THÉODOLITE

temenl les vis des collets des tourillons : on desserre une vis située au-dessous du limbe, et l’onamène celui-ci dans le plan vertical ) puis on adapte un contre poids , pour faire équilibre au limbe ; enfui, on desserre la vis du cercle azimulal. La colonne se trouve à peu près verticale, et on la règle délinilivenient au moyen d'un niveau qui y est fixé. Pour s’as.surcr d’abord que l’axe de la colonne et celui du niveau forment un angle droit, on rend le niveau horizontal avec les vis du pied, on lit la division du cercle azimutal, on fait décrire 200“ à rinslrumcnt, et le niveau se retrouve dans une position parallèle à la première. S’il resie calé, c’est signe qu’il est à angle droit sur la colonne, et qu’elle est verticale. S’il n’en est pas ainsi, on corrige l’erreur moitié avec les vis du pied, moitié avec une vis attachée à Tune des extrémités du niveau : on revient à la première position, et après quelques essais, le niveau se trouve horizontal dans deux positions symétriques. Il est donc à angle droit avec l'axe qui se, trouve ainsi situé dans un plan vertical. Faisant décrire ensuite 100« à l’instrument, et calant le niveau avec la vis du pied la plus directe, on parvient, après quelques UUonnements, à mettre le niveau horizontal dans deux directions perpendiculaires ; la colonne est donc située dans deux plans verticaux, et par conséquent verlii^le, n la seconde opération n’a pas dérangé la verticalité du premier plan. On a eu soin, dans ce but, de mettre le niveau dans la direction de deux des vis du pied. iNéaninoins il sera nécemaire d'opérer par tAtonuemeuts.

On s’occvqte alors de rendre le limbe vertical, au moyen d’un fil à plomb. Pour cela, on fixe sur deux points opposés du limbe, deux pinces portant des ligues de repère.

Préalablement, on vérifie si les points de contact avec le limbe et les lignes de repère sont équidistants pour les deux pinces; puis ensuite, on s’assure de la verticalité des points de repère, et par conséquent du limbe, au moyen du fil à plomb.

Si le limbe est incliné; on le redresse avec une vis sur laquelle bute le petit quart de cercle qui est situé sous le limbe: quand ce dernier est vertical, on cale un petit niveau qui lui est perpendicnlaire, et qui plus tard sert à reconnaître les dérangements, et à y apporter remède, sans se servir encore des pinces et du ûl à plomba , V

11 s'agit ensuite de rendre la lunette parallèle an plan du limbe: cela se fait en plaçant la lunette sur un objet, arrêtant les vis des limbes, lisant la division azimutale et tournant l’in-

il2

GROIIKSIK.

sirumcnl de 200*. Le limbe se trouve alors dans une position symétrique à la première. Si la lunette est parallèle au limbe, elle doit portei encore sur le même objet, à la différence du double de la di.stance de son axe à celui de la colonne, quantité presque nulle, eu égard à l’éloignement de l’objet visé. Si la lunette ne donne plus dessus, après toutefois, pour s’en assurer avoir ramené MTS soi l’oculaire, on corrige la différence, moitié par la vis de rappel du cercle azimulal, et moitié avec la vis qui fixe la lunette au limbe. En continuant cette opération, on arrive à retrouver aux deux positions, le même objet à la croisée des fils. Quand il y aurait une légère différence dans le retournement, cela affecterait peu le résultat : aussi se contente-t-on, quelquefois, pour obtenir le parallélisme, de mettre à vue le plan du limbe sur un objet, et d’y diriger également la lunette.

