CHAPITRE V

PROJECTION DES POINTS

411. Lorsque le réseau géodésique est complètement calculé, on n’a pas encore tous les éléments nécessaires pour assigner la place qu’occupent les sommets sur le globe. 11 faut connaître aussi les latitude et longitude d'un point de départ et l’aEimut J’nn premier cété, c’est-à-dire l’angle qu’il fait avec le méridien qui passe par l’une de ses extrémités.

L’observation astronomique de ces trois éléments suffirait à la rigueur; car, ayant placé exactement la base, on pourrait, connaissant la longueur des côtés, rapporter tous les autres points par les intersections successives d’arcs de cercles ; mais d’abord ce moyen devrait être rejeté, quand bien même la terre serait plane, à cause de l’accumulation successive des erreurs : à plus forte raison quand le réseau est d’urte grande étendue, pnisqu’alors il embrasse une calotte sphérique qui n’est pas développable. On place les points isolément, soit par leurs distances à la méridienne et à la perpendiculaire, soit par leurs latitudes et longitudes. Pour employer ce dernier moyen, adopté aujourd’hui pour la nouvelle carte de France, il faut déduire les latitudes et longitudes de tous les points du réseau de celles d’un premier point et de Fazimut de l’un des côtés. Bientôt nous donnerons les formules nécessaires à la résolution de ce problème; mais, en attendant, nous pouvons faire voir ici que, si la terre était sphérique, la question se réduirait à la résolution d’un triangle.

Soit .\B (fig. 300) la base, on connaît par l’observation la latitude AA' et par suite son complément AP, l’arc AB, et l’azimut on l’angle PAB = Z — 200*. En résolvant donc le triangle PAB, on déterminera, au moyen des anologies de Neper, les deux angles B et P. Le premier est le supplément à l’azimut de AB par rapport an méridien de B, le second n’est autre chose que la différence en longitude mesurée par A'B'. Enfin la proportion des quatre sinus fournit BP complément de la latitude de B.

A l’aide du nouvel azimut et des éléments du triangle suivant, on arrivera de même aux latitude et longitude d’un troisième point, et ainsi de suite. Les choses ne se passent pas aussi simplement sur le sphéroïde terrestre, et nécessitent des formules dont la recherche est beaucoup plus compliquée.

Lorsqu’on connaît ainsi les coordonnées qui précisent la position des points sur la terre, il faut, pour pouvoir les uliliser à la confection de la carte, imaginer le globe divisé pa<* certaines lignes principales, adopter une hypothèse en vertu de laquelle on les projette sur un plan et rapporter les points sur cette projection.

Parmi tous les systèmes de projection imaginés jusqu’à ce jour, noos allons parler de deux des principaux: celui que CaSsini avait adopté pour sa carte de France, et celui de Flamstcad modifié et employé au Dépôt général de la guerre, pour la confection de la nouvelle carte (Voir, pour plus de détails, le ch. X, qui traite des projections, n” 462 et suivants).

412. Dans la projection de Cassini, on imagine le méridien principal SN (fig. 301), partagé en parties égales : par chaque point de division et par le diamètre OE, on fait passer des plans perpendiculaires à celui de SN. On divise de môme le grand cercle OE qui passe par le point P milieu de la surface à représenter, et par chaque point on mène des plans parallèles à celui de SN. Alore tous les points d’intersection tels que M peuvent être déterminés par les deux coordonnées MA, AP, que l’on désigne sous le nom de distances à la méridienne et à la perpendiculaire. La première de ces distances MA est réellement la distance à la méridienne ; mais la seconde a été improprement appelée distance à la perpendiculaire. Cette dernière devrait en effet être mesurée sur un arc de grand cercle passant par M et perpendiculaire à OPM, et nous savons qu’elle serait plus petite que l’arc de petit cercle MN qui est lui-même plus petit que l’ordonnée employée AP. Dans la projection, on développe la méridienne SN et la perpendiculaire OE en lignes droites, suivant S’N', O'E' (/îÿ. 302). Sur chacune de ces lignes, on porte des degrés respectivement égaux à ceux du globe, et par les points de division on trace des parallèles aux projections de lu méridienne et de la perpendiculaire : ces parallèles sont considérées comme projections des arcs de cercles.

