales des objets, c’est-à-dire l’angle ZAB ou ZAC {/ig. 278), AZ étant la verticale du lieu de I observation.

Soit O l’objet observé : plaçons le limbe vertical au moyen d'un fil à plomb; pointons la lunette supérieure sur 0, après l'avoir fi&éeau limbe sur zéro; calons un niveau qui est {/iy. 280) Qxéà la lunette inlcrieure; retournons tout rinstrumenl par un mouvemenl de 200* autour de la colonne verticale : lu lunette supérieure viendra en U, sou zéro en O , et sa position nouvelle sera symétrique par rapport au niveau NN , qui n’aura pas dd cesser d’étre horizontal.

S'il s'était décalé dans le retournement, ce qui a presque toujours lieu, plus ou moins, parce que la colonne n’csl pas parfaitement verticale, on le remettrait au moyen du mouvement général du limbe. L’ungle/'CN sera donc égal à L CN'. Si maintenant on détache la lunette supérieure, de manière à ramener l'oculaire de l en L, sa position première, l'objectif parcourra l’arc l QL' double de la distance zénithale, et l'index, parcourant un arc égal, indiquera le double de l'angle cherché.

Ce résultat s’obtient donc aussi par deux observations conjuguées ; et en continuant de la même manière, on a successivement le quadruple, le sextuple, etc., de la distance zénithale.

Il pourrait se faire que les localités ne permissent pas de retourner l'instrument pour la seconde observation conjuguée: on prendrait alors l’angle OCN , complément de la distance zénithale d'où l'on conclurait immédiatement celte dernière.

On rend les deux lunettes parallèles en les dirigeant toutes deux sur un objet très-éloignc, puis on les établit horizontales^ au moyen du niveau qui appartient à l'une d’elles, la lunette supérieure étant toujours à zéro. Alors on dirige celle-ci sur le point O, et l'on a l'angle simple, etc.

Cette manière d’opérer suppose que l'axe optique de la lunette inférieure est horizontal quand le niveau est calé. Pour s’en assurer, on opère par la méthode générale sur un point pour lequel le retournement est possible, puis cherchant la même distance zénithale par le second procédé, on arrive à deux valeurs identiques si la condition est satisfaite, on à deux valeurs différentes qui, retranchées l'une de l'autre, feront connaître une erreur de collimation constante, qu’il suUira d’ajouter ou de retrancher dans tous les cas.

387. 11 est indispensable de connaître les vérifications auxquelles doit être soumis riustrument et les rectifications que

l’on peut y apporter : un cercle de 0“,W (16 pouces) de diamètre suffît pour les opérations les plus délicates de la géodésie ; on se contente môme, en maintes circonstances, d’un cercle de 0"’,27 (10 pouces). Le limbe est divisé en 4,000 parties ou décigrades; chaque division représente ainsi 10^ centésimales. On adapte à l’index de la lunette supérieure un vernier divisé en 50 parties, embrassant le même espace que 49 divisions du limbe : la différence entre les plus petites parties du limbe et celles du vernier est donc un 50* de 10' ou 20'', c’est-à-dire la 200000* partie du cercle.

Les lunettes sont du genre de celles que l’on nomme astronomiques : à leurs foyers sont placés les réticules. Ce sont des anneaux de métal dont deux diamètres rectangulaires sont représentés par des Qls extrêmement déliés.

Le réticule a la faculté de se mouvoir dans le sens de l’axe de la lunette, pour pouvoir être placé exactement au foyer, et dans son plan, autour de ce même axe, soit pour établir les deux fils horizontal et vertical, soit pour les incliner tous deux de 50», l’un à gauche et l’autre à droite de la verticale. Le niveau adapté invariablement à la lunette inférieure est un tube de cuivre découvrant en partie un autre tube do verre rempli presque entièrement d'alcool et fermé hermétiquement. La bulle d’air qu’il contient , et qui varie de longueur en raison des différences de température, se déplace pour marcher dans le sens de la longueur du tube, suivant que l’on modifie son inclinaison. On trace, sur la partie supérieure et apparente du tube de verre, des divisions qui peuvent être d’un écartement quelconque , mais également espacées à partir de son milieu à droite et à gauche. On dit que le niveau est calé, lorsque les deux extrémités de la bulle correspondent à deux divisions symétriques. On comprend que le tube n’est pas tout à fait cylindrique, mais légèrement enflé vers son milieu ; s’il en était autrement, le niveau étant parfaitement horizontal, la bulle devrait s’allonger sur toute la longueur, et suivant une génératrice du cylindre.

Lorsqu’au contraire la paroi intérieure présente la courbure d'un arc de très-grand rayon, le niveau étant horizontal, ses deux extrémités sont au-dessous du milieu d’une quantité égale, et c’est en ce point que vient nécessairement se placer la petite bulle d’air contenu, en raison de sa pesanteur moindre que celle du liquide.