Le fil principal avait été placé verticalement pour l’observation des angles, il se trouvera donc maintenant horizontal. Si d’ailleurs il ne l'était pas, on le réglerait comme il a été dit précédcmmenL

397. L’instrument ainsi réglé est propre à l’observation des distances zénithales. Pour y procéder, on place le vernier à zéro, on desserre la vis du limbe extérieur, on met le plan du limbe dans la direction de l’objet, le limbe étant à droite de la colonne, si les divisions vont de gauche à droite ; on serre la pince, et l’on vise exactement avec la vis de rappel, après avoir examiné si le niveau n’est pas dérangé. On tourne ensuite l’instrument de 200*. et si la bulle du niveau n’est plus dans ses repères, on l’y replace avec la vis la plus directe du pied : on desserre celle du limbe intérieur, on ramène la lunette sur l’objet, et dans ce mouvement, l’objectif a parcouru le double de la distance zénithale cherchée. En multipliant de semblables opérations, on aura le double, le quadruple, etc.

Lorsque, dans un édifice, l’ouverture par laquelle on observe n’est pas assez grande pour pouvoir placer le limbe dans les deux positions à 200*, on peut encore obtenir les distances zénithales d’un seul cAté. Il y a, pour cette circonstance, une marche analogue à celle décrite pour le cercle répétiteur à la fin du n° o86.

398. Cercle à réflexion. Il nous reste à parler de cet instrument. Nous ne répéterons pas ce que nous avons établi n” 151, des propriétés de la lumière sur lesquelles est fondée la théorie des instruments à réflexion. Celui dont nous allons parler a beaucoup

CERCLK A RÉFLEXtON. ^\T^

d’analogie avec le sextant. Comme lui, il est armé d’une lunette et de deux miroirs : l’arc gradué est remplacé par une circonférence entière. Ici, l’alidade qui porte la lunette EF (/igr. 29Ü; et le petit miroir MN, est mobile : soit Py le grand miroir mobile aussi, et passant par le centre C. Le vernier tracé à l’une des extrémités de son alidade est mis d’abord en O à zéro du limbe au moyen d'une vis de rappel.

Le limbe est divisé en 800 parties ou demi-grades qui, pour la mesure de l’angle que forment deux directions, exprimeront des grades; quelquefois même, chaque partie étant divisée eu deux, ces plus petites divisions fournissent les demi-grades de l’angle observé. Supposons le vernier divisé en dix, et embrassant neuf petites divisions du limbe, l’estimation sera, comme nous le savons calculer déjà, de cinq minutes. Cela posé, si d’ailleurs l’instrument est divisé de droite à gauche, on vise l'objet de droite avec la lunette EF ; puis on fait tourner le grand miroir, l’alidade qui le porte et qui d’avance a été mise à zéro, et enfin le limbe lui-méme, jusqu’à ce que la position de ce grand miroir PQ soit telle, qu’il fasse coïncider la seconde réflexion de G avec le rayon CD qui vient directement de l’objet de droite. On fixe alors au limbe, et au moyen d’une vis de pression, la lunette qui, jusquelà, en avait été indépendante ; on la dirige sur l’objet de gaucho, en imprimant à tout l’instrument un mouvement de droite à gauche. Il est évident que les deux miroirs conservant encore leurs positions relatives , l’observateur apercevrait à la fois le point G et un point à sa gauche , de la même quantité angulaire que D l’est vers la droite; si l’on desserre la vis qui fixait l’alidade au limbe, on pourra, en la faisant tourner, amener le miroir PC à être parallèle à MN ; le zéro du vernier aura atteint alors le chiffre qui exprime l’angle des deux objets, en ne parcourant cependant réellement que l’angle des deux miroirs. On pourrait donc lire l’angle simple ; mais, puisque tel n’est pas le but, on continue le mouvement que l’un a imprimé à l’alidade, jusqu'à ce que le miroir PQ renvoie la seconde réflexion de D dans la direction de l’axe optique de la lunette. La lecture donne alors le double de l'angle que forment les directions CD, CG. Pour obtenir plus de précision, en multipliant les observations, on rend libre la lunette que l’on dirige de nouveau sur D, et l’un continue comme précédemment.

Les conditions auxquelles doit satisfaire cet instrument sont ;

1° Que la lunette soit parallèle au plau du limbe ;

GÊODI^SIE.

2» Que les miroirs soient perpendiculaires au limbe.