Le point M' correspondant à M, a pour coordonnées rectangulaires A'M', A'P'. Si, par exemple, le méridien principal et l’é-

PROJECTION DES POINTS. 4-iS

quateuT sont divisés de grade en grade, c’est-à-dire si les divisions ont 100 mille mètres, les coordonnées de M' seront lOOGOO" et 300000”.

Les quadrilatères curvilignes de la terre, dont les dimensions E'O* sont constantes, mais dont les côtés N'*S‘' vont en diminuant à mesure qu’on s’éloigne du méridien principal, sont représentés, sur la projection, par des carrés; de'sorte que les longueurs E.O, toujours exactes, répondent à des longueurs N.S trop grandes. Il en résulte que la déformation a lieu dans le sens du nord au sud, d’une manière d’autant plus sensible qu’on s’éloigne davantage du méridien principal. Ce système de projection sera donc avantageux pour la représentation des pays qui s’étendent dans le sens du méridien plus que dans celui du parallèle. C'est cette raison qui a décidé CaSsini à l’employer pour sa carte de France.

Observons, à l’avantage de ce système de projection, que les angles dçs figures développées sont droits comme ceux des figures qu’ils représentent.

Pour utiliser les observations géodésiques et les calculs qui en sout la conséquence, il faut savoir trouver les distances à la méridienne et à sa perpendiculaire ou fonction des angles et des côtés des triangles.

Soient (/îp. 302 bis) O l'origine des coordonnées, A un point séparé de cette origine par un arc de cercle b. Menant par ce point un grand cercle perpendiculaire au méridien principal OH, les deux coordonnées cherchées seront AH et OH. La résolution du triangle rectangle. OHA sera possible, si l’on connaît l’angle x supplément à 400* de l’azimut du côté OA sur le méridien du point 0. En opérant par la méthode de Legendre, il faudra d’abord chercher l’excès sphérique donné très-approximativement par

Le triangle plan substitué au triangle sphérique rectangle aura alors pour éléments connus

OA— 6, U' = t00«— le, 0'=:-le. A' = 10 - - s -f } e.

Les deux coordonnées, que nous désignerons par x et y, seront données par les formules

OH

jr —

!•(».(; - 1 sj

rns.' ( ’

. 9in.(e-l t) . ro«.l I

44C GÉODÉSIE

Cette méthode serait fort longue à employer, aussi les géo> graphes la simplilient-ils, en opérant de la manière suivante. L’excès sphérique E est toujours très-petit ; si on en néglige la valeur, les expressions de x et y deviennent

a-=«écos.; ÿ=>isia.x

OU, en introduisant l’azimut Z = 400 — z compté toujours de o à 400' en partant du sud du méridien et se dirigeant vers l’ouest,

X t cos.Z, y = — 4 sin Z.

Les signes des seconds membres se rapportent à la figure qui a supposé les coordonnées positives au sud et à l’est. L'usage est de laisser les signes 4- en évidence et de prendre

xcB:6coà.Z, y 2* sin. Z

auquel cas, l’x restant positif au sud, l’y positif passera à l’ouest ilia. 303).

II s’agit ensuite de trouver les coordonnées x', y' d’un second point N séparé du premier par une longueur de cèté b' incliné sur le premier P'M' (fia. 303) d’un angle observé P'M'N. Il est évident qu’on a

x't=x4-fi^i y' = y— M"R.

Mais en désignant par Z' l’azimut du nouveau cdté M''N au méridien du point connu M''

BN = 4' sin.NM''R = 4'sin.(Z' — 300*)=- i'.cos.Z'

RM»-»4' fos.NM 'R = 6'cos.(Z' — 300')>=— b'. sin.Z'

par suite

*/ = x-j- C0S.7.' y' c= y 4- A sin Z'

expressions de même forme que celles qui ont donné' les premières coordonnées.

