CALCUL DES TRIANGLES

gles par les formules de la trigonométrie sphérique, le plus habituellement par la formule des quatre sinus ; mais comme nous savons que ces formules ne donnent que des relations entre des angles, il serait nécessaire de transformer la base b de départ connue en mètres ; son expression en angle serait, en désignant

par R le rayon de la sphère, ~ en rapport ou ^ * - en secondes; tous les résultats des calculs subséquents seraient les valeurs en secondes des côtés inconnus des triangles, valeurs dont la forme serait convenable pour le calcul des coordonnées. Il n’y aurait que pour la recherche des altitudes qu’on devrait les transformer inversement, afin de connaître les nombres de mètres renfermés dans les arcs terrestres qui les mesurent.

Mais la surface de la terre n’est pas sphérique; elle se rapproche de celle d’un ellipsoïde de révolution. Üans cette circonstance, le premier moyen qui se présente à l’esprit est le suivant :

Les côtés géodésiques sont nécessairement toujours très-petits par rapport aux dimensions de la terre, et il en est par suite de même des surfaces des triangles par rapport à la surface terrestre. On peut donc, approximativement, les regarder isolément comme appartenant à une sphère qui se confondrait avec l'ellipsoïde pendant l’étendue de chaque triangle considéré, et les résoudre alors comme triangles sphériques.

Pour agir ainsi, il est d’abord nécessaire de rechercher quel serait le rayon qui conviendrait le mieux à chacune de ces sphères. Nous rappellerons à ce sujet, sommairement, quelques notions de géométrie.

Si en un point d’une courbe on mène la tangente et la normale, tout cercle dont le centre sera situé sur cette dernière sera tangent à la courbe. Ces cercles, en nombre infini, ont des rayons allant de o à l’infini, le premier répondant au point et le second à la tangente. Parmi eux, il en est un, dépendant de la forme particulière de la courbe, qui a avec celle-ci un contact plus intime que tous les autres; on l’appelle cercle osculateur, et sa définition analytique est la suivante : il a avec la courbe trois points communs infiniment rapprochés, et par suite son équation a non-seulement même coefficient différentiel que celle de la courbe, propriété qui est commune à toutes les courbes tangentes, mais elle a encore même coefficient différentiel de second ordre. Quoi qu’il en soit de la définition d’un tel

cercle, il existe et peut être considéré comme se confondant avec la courbe pendant une étendue assez notable, relativement à son ra>on qui reçoit le nom de rayon de courbure de celle-ci.

Si de la considération d’une ligne nous passons à celle d’une surface, nous dirons que si en un point quelconque on suppose une suite de sections planes, déterminées par des plans normaux, chacune de celles-ci aura un cercle osculateur dont le rayon pourra être regardé comme celui d’une sphère. Les sphères ainsi obtenues seront plus intimement tangentes à la snrface considérée que toutes les autres ayant seulement leurs centres sur la normale, et le contact sera mieux établi, pour chacune d’elles, dans le sens de la section pour laquelle son rayon sera celui du cercle osculateur de cette section.

Si nous appliquons les considérations précédentes à l’ellipsoïde de révolution supposé convenir à la surface terrestre, nous verrons que parmi toutes les sphères osculutrices dans les divers sens, il en existe deux plus importantes que les autres, et dont la recherche analytique est assez simple. Ce sont celles dont les rayons sont ceux des cercles osculateurs au méridien et au perpendiculaire. L’un est le plus petit et l’autre le plus grand des rayons relatifs aux diverses sections planes passant par le point considéré. Chacune de ces sphères se confondant avec la surface de l’ellipsoïde pendant une certaine étendue, pourra être regardée comme contenant la surface d’un triangle géodésique. La sphère osculatrice dans le sens, du parallèle, constante pour toute l’étendue de ce parallèle , ayant dans tous les autres sens un contact plus intime que celle qui est osculatrice dans le sens du méridien, serait, pour la résolution des triangles, préférée à cette dernière. Son rayon est celui de la grande normale du parallèle.

Si tous les triangles du réseau géodésique se trouvaient sons le même parallèle, c’est-à-dire, s’ils avaient même latitude moyenne, il suilirail pour leur résolution de les considérer comme situés sur la sphère appartenant à cette latitude , et le calcul se ferait simplement comme nous l’avons indiqué pour l’hypothèse de la terre sphérique. Mais il n’en est pas ainsi, et situés sous des latitudes différentes, ils devront être regardés comme appartenant à des sphères de rayons différents. Ue là naîtrait une grande complication dans les calculs. 11 faudrait, en effet, après avoir réduit un côté en secondes, sur une sphère, calculer un deuxième côté comme appartenant à la même surface , puis rechercher la

CALCIL DES ANGLES.

nouvelle valeur en secondes de l’angle qu’il sous-tendrait au centre d’une seconde sphère convenable pour la résolution du triangle suivant, c’est-à-dire, multiplier la première valeur par le rapport inverse des rayons. Ceux-ci dépendant des latitudes moyennes des deux triangles, on voit qu’il aurait clé nécessaire d'effectuer d’abord un calcul approximatif de ces latitudes , en supposant tous les triangles situés sur la même sphère.

Pour éviter les complications du calcul résultant de la variation des rayons des sphères, on a proposé deux moyens. Nous d rons d'abord quelques mots du procédé de üelambre, parce qu'il a été employé dans la mesure de l’arc du méridien de Dunkerque à Perpignan qui a servi à déterminer le mètre.

Ce procédé substitue à la résolution du triangle sphérique celle du triangle rectiligne formé par les cordes des arcs qui déterminent le premier.

Soient o, b, c les longueurs métriques de ces côtés, a', b', c' les cordes correspondantes. U est évident que si r désigne le rayon de la sphère qui peut être regardée comme contenant le

triangle, on a a' — 2r sin.î et de même pour b et c'. L'angle " étant toujours très-petit en géodésie, ou peut écrire cr> =^r — ï3"s7^)> ‘l’où ® — a' = 5^. Le côté du triangle rectiligne substitué variera en réalité avec le rayon de la sphère substituable à l’ellipsoïde, c’est-à-dire, variera suivant qu’on le considérera comme appartenant à un premier triangle ou à un second, mais cela assez peu, en raison de la forme do la fonction, pour qu’on puisse regarder le rayon comme constant, ce qui n’avait pas lieu dans le premier procédé indiqué. On évitera donc ainsi les complications du calcul qui résultaientdc cette variation durayon.

Si A, B, C désignent les angles du triangle sphérique. A', U', C 06UX du triangle des cordes, les premiers seront les réductions, à l’horizon, des seconds dont les côtés auront des inclinaisons

pourra donc déterminer A', B',C' par la formuledu

S 402, formule qui renferme, il est vrai,les angles “ dont deux

sont inconnus dans la résolution des triangles géodésiques, mois qui, en raison de la petitesse de la correction , n'exige que la connaissance approchée de ces angles. Celte connaissance approchée s’obtiendra par une première résolution du triangle considéré comme plan , et par l’emploi d’une valeur approchée et

constante de r. Aa moyen des données A, B, C, b, il sera donc possible de trouver A', B’, C', b', et par suite de calculera' et c ,

qui feront connaître a et e par la formule o = o' + dans dans laquelle on remplacera, sans erreur sensible, la correelion