colang.B — cotang

On sait que sin. (A — B) = sin.A. Cos.B — sin.B. Cos. A, par conséquent

Donc enfin.

sin. (A — B) sin. A sin. B

colang.B — colang.A.

«* — <r« sin. .A sin.B C.;* ^ sin.(.A — B)

et,

Nous voici parA'enus à une valeur de x en fonction de quatre éléments du triangle sphérique : ce que nous nous proposons actuellement , c’est de faire voir que cette expression représente le tiers de la surface du triangle proposé.

Soit T celle du triangle rectiligne; nous savons que T = i sin.A'; d’ailleurs

b «in.B' lin.B' , c. sinB'

c“ sio.C'“ sin.(A'+B') “ •in.(A' + B)

, e* sin. A'sin.B' ^ “• r»8in.(A+B')

on tire

“ : * : ^ sin.A' : sin.B' : sin.C',

. sin.» A' - sm.* B' ; sin.» C'

ou encore a*—b*\c*\ \ sin.A'— sin^' ; sin.* (A'+B')

par conséquent

»in.« (A'+BQ

ci»(n« — &«)■ ' ' V T ',=(a*-b*)

'■ ' sm.* A'— sm.*B' ' ' sin. (A'

(A' + B')sin. (A'— B') '

sin. (A'+Bi) sin. (.V — B')’

Il résulte de là , en introduisant cette valeur de c* dans celle de T, que

T— 1 sin.A*. sin.B'

»•* • sin. {A' — B')’

A cela près que A' et B' remplacent A et B, on voit que la valeur de T est le triple de celle trouvée précédemment pour x, et si l’on remarque que les sinus de ces angles diffèrent très-peu, puisque les angles cux-mèines sont égaux à quelques secondes près ; qu’en outre, ils sont et dans T et dans x, multipliés par la

différence des carrés des forts petits rapports ^ et - , on pourra

dire que l’expression de la surface du triangle rectiligne est aussi celle du triangle sphérique, etqu’ainsi x en est le tiers; mais nous savons fn“ 56) que la surface du triangle sphérique = A + B-f-C— (A' + B'-f C).

D’ailleurs, parce que nous venons de trouver A B -4- C — (A' -|- B' -I- C') = ix+x' et 2j= I surface du triangle , il suit que x" = î surface triangle =r x = C — C*'.

409. Supposons que l’on oit recueilli, sur le terrain, tous les éléments des formules de réduction que nous avons démontrées : voici quelle est la marche des calculs.

I.JI réduction des angles à l’horizon se fait au moyen des deux tables dont nous avons parle,

CORBECTION DBS ANGLES.

Poar la réduction an centre, ont est obligé de calculer les côtés qui entrent aux dénominateurs des termes do la correction. Ceci supposant les angles connus semblerait indiquer un cercle vicieux: mais, comme il sufflt d'avoir ces côtés d’une manière aiv prochée, on se sert des angles observés que l’on réduit à valoir 200* les trois, en retranchant de chacun le tiers de l’excédant; pois on les calcule provisoirement d’après la relation des côtés proportionnels aux sinus des angles opposés. Dans ces calculs provisoires, on prend les logarithmes à & ou 5 décimales pour le premier ordre, et à 3 seulement pour le second et le troisième. On peut même se contenter de la longueur approximative des côtés fournis par un canevas fait avec soin.

On passe ensuite aux calculs de réduction au centre pour lesquels on peut employer différentes méthodes. Ce sera à l’aide des tables logarithmes, ou avec des tables analogues à celles de réduction à l’horizon, ou d’une manière graphique au moyen d’une figure imaginée par le colonel Epailly, ou enfin assez simplement, au moyen d’une tahle de logarithmes à 3 décimales en une feuille : elle contient les logarithmes des sinus de 0» à 100» diminués de celui de sin.l" ; puis ceux des nombres naturels de 0 à &00, qui peuvent appartenir à des nombres beaucoup plus grands, en mettant la caractéristique convenable. Celte table préparée par M. le commandant Poudra nous parait être ce qu’il y a de plus commode.

Les angles étant corrigés, on fait leur somme pour chaque triangle , et l’on retranche de chacun le tiers de l'excédant sur 200*. Do cette manière, l'erreur d’observation est comprise implicitement dans la quantité qu’on retranche de chaque anglo« Quand on veut connaître le degré de précision avec lequel on opère, on calcule à part l’excès sphérique qui a pour expression

^ dans laquelle on remplace c et A', quantités inconnues

en réalité, par la valeur du côté obtenu par le calcul des triangles provisoires, et par l'angle non corrigé A. Ces valeurs approchées, destinées à la recherche d’une quantité toujours très-petite, sont d’une exactitude plus que suffisante : on le compare à la quantité dont la somme des trois angles surpasse 200», et la dilTérence est l’erreur due aux observations.

Celle-ci dépend de l’imperfection des instruments, de l’incertitude du pointé et de la lecture, enfin, de quelque inexactitude

4i0 CliODÉSIE.

dans les éléments de réduction. Elle est, au surplus, toujours peu considérable.

Ayant les angles corrigés, ou calcule les côtés définitif en partant de la base connue ; on prend les logarithmes avec 7 décimales pour le premier et le deuxième ordre , et à 5 pour le troisième.

On voit, qu’ainsi que nous l’avons annoncé, cette manière de résoudre les triangles géodésiques a l’avantage d'étre indépendante du rayon de la sphère qui contient le triangle ; en sorte qu’elle est également applicable à la forme de la terre, que celleci soit sphérique, ellipsoidale ou même irrégulière, pourvu, toutefois, que les côtés soient toujours petits par rapport au rayon de la sphère dans le premier cas, ou par rapport aux rayons de courbure du lieu du triangle dans les deux autres cas. L’excès

sphérique même ne figure pas directement dans la

correction des angles, n’exige pas , en effet , qu’on connaisse rigoureusement la valeur de r pour laquelle il sufllt de mettre une valeur approchée.

Dans les triangles du troisième ordre on ne connaît que deux angles, et par conséquent, on ne peut pas opérer comme il vient d’être dit. Presque toujours, cette espèce de triangles sert à trouver les points les moins importants. On se contente alors de les résoudre à la manière des triangles rectilignes sans apporter de réduction aux angles; cela a d'autant moins d’inconvénient que leurs côtés étant petits , ils diffèrent très-peu de triangles rectilignes. Mais dans certains cas, comme dans la mesure d’une méridienne, on peut avoir à résoudre des triangles très-importants, et ayant de grands côtés dans lesquels on n'a observé que les deux anglesà la base. Alors, on calcule directement l’excès sphérique, et on en retranche le tiers de chacun des angles mesurés, laissant ainsi à chacun d’eux l’erreur d’observation intacte.

Il ne faut pas croire que la différence d’exactitude des deux procédés soit considérable. Désignons par «, P, f, les erreurs commises dans la mesure des angles A, B. C. Chaque angle du triangle plan substitué sera entaché d’une erreur de la forme

a — dans la résolution du premier ordre. Le maximum

de cette erreur répondant à p et y de lignes contraires à celui d’«, peut aller à j « en regardant a comme la limite possible.

Dans le troisième ordre , l’erreur sur le troisième angle est égale «-I-Y dont le maximum est

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