11 ne reste plus qu'à former l’azimut Z'. L’inspection de la figure fait voir que

Z' « *00» - Si'M'iN =. *00» - (S"M"P'-NM"P')

mais S"M''P'=200— Z, et NM"P' est l’angle observé M ': on peut • donc écrire

Remarquons, en terminant ce qui a trait à la projection de Cassini, que cette manière de la simplifier revient en définitive, par la suppression successive de tous les excès sphériques, à con-

PROJECTION DES POINTS

sidérer la terre comme plane, ce qui supprime les hypothèses mêmes sur lesquelles est basé ce système de projection. Observons en efTet que dans cette simplification nous n'avons nullement fait intervenir le rayon terrestre.

413. Pour la nouvelle carte de la France, on s’est servi (Tune projection plus exacte: celle de Flamslead modifiée. Voici en quoi elle consiste : on suppose l’équateur et le méridien principal divisés en parties égales ; on imagine des méridiens passant par tous les points de division de l’équateur, et des parallèles à l’équateur par toutes les divisions du méridien principal. Pour en avoir la projection, on trace sur le papier le grand axe ex qui représente le méridien principal rectifié. D’un point C de cette droite comme centre et d’un rayon égal à la cotangente du parallèle moyen de la partie du globe que l’on veut décrire, de celui du 50° grade, par exemple, s’il s’agit de la France, on décrit une portion de circonférence BAE. Tous les autres parallèles sont représentés par des arcs concentriques décrits du même point C, à une distance l’un de l’autre égale à la partie rectifiée du méridien comprise entre ces parallèles sur la terre : on prend ensuite, sur chacun des parallèles, les degrés de longitude> tels que les donne la loi de décroissement de l’équateur aux pèles, c’est-à-dirq proportionnels aux rayons de ces parallèles ou au cosinus de leurs latitudes. Enfin, on fait passer, par chaque série de points correspondants, une ligne courbe qui représente un méridien, et tous les autres s’obtiennent de la même manière.

Nous renvoyons au S 503 les développements relatifs aux modifications rendues nécessaires par la forme ellipsoïdale delà terre, que nous avons supposée sphérique dans les explications précédentes , et que nous supposerons telle encore dans le cas actuel.

Soit A (fig. 305) un point dont la latitude est 60», et AC une tangente au méridien MP passant par ce point : AC est évidemment la tangente de l’arc AP, complément de la latitude : elle est donc la cotangente qui, comme nous l’avons dit plus haut, doit être le rayon de la projection du parallèle moyen. Dans le cas particulier que nous considérons, elle est égale au rayon de la terre, puisque, dans le triangle AOC rectangle en A, l’angle O étant de 50', l’angle C lui est égal.

La même figure fait voir encore que le rayon FD d’un parallèle

GÉODftSIB.

quelconque sur le globe n’est autre chose que le cosinus de sa latitude. Enfin, AF étant rectifié sur AC, le point F vient en F^, et CF' est le rayon de la projection de ce parallèle.

Dans la pratique, il est souvént impossible de tracer ces arcs de cercle d’une manière continue. Ainsi, le rayon de la terre supposée sphérique étant 6366198'°, pour une carte de la France à l’échelle de 0,00001, le rayon du parallèle moyen est égal à 63'”,662. Afin de remédier à cet inconvénient, on a imaginé de calculer, pour chaque parallèle, la position sur le plan de projection d’une suite de points également espacés, et assez rapprochés pour que le petit arc compris entre deux points consécutifs puisse être sans erreur sensible, cogsidéré comme une droite. On rapporte cette position aux axes CX et CY {fig. 304J. Le premier est le méridien principal , le second est une droite perpendiculaire passant par le centre commun C.

Proposons-nous de déterminer la position d’un point tel que F, en supposant la terre sphérique et sa circonférence égale à 40 ' millions de mètres.

Soient.Il = 6366198'” le rayon de la terre.

I., la latitude du parallèle moyen UAE que, pour généraliser la question, nous ne supposerons pas celui de 50», mais quelconque, l, la latitude du parallèle FDK,

P, la longitude du point F.

Cherchons CG, FG ou xel ÿ en fonction de P et de l, longitude et latitude de F. On a, en désignant l’angle FCG par o,

J' = CF. cosa, ÿaCK. sin.a.

Mais CF — CD— CA-AD — R colang.L-AD.

AD est le développement de l’arc l — L du méridien , compris entre le parallèle moyen et le parallèle FDK. Cet arc sera évalué en mètres, d’après la relation, 1 grade en latitude = 100000 mètres.

