X - («B4-1 + ros.itc

sin.J c cos.J c ~

Le coeflScienl du premier terme est la moitié du carré de a-f-p: la parenthèse, dans le second, renferme la moitié du carré de « — p, ainsi ;

J. ^ «in-S c-i (» — P)« cos.»tc

i sin.) c cos.lc “

l8Dg.{ c- coung.jf.

Si les angles à 1 horizon « et p sont donnés par des rapports (ou nombres abstraits), z est lui-même exprimé en rapport, car il enestde môme de tangente et cotangenle de l’angle j c ,• la formule est homogène. Mais les angles a et p seront habituellement exprimés en secondes ; pour passer à leur e.xprcssion en rapport, nous savons qu’il faut les multiplier par sin. 1'' (,S 55), et cette opération est essentielle, car les développements des sinrs et cosinus en séries que nous avons invoqués ne sont vrais que pour cette expression des angles.

ÜÉODÉSIR.

Si nous supposons que a et ^ soient des nombres de secondes, nous devrons donc multiplier chacun des termes du second membre par sin.* 1", et le résultat nous donnera l’expression de x en rapport, expression que nous savons être égale au nombre de secondes cherché multiplié par sin. f' ; ce qui donnera en définitive, par la suppression du facteur commun

I» tang.lcsio.t” — J* cot-lc sin.t»

remplaçant les angles à l’horizon a et p, par 100 — 5 et 100—5', la formule de réduction sera finalement

aio.t» collc

Les deux termes sont toujours de signes contraires, par la raison que c étant plus petit que 200*, , c est moindre qu’un angle droit, et ses tangente et cotangente sont constamment positives : de plus, les quantités renfermées dans les parenthèses étant élevées au carré sont aussi positives.

On peut calculer les deux termes par logarithmes, ou employer des tables qui les donnent plus promptement. Dans la première, on entre avec l’angle observé, et l'on trouve sur la même ligne horizontale et dans deux colonnes verticales différentes, intitulées tangente el cotangente, Aeux nombres de secondes dont l’un eslpositif et l’autre négatif. Dans la seconde table, entrant avec les arguments 200 — (5-+- 8') et 8 — 6', on trouve successivement deux nouveaux nombres gui, placés sous les premiers et multipliés par eux, donnent deux produits que l’on retranche l’un de l’autre pour avoir x. On peut encore préparer deux tables, analogues aux précédentes, qui donnent les logarithmes des mêmes facteurs.

Cette formule, basée sur l’hypothèse de a et p très-petits, est applicable aux opérations géodésiques seules, pour lesquelles rette condition est satisfaite. Les réductions analogues faites pour les observations astronomiques doivent se foire par la formule qui donne la tangente de \ C directement.

Observons encore que les facteurs tang. ;c, cot.Jc, devenant très-grands lorsque c est proche de 200* ou de o, il y a lieu d’éviter ces deux sortes d’angles, pour lesquels l’approximation ne serait plus suffisante, dans certains cas. Ceci est, du reste, d'accord avec ce que nous avons dit relativement aux formes à donner aux triangles géodésiques.