Le moyen de s’en assurer <^tanl donné au n* 155, nous nous abstenons de le reproduire ici.

S99. On se sert encore de cet instrument pour mesurer les, hauteurs des objets au-dessus de l’horizon. Sur terre, on emploie un horizon artificiel, qui est formé par du mercure contenu dans une botte : sa surface est toujours réfléchissante et horizontale. L'horizon artificiel est placé en M {fig. 291 ), en avant de l’œil qui y aperçoit directement l’image A' de l’astre, et qui , au moyen du cercle, reçoit la seconde réflexion de A dans la direction OA'. On obtient ainsi l’angle .AOA' qui diffère trop peu de AMA', pour que l’on tienne compte de la différence. On a par conséquent la hauteur de l’astre au-dessus de l’horizon, en prenant la moitié de l’angle observé.

En nier, on prend l’angle entre l’astre dont on veut connaftre la hauteur et le point de l'horizon situé dans sou plan vertical ; mais rien ne détermine, à priori, ce plan vertical ; pour préciser l’observation, il faut alors avoir recours à l’observation suivante ; l'angle entre l’astre et un point quelconque de l’horizon de la mer, variable avec celui-ci, atteint son minimum lorsque le point employé est dans le vertical de l’astre. Si donc on a observédans ce dernier plan et qu’on incline ensuite l’instrument, après avoir serré les vis des miroirs, l’image du point de l’horizon de la mer correspondant à la nouvelle position devra s’écarter de l’image de l’objet , puis<jue l’angle qui s’y rapporte est plus grand que celui qui a déterminé la position des miroirs. 11 sutlira donc, pour opérer dans le plan vertical de l’astre, d’imprimer à l’instrument un petit mouvement d’oscillation et de saisir l’instant où la trajectoire décrite par l’image de l’astre se trouve tangente à l’itnage de l’horizon de la mer.

Celte méthode d’observation donne en réalité, non pas l’angle avec l’horizontale du lieu , mais bien celui qui est formé avec l’horizontale de l'horizon de la mer.

Pour les marins qui observent sur le lillac d’un navire dont la hauteur est toujours très-petite , l’erreur qui en résulte est toujours très-petite elle-même. Cependant, il peut se présenter des circonstances dans lesquelles une hauteur plus considérable du lieu de robscrvalion au-dessus de la surface de la mer donne naissance à une erreur assez importante qu’il est nécessaire de corriger. Soit 0 la position de robservaleur situé à une hauteur m au-dessus de la surface MN de la mer {fig. 291 bis). L’angle

CAUSES d’eRUECRS OUI AFFECTENT LES ANGLES. 416

observé sera H au lieu d’être h. L’erreur H — h est l’angle des tangentes aux points M et O, angle égal à celui des rayons et que nous appellerous ». En désignant par il le rayon terrestre, on a évidemment

cosj»«=g-^-=— ^=1— ^ approximativement.

Pour rendre cette expression calculable par logarithmes, on peut la remplacer par

2 silj.»l« = t — t03.«= ^ , sin.la=|a=

<t est l’erreur qui affecte l'angle à l’horizon. La formule donne cet angle exprimé par un rapport j pour avoir son expression en secondes, nous savons qu’il faut diviser par sin.t"; la correction que devra subir l'angle observé sera donc

SIM I» y R

Si l’on n’avait pas d’horizon artificiel, on pourrait encore obtenir la distance zénithale d’un astre ou d’un objet élevé au-dessus de l'horizon par un procédé commun à tout autre instrument qui aurait un cercle gradué et une lunette: car nous ne ferons ici aucun usage des miroirs. Ce procédé consiste à fixer, au moyen d’un étrier, un niveau au prolongement du diamètre qui porte le grand miroir : en effet, fixons le vernier Lde la lunette (/îÿ. 292) sur le zéro du limbe , et visons l’objet O.

