Réduftion d«t anglrs à Vhorixen. Quand on observe lei

RÉDUCTION DES ANGLES A l’hORIZOX. 421

angles au moyen du théodolite, ils sont tout réduits à l’horizon ; mais ils doivent subir une correction lorsqu’ils sont mesurés avec le cercle.

Soient O {fig. 293) le centre de la station, OC la verticale, D et G les deux objets entre lesquels on a observé l’angle ; leurs distances zénithales seront CA et CB, que l’on désigne par 8 et 8' ; l'angle observé est mesuré par l’arc AB. Si l’on suppose décrits avec le même rayon qui est quelconque, et que l’on peut, pour simplifier, supposer égal à l’unité, les deux arcs CA, CB, 1 angle réduit à 1 horizon sera l’angle C du triangle, et sa mesure ou celle de 1 angle dièdre formé par les deux plans verticaux sera bien l’arc A'B' compris dans le plan A'OB perpendiculaire à leur intersection commune OC.

La question est donc ramenée à la résolution d’un triangle dans lequel on connaît les trois côtés. La trigonométrie sphérique nous fournit les formules

sin

• Kc+A — n)

sin.J (c-pfl —

sin./i

sin. A

’ sin

sin-l (n-t- A -

sin.f?

sin. A

«tin

Nous avons expliqué, n» 63, pourquoi la troisième est généralement préférable. Il y aurait ici, pour les deux premières, l’inconvénient d’avoir sous le radical, un dénominateur formé du produit de deux sinus qui varient très-lentement, puisqu’ils appartiennent à des angles 8 et 8' différant toujours peu de tüü« ; quant à la troisième, elle aurait l’inconvénient commun aux deux autres, d’être composée de facteurs qui marchent suivant une loi trop peu sensible entre les limites zéro et runilé. On a donc préféré, pour obtenir plus de précision, employer une méthode déjà usitée en d’autres circonstances qui , au lieu de C, donnât la différence C — e, et qui , en même temps , conlenaril des tangentes et cotangentes au lieu de sinus, fût beaucoup plus rigoureuse dans la pratique , puisque la moindre différence sur un angle fait bien plus varier ces nouveaux facteurs (iui,*de 0 à 100», prennent toutes les grandeurs comprises entre zéro et l’infini. Un autre avantage de la formule que nous allons démontrer est la possibilité de la réduire en tables. Celte considération est

cÉoniisiE.

d’une grande ittiportance pour des calculs tels que les réductions qui se reproduisent si souvent dans les calculs géodésiques.

Pour y arriver, reprenons la formule

„ ros.c — C05 O oos 6

CO».C am ^ :

sin.a sm 6

de laquelle avaient été déduites les précédentes. Désignons par x la différence cherchée, et nous aurons

co».C«=PO£.(c + x) = cos.c cos.x — sin.c sin x

Nous pouvons dégager x de ses lignes trigonométriques , au moyen des développements en série, et négliger toutes les puissances supérieures à la première, en raison de la petitesse de x qui sera justifiée plus tard : remplaçons aussi a et b par leurs compléments a et et égalons les deux valeurs de C ; nous aurons

cos.c — X sin.c=

P08.C — siii.g sin. 3 cos .a fos.^

Le but de l’introduction de a et ^ a été de substituer des angles très-petits, dont les lignes trigonométriques pourront encore être remplacées avec avantage par les développements en série : nous remarquerons cependant que a et p ayant presque toujours des valeurs notablement plus grandes que celle de x, nous devrons conserver les seconds termes qui sont de deuxième puissance dans les séries qui représentent leurs sinus et cosinus : la formule deviendra

cot.c— X sin c>

COi.C — a/S

COS.C — a$

(cos.c- a/9) [1 {(a* + pi)]-i

et parce que le second terme ; est très-petit, et que l’on

peut s’en tenir aux deux premiers du développement de la puissance

cos.c — xsin.e«=(cos.c— ap)[4 -H(a’-}-3*)]

On arrive au même résultat , indépendamment du développementdu binôme, en multipliant le numérateur et le dénominateur

par l 4- : car alors le dénominateur devient [1 —

[l +î(*' 4P’)]> c’est-à-dire le produit d’une somme par une différence ou Indifférence des carrés : or, nous avons dit que nous négligions les termes de troisième et, à plus forte raison, de qua-.

RÉDUCTION DES ANGLES A L’iIORIZON.

trièrae puissance ; il en résulte donc que l — se réduit

à Tunité et que le second membre de l’équation est encore ce que nous avons trouvé par la première méthode.

Effectuant les opérations indiquées et néglipcani le quatrième

terme — p*) du produit, comme de quatrième ordre; puis,

supprimant cos.c commun aux deux membres, changeant lou.s les signes et divisant par sin.c

y «3 — 1 CO» g

fin.r

Mais on sait que

co5.c= sin.«J c

siu.Cs» î sin.J c cos.^c 4 cos. «Je

on pourra donc écrire

(iin.> \ f +C08.S1 c' - t (aS 4. fls) (fo,., ■ g - ,in t ■ ç) î sin.} c ras. 4 c

. Réunissant d une part les termes du numérateur qui contiennent sin.* le, et de l’autre, ceux qui contiennent cos.* if.