CHAPITRE VI

NOTIONS DE CSOUfiTEIB ANALYTIQUE INDISPENSABLES A l’iNTELLI- GENCE DES FOEHULES DE LATITUDE ET DE LONGITUDE.

Hecherche de» équation» de la ligne droite, de» courbe» du second degré, et de la tangente et de la normale d l’ellipse.

415. Nous avons fait voir plus haut de quelle simplicité serait la recherche des formules de latitude et de longitude, si la terre était sphérique; mais sa forme n’est pas telle: le globe est un solide de révolution aplati vers les pôles. Il peut donc être considéré comme engendré par une ellipse tournant autour de son petit axe qui est la ligne des pôles. Ici , les normales aux trois sommets A, B, P [fig. 300) du triangle ne sc rencontrent plus en un même point; elles ne forment plus, comme dans la sphère, les trois arêtes d’une pyramide qui a pