CORRECTION DES ANGLES
Sans entrer dans de plus longs détails sur l’influence de ces erreurs dans la résolution de la formule qui doit donner les côtés, on voit pourtant, par la comparaison des maxima d’erreurs possibles ; a et que les obsersations du premier ordre ne semblent pas offrir un grand avantage sur celles du troisième, quoique cet avantage existe néanmoins. Remarquons pourtant ' que, pour qu’il en soit ainsi, il faut que les deux angles du troisième ordre soient corrigés chacun du tiers de l’excès qui ne peut s’obtenir que par un ealcul direct qui, appliqué à un grand nombre de triangles, augmente beaucoup le travail. Remarquons encore que les observations du troisième ordre pourraient être entachées de grossières erreurs, sans que rien en prévint l’observateur, ce qui ne peutavoir lieu pour le premier ordre, la somme des trois angles devant toujours différer très-peu de 200*, et même cette somme pouvant être calculée, ce que ne permet pas la seule observation des deux angles à la base.
Nous verrons pourtant que la résolution des triangles du troisième ordre a été employée forcément dans les opérations géodésiques fondamentales, celles qui ont servi à la mesure du méridien ; mais alors on a réduit l’erreur à sa limite 2> par le calcul direct de l’excès sphérique, et l’importance de a a été diminuée par une excessive rigueur dans les opérations.
410. Nous avons résolu graphiquement en topographie, n°* 99 et suivants, un problème qui a pour but la détermination d’un point au moyen de trois autres : ce problème se présentant aussi parfois en géodésie, nous allons en donner la solution analytique.
Soit ABCD ou quadrilatère dans lequel on veut déterminer la position de D {/ig. 299) connaissant les trois côtés a, b, c, et les angles a et ^ observés en D. Deux voies conduisent également au résultat : on peut chercher les angles x et y, puis résoudre les deux triangles ACD, BCD pour obtenir les côt& AD, BD, CD, ou bien chercher directement ces côtés.
Les deux triangles ACD, BCD, donnent deux valeurs du côté commun CD : les égalant, il vient
b.<in.x <2. sin.u , .
— : — ;r-= — : — ~ ou O siD.a Bin.xaeasin.Q sin.v. (t)
iin.p sin « P » ' /
La somme des quatre angles du quadrilatère est égale à 400* : on a donc
»+3 + T + * + y-*oo« et 5,=.|oo(a + p-l-y)-i
«, P et Y sont connus : faisons 400 — -f- p + y) = 8, nous au-
rons j/ = 8 — æ (2), valeur qui, substituée dans l’équation (1), la transformera en la suivante
ou
b sin a sin.x — o sin.p sin,(J‘ — ar) o A.sin.ï ain.x — a ain.p lin./ coa.« 4*o >>».p coa./ ain.SB< o
puis, en divisant par sin.x
de là
b. aiii.i — a ain.p sin. J colang.* + a sin. P fos,/ «•
coting.x
b sin.fi-t-a sin. 3 roa.J' a sin.yS sin.iT
cotang./ 4-
b ain.a a sin. P sin./
et enfin, en mettant cotang.8en facteur commun
(•olnng.XT-colang./ ^14 — . j
\ a 5in./9 CO», r/
En suivant une marche analogue, on trouvera
/ . . n sin. 3 \
rolang.y ^colaiig./ I a 4- T": ^ — ri
® “ V ' 4 sin.» COB./ /
Il suffira pour cela de remplacer dans (1), sin. x par sa valeur sin. (8 — y), fondée sur l’équation (2), qui d’abord avait donné y en fonction de x.
La seconde méthode donne les côtés, puis ensuite c’est en résolvant les triangles .\DC, BDC, que l’on détermine x y.
Si nous imaginons une circonférence passant par les trois points A, B, D, et si nous prolongeons la droite DC jusqu’à ce qu’elle coupc la circonférence en E, nous voyons que les angles E.VB, EDB, sont égaux comme ayant pour mesure commune la moitié de l’arc BE ; il en est de même de ADE, ABE.
Ainsi, dans le triangle ABE, on connaît le cété AB ou C, et les angles EAB ou «, EBA ou p, et en le résolvant, on trouve les côtés AE, BE. Ensuite on résout le triangle BEE, dans lequel sont connus BC, BE, et l’angle compris p — B : et l’on connaît ainsi l’angle CEB ou DEB.
Des six éléments du triangle BDE, on a deux angles «, E ; puis le côté BE opposé à l’un d’eux ; donc on peut déterminer les trois autres qui sont l'angle y et les distances DB, DE. On aurait trouvé de la même manière l’angle x et les côtés DA, DE. Ce dernier, commun aux deux triangles, devient ainsi un moyen
PROJECTION DES POINTS. 443
de vérification. Si l’on en retranche enfin CE calculé précédemment, on a CD.