En appelant M le nombre de mètres contenus dans AD , nous aurons

CF = R colapg.L — U

Pour déterminer l’angle <t* correspondant à une longitude sur le parallèle qui a pour latitude l, nous ferons remarquer qu’un arc quelconque de ce parallèle est dans le développement représenté par un autre arc de même longueur, mais de rayon diffé-

PROJECTION DBS POINTS.

rcnl, et qu’ainsi les amplitudes de ces arcs sont en raison inverse des rayons (*) : or, l'arc du parallèle qui contient un nombre de grades marqué par P, a pour rayon K cos.i. L’arc du développement qui a même longueur et qui contient un nombre de grades désigné par «, a pour rayon K. cotang.L — M : donc on a la proportion

R coUDg.L — M ; R cos./ : : P : a d’oÙ a — P= —

R. colaog.L — M

Substituons les valeurs de CF et de « dans celles de ur et de 1/ et nous aurons

, ,,, P.R. cos./

i={R colang.L— M) cos. — : ; ^

' ' ‘ Rcol.ing.L — M

. P.R. cos./

«=(R cotang.L-M) sm. BVolang.L^

Réciproquement, connaissant les coordonnées x et y de la position sur le plan de projection d’un point F, il serait facile de

trouver sa latitude et sa longitude : car on a CF = CD = •-

et l’angle <t peut être déterminé par la relation tang. * =

Ensuite, on a Mou CA — Cn = Rcolang. L — ^ qui, converti

eu arc, au moyen de ce que l* vaut 100000"’, fera connaître la différence de la latitude entre le parallèle moyen et celui sur lequel se trouve le point considéré, et par suite la latitude de ce point.

Enfin, tirant la valeur de P de l’équation “=P

nous aurons P = «i ** — M connu dans le second

R. cos./

membre.

L’inspection de la figure 404, construite d’après les indications qui viennent d’être données, fait voir que les arcs comptés sur le

(') Les arcs DF, AB (/ig.ZOS} sont supjtos^s de même longueur : nous roulons faire voir que les angles qu'il.s sous-teuileiit sotil en raison inverse des rayons. D’abord AB ; DE " AC ; CD; on a aussi DF ; DE X DCF ; DCE.

D'ailleurs AB=.DF, donc AB 1 DE ** DCF ; DCE, el, à cause du ra|>port commun, DCF ; DCE " AC t CD.

Les angles DCF,DCE étant mesurés parles arcs AB,DF, il s'ensuit que le nombre des grades compris dans chacun de ces arcs ou leurs amplitudes sont en raison inverse des rayons aver lesquels ils sont décrits.

GKODI-'SIK.

méridien principal et snr le parallèle moyen ont même longueur que sur la terre, mais qu'il n’en est plus de même si l'on compare les mêmes arcs pris sur deux lignes autres que les deux principales. Les arcs de parallèles tels que Kl , EH conservent bien les mêmes dimensions que sur la terre, mais les arcs de méridiens correspondants KE, III sont augmentés. Cette augmentation, d'autant plus sensible, dans le sens du nord au sud, qu’on s’éloigne dans le sens de l’est à l’ouest, produit un inconvénient, analogue à celui de la projection de Cassini. Un autre inconvénient de ce système résulte de la déformation des angles des quadrilatères terrestres qui, rectangulaires, sont représentés par des quadrilatères tels que KIHE dont leà angles s’éloignent de 100e d’autant plus qu’on est loin du méridien principal.

En regard de ces inconvénients, citons un avantage que la projection modinéc de Flainslead ne partage qu'avec la projection homalographique de M. Uabinct et avec celle de Lorgna : les surfaces conservent leur étendue réelle. En effet, si on regarde le quadrilatère plan KIHE comme élémentaire, c’est-à-dire, comme formé par des côtés infiniment petits, l’expression de sii surface sera

IK -f- HE

-f-AD

Ces trois lignes IK,HE, AD ont même longueur que sur la terre. Si l’on imagine le quadrilatère sphérique correspondant, on pourra le regarder comme entièrement situé dans son plan tangent, et le Irailcr comme plan. Dans ce cas, l’expression de sa surface sera précisément celle que nous venons de voir représenter le quadrilatère du développement. Les deux surfaces finies composées des mêmes surfaces élémentaires égales seront donc égales elles-mêmes.

