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La dernière méthode proposée, de beaucoup préférable, et la • seule en usage actuellement, substitue au triangle sphérique un triangle rectiligne ayant mêmes longueurs de côtés ; elle a, comme la première, l’avantage de ne pas exiger la connaissance exacte du rayon de la sphère.

Elle s'appuie sur un théorème dont nous-allons donner la démonstration.

407. Théorème de Legendre. Lorsque les eôtés d’un triangle sphérique sont très-petits par rapport au rayon de la sphère, on peut le résoudre comme un triangle rectiligne dont les côtés ont même longueur, et dont les angles sont respectivement égaux à ceux du triangle sphérique, diminués chacun du tiers de l’excès sphérique. Les quantités que l’on néglige dans ce cas (car l’énoncé n’est pas rigoureusement exact) ne sont que du quatrième ordre, relativement aux fractions qui représentent les rapports des côtés du triangle au rayon de la sphère.

Soient A, B, C, a, b, c, les éléments do triangle à résoudre ; A', B', C', a, b, c, ceux du triangle qu’on veut lui substituer; il s'agit de trouver les dilTérences qui existent entre A et A', B et B', C et C'. Désignons-les par x, x' x', et nous aurons A—A'-\-x,

d’où £os.A«*co5. (A' 4"^) “fos.A'cos.i — sin.A' fin *.

La différence x étant très-petite, comme nous aurons occasion de le reconnaître par la suite de la démonstration, nous pourrons, en remplaçant sin. x et cosin. x par leurs développements en séries, négliger les termes contenant des puissances de x supérieures à la première, il en résultera

cos. A=cos A' — X sin. A'.

Si maintenant nous supposons menés, du centre de la sphère, les rayons qui aboutissent aux sommets A, B, C, ils perceront unesphère concentrique à la première et d’un rayon égal à l’unité, en trois points, qui formeront un triangle semblable au triangle donné : désignons ses côtés par et, P, y, qui ne sont autre chose que

~ et ses angles par les mêmes lettres A, B, C ; puisqu’ils

TflÉORÊme DE LEGENDRE.

Eont formés par les mêmes plans qui déterminent ceux du tri> angle tracé sur la surface du globe.

Nous aurons dans ce nouveau triangle

cos a = cos yS COS.Y+ sin./S sin.Y cos.A.

Les rapports que représentent a, P, sont très-petits : nous aurons donc une exactitude plus que suffisante en conservant les quatre premières puissances dans les développements de leurs lignes trigonométriques ; il viendra ainsi, en mettant en évidence les côtés donnés a, 6, c,

ou, en effectuant les multiplications indiquées et ne conservant que les termes du quatrième ordre.