L’alidade AC du grand miroir a été rendue libre d’abord, et on le fixe ensuite daus la position pour laquelle le niveau est calé, te point visé O étant toujours à la croisée des fils de la lunette qi.i, pour cette manière d’opérer, doit porter un réticule inutile dans l’usage habituel du cercle à réllcxion. L’on fait ensuite exécuter une révolution de 200« à l’instrument, on rend libre la lunette dont le vernier marquera le double de la distance zénithale, lorsque le niveau fixé au limbe sera calé et lorsqu’on apercevra le point O à la croisée des fils.

Cette méthode est, en définitive, celle indiquée pour l’usage du cercle répétiteur et du théodolite ; elle serait très-dilÜcile à employer avec le cercle à réllcxion sans support fixe.

400. Causes d’erreur qui affectent la mesure des angles. Pour apprécier l’exactitude des résultats auxquels on peut arriver.

citonÉsiE.

ainsi que des condilions nu\(iiiellcs il faut satisfaire pour avoir de bonnes observations, il est necessaire de se rendre compte des causes d’erreur possibles, ou tout au moins des principales d’entre elles. Nous supposerons que l’observateur satisfait exactement aux conditions exij^ées de l’instrument qu’il emploie, conditions qui ont été expliquées loi-s de la description des instruments usités pour les opérations géodésiques. Observons ici que toutes les prescriptions alors indiquées n’ont pas même importance. Ainsi, pour ne prendre qu’un exemple, une horizontalité, quelque peu défectueuse du limbe du théodolite, aurait pour résultat de projeter les angles sur un plan quelque peu différent du plan horizontal. Il s’en suivrait une erreur, il est vrai, mais une erreur fonction seulement, de l’inclinaison donnée au limbe et toujours beaucoup plus petite que cette inclinaison.

Si, nu contraire, dans la mesure à l’horizon, avec le même instrument, le mouvement général n’a pas été très-fortement arrêté, le mouvement particulier de la lunette nécessaire pour pointer à gauche pourra entraîner le limbe , et l’erreur commise aura une grande influence , car elle se transportera en vraie grandeur sur la mesure de l’angle, ou du moins sur le multiple de cet angle. Disons, en passant, que c’est dans ce déplacement po.ssible, et dont la constatation ne peut avoir lieu, que consiste l’infériorité du théodolite comparé au cercle répétiteur pour lequel le déplacement sera indiqué par la seconde lunette qui, dans le cas analogue, doit rester pointée sur l’objet de droite. L’importance de cette grave cause d’erreur ne peut être atténuée qu’en faisant pivoter la lunette du théodolite, tanlêt ê droite, tantôt à gauche, pour l’amener par son mouvement particulier au pointé de l’objet de gauche.

Nous ne pouvons pas passer en revue tous les cas qui se présentent dans l’usage des instruments répétiteurs. C’est ê la sagacité de l’observateur à apprécier l’importance relative des diverses prescriptions indiquées; dans le doute, il devra se rappeler que trop de précautions prises ne peuvent avoir d'autre influence qu’une légère perte de temps, tandis que leur insuflisancc peut nuire à l’exactitude des résultats.

Les causes d’erreur indépendantes de l’observateur sont les suivantes ;

1" Mauvaise division du limbe ; — 2" axe do rotation différent du centre du limbe ; — .t» erreur de pointé; — 4° erreur de lecture;—5° dérangement d'une partie de rinstnimcnt.

CAUSES d’brreuh oui affectent les angles. 4n

Passons-les successivement en revue :

t* Mauvaise division du limbe. Pour que les arcs parcourus par les verniers mesurent bien les angles, il faut que les divisions du limbe soient parfaitement égales. Quelque soin qu’on apporte à la construction de l’instrument, il y aura toujours certaines inégalités commises.

2“ Excentricité-Île l’axe de rotation. 11 faut de plus que les angles aient leurs sommets au centre du cercle gradué, sans quoi, trop grandes dans une position, les mesures seraient trop petites dans la position opposée.

Gomme la première , cette condition ne sera jamais rigoureusement satisfaite ; les meilleurs instruments, avec le temps, deviennent sujets à l’erreur qui en résulte, par suite de l’usure des centres.

L'usage des instruments répétiteurs obvie en partie à ces deux inconvénients. En effet, par suite de la répétition, le même angle est mesuré successivement dans différentes parties du limbe , ci s’il a été mesuré une première fois avec les divisions trop grandes, il peut l’être une autre fois avec les divisions trop petites. Il y a donc compensation tout au moins partielle. L’usage de plusieurs verniers agit dans le même sens.

3® Erreur de pointé. Cette erreur peut provenir, soit de l'imperfection inévitable dans toutes les opérations des hommes, .soit du doute qui peut exister sur le point à viser lui-même. Les instruments répétiteurs tendent à diminuer l’influence de la première cause, car dans la seconde visée, il y a chance de commettre une erreur inverse de la première. La compensation n'aura pas toujours lieu, mais elle est possible pourtant, et le cas le plus défavorable n’atteindrait jamais que la même erreur commise dans l’opération simple.

L’influence des instruments répétiteurs n’est plus aussi évidente quand il s’agit du vague qui peut exister dans le pointé par suite de la nature du point visé.

Les sommets de triangles, qui devraient êtredes points mathématiques , ne sont souvent qu’une conséquence de la forme des monuments qui, éclairés différemment suivant la position du soleil, apparaissent à l’observateur sous des aspects différents. Ainsi, l’axe d’une tour circulaire devant être sommet du triangle ne sera pas vu directement d’une autre station, et l’observateur sera obligé de prendre, pour sa position, le milieu de la par tie visible, laquelle partie varie avec la position du soleil. De lè

UtODÉSIB.

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natt la correction de phase dont il est possible de tenir compte dans quelques cas, mais qu’on néglige la plupart du temps.

Le point qui devrait être visé peut devenir invisible et être remplacé |)ar un autre défectueux, .\insi, quelquefois les clochers qui servent de signaux ne sont pas verticaux, en sorte que l'extrémité de la flèche qu’on a choisie pour représenter une station n’étant plus visible quand l’éloignement devient considérable, se trouve remplacée, pour l’observateur, par un autre point moins élevé qui n’est plus sur la même verticale. Cette cause d’erreur a une influence plus grande encore pour les distances eénithales, que la flèche soit ou ne soit pas verticale.

Il n’y a pas d’autre moyen d’obvier à ces défectuosités du pointé,' que de changer la nature du signal. Pour bien faire, il faudrait surmonter le monument d’une mire pour laquelle le doute ne serait plus possible, comme cela a lieu dans les signaux construits ad hoc.

Outre l’emploi de cette mire, on avait songé pour les opérations très-importantes à observer de nuit des signaux de feu, tels que des réverbères j mais ou y a trouvé des inconvénients graves provenant de la réfraction. Généralement, l’effet produit par ce phénomène est de faire paraître le point vu plus élevé que celui de la nature, en le laissant dans le même vertical. Les angles dans le sens horizontal n'en sont pas affectés, et l’on sait corriger approximativement l’erreur commise sur les distances zénithales. Mais il n’en est plus de même pour les observations de nuit J l’éUit do l’atmosphère est soumis à de bien plus grandes variations que dans le jour, et les séries de la même distance zénithale observée varient entre elles, quelquefois, de plusieur. minutes.

D'un autre cèlé , il ne semble plus exact de supposer que la réfraction n’a d’influence que dans le plan vertical ; on est porté à croire qu’il existe aussi des réfractions latérales pour les rayons géodésiques qui sont toujours trcs-rapprochés du sol , parce qu’alors la terre rayonne au lieu d’absorber la chaleur.

On a donc été forcé d’abandonner les observations de nuit, et on se contente de faire signaler aussi bien que possible les points les plus importants.

Les observations doivent se faire par un temps calme , ni trop matin, ni trop tard, afin d’éviter les irrégularités de la réfraction.

4» Erreur de lecture. En admettant que l’angle marqué par le vernier soit bon, on commettra toujours quelque erreur dans