Les valeurs des coordonnées x cly dos points d’intersection de tous les méridiens et parallèles de décigrades en décigrades ont été calculées cl mises sous forme de table par Plcfisis. Elle fournil donc le moyen de passer des latitudes et longitudes aux distances à la méridienne et à la perpendiculaire, et cela en tenant compte de l’aplatissement j^, et non, comme nous l’avons fait dans la théorie précédente, en supposant la terre sphérique.

Pour placer sur la projection un point O qui tomberait dans l’un des quadrilatères AlKiD {fig. 807) dont les sommets ont été déterminés au moyen des tables, il sullit, dans la marche que nous nous sommes tracée, d’exécuter une double interpolation

PROiECTIOM DES POINTS.

graphique; ainsi, par exemple, soient pour le point 0, latitu(ie=;: 50S0B36" ; longitudes 0',0B20 ; on prendra sur AC et BD, considérés comme unités, des parties DE, CF, proportionnelles à 0,530 , on joindra les points F et E , G et H , et l’interseclioD O donnera la position du point d’une manière très-approcbée.

414. Il est un autre mode de développement plus simple, et qui, dans certains cas, pourrait être avantageusement employé.

Un système de méridiens et de parallèles également espacés divise la terre en une série de quadrilatères curvilignes égaux pour la môme latitude, mais variant avec celle-ci de forme et de dimension. Cette variation, considérable si l’on compare deux figures près du pôle et de l’équateur, devient beaucoup moins sensible si l’on se borne à considérer celles qui se rapportent à un pays de dimension moyenne. Remarquons encore que, si les méridiens et les parallèles sont sulfisamment rapprochés, les figures qu'ils déterminent sont près d’ètre planes.

Ceci posé, supposons cette division pour la France, par exemple, effectuée par des méridiens différant de 1» en longitude et par des parallèles différant de 40' en latitude, et remplaçons les quadrilatères qui en résulteront par des trapèzes dont les bases soient égales à la longueur du grade sous les deux latitudes suc. cessives, et dont la hauteur soit l’arc du méridien compris entre CCS deux latitudes. Nous apprendrons plus tard (§ 434) à trouver ces valeurs. Nous aurons ainsi, pour la série des trapèzes, compris entre les latitudes 54' et 55', des bases de 66366"’ et de 65174"’, et une hauteur de 40030”’ en nombres entiers. Ces dimensions sont à peu près celles du terrain représenté sur chaque feuille de la carte de France. Divisant ensuite ces lignes en parties proportionnelles, on aura la représentation des méridiens et des parallèles compris dans chaque feuille.

Les inconvénients de ce mode de développement résulteraient : .

1“ d’une très-légère variation dans la surface, variation d’autant plus petite que les quadrilatères seraient plus petits j 2" de la variation des angles qui tous également droits sur la terre seraient rendus d’autant plus aigus qu’on se rapprocherait du pôle. Cette déformation variable des angles ne permettrait pas de rassembler toutes les feuilles sur un môme plan sans intervalles vides ; aussi, ce système n’est-il applicable qu’aux carte-s topographiques. que leur étendue force à fractionner en feuilles séparées.

(;ÉonHsip..

'io'2

Ses avantages résulteraient de s<jD extrême simplicité qui s’applique aussi bien à la forme ellipsoidale qu’à la forme sphérique et de l’uniformité d’exactitude de toutes les parties.

Lorsqu'il s’agit du canevas géodesique destiné à une levée isolée, on doit tracer les méridiens et les parallèles comme nous venons de l’indiquer, mais on peut même, dans la plupart des cas, se contenter de calculer la minute du méridien moyen et celle du parallèle moyen, et s’en servir pour décrire une suite de rectangles destinés à remplacer les petits trapèzes courbes dont nous avons parlé. Les latitudes et les longitudes des sommets de triangles servent ensuite à rapporter ceux-ci par interpolation, ainsi qu’il a été expliqué à la Un du § 413.