D’après ce qui précède, on voit qu'il faut ; 1* que les axes op-

CERCI.K RI^PÉTITFX’R.

tiques des lunelles, délcneinés par les centres de réfraction des lentilles et la croisée des tils du réticule, soient parallèles au plan du limbe. Pour voir si cette condition est remplie, on vise un' objet avec la lunette de l’instrument et avec une lunette d'épreuve posée sur le limbe. Cette dernière est supportée par deux collets A,B(/î,7. 122) qundrnnf’ulaires. On la vérifie d’abord ellemême en la tournant successivement sur les quatre faces des collets, visant toujours le même point. Lorsqu’on trouve quelque différence , on In corrige au moyen de vis butantes du réticule qui porte les fils. Si , à l’aide de cette lunette , on reconnaît que l’axe optique de celle de l’instrument est incliné par rapport au limbe, on rectifie l’erreur comme il vient d’être dit pour la lunette d’épreuve.

2° Il faut mettre les axes des lunettes et conséquemment le limbe dans le plan des objets. Pour cela, on dirige l’une d'elles sur l’un d’eux; puis la seconde sur l'autre : mais, pour ne pas procéder par tâtonnements, voici comment on s’y prend, et d’abord en quelques mots, et pour pouvoir nous faire comprendre, disons quels sont les différentes pièces et les divers mouvements du cercle.

Sur le cercle gradué est placée une lunette qui y adhère au moyen d’une pince et d’une vis de rappel ; cette dernière produit des mouvements aussi insensibles que possible, quand la pince est serrée : lorsqu’elle est libre , on peut donner telle impulsion au.ssi grande qu’on le veut avec la main seulement. Audessous du limbe est disposée excentriquement la seconde lunette qui se meut également à l’aide d’une pince et d'une vis de rappel. Sous le limbe se trouve un axe perpendiculaire à son plan, et qui passe dans un cylindre creux au-dessous duquel est un renllement P(i (/ïg. 2H7 et 287ftw), nommé ln)nbo>ir, garni d'une pince : il sert à rendre indépendants ou â fixer l’un à l’autre l’axe et le cylindre creux. Celui-ci fait corps avec un axe de rotation AB qui lui est perpendiculaire. AB repose et pivote sur deux supports réunis par leurs parties inférieures, au moyen d’une semelle qui ne forme qu’une seule pièce avec eux. Cette partie de l’instrument se nomme la fourche, et est maintenue par deux vis M et N sur une traverse formant T sur la colonne qui est destinée'à supporter le tout. La colonne est creuse et descend jusqu’à un cercle horizontal F et F', dit cercle azimulnl, qui est fixé à un pied à trois branches. Cel!c.s-ci sont traversées par trois vis V, V, V', qui servent à rendre la colonne verticale ou à mo-

40^ CitODliSIB.

difier son inclinaison : ces vis, à larges têtes plates en cuivre , sont en acier et terminées par des cônes aigus qui , en pénétrant dans de petits cônes creux pratiqués dans des pièces dites gouttes de mif, évitent que l’instrument se déplace pendant la duréa dos observations, parce que les gouttes de suif sont garnies en dessous de petites pointes aiguës , en acier trempé, qui entrent dans les pores ou inégalités de la table ou du massif sur lequel est placé l’instrument. Un axe vertical en fer, adhérent au cercle azimutal, pénètre dans le vide de la colonne qui est terminée dans le bas par une branche horizontale à l’extrémité de laquelle est établie une pince. Quand cette pince est serrée , la colonne et tout ce qu’elle supporte fout corps avec le trépied ; quand elle est desserrée, le pied ne varie pas, mais la colonne et la partie supérieure do l'instrument peuvent pivoter autour de l’axe qui remplit le creux de la colonne. Il reste, pour compléter celte description succincte, à dire qu’à l'axe de rotation AB est adapté un quart de cercle KL, qui longe l’un des supports de la fourche, et conserve la position qu'on lui donne par l'efTel d’une vis de pression H; que, sur l’axe perpendiculaire placé sous le limbe, est posé un petit niveau dont le but est de rendre cet axe horizontal, et par conséquent le limbe vertical , quand il s’agit d'observer des distances zénithales; que, pour cette même opération, on a placé un grand niveau sur la lunette inférieure, et qu’enfin, la lunette supérieure entraîne avec elle deux et quelquefois quatre verniers placés à angles droits.

Cela posé, disons comment on met le limbe dans le plan des objets.

On dirige deux des vis du pied, V et V', par exemple, vers l’un des objets ; on desserre la pince F, et l’on fait tourner ta colonne jusqu’à ce que l'uxe AB ail pris la même direction : alors on serre bien F, on rend libre l’une des lunettes, soit par son mouvement propre, soit par le mouvement général, c’est-à-dire à l’aide de la vis P du tambour. C'est surtout ce dernier moyeu que l’on emploie, si les divisions allant de gauche à droite, et le vernier étant placé à zéro, c’est de l’objet de droite qu’il s’agit , et la lunette supérieure dont on fait usage la première. Pour lui donner l’inclinaison convenable, c’est-à-dire faire que le point D soit couvert par la croisée des fils, on se sert des vis V et V' du pied que les deux mains font tourner simultanément et en sens inverse. Ceci fait, on rend libre la lunette inférieure, on l’amène dans le plan vertical passant par l’objet G ; puis on desserre la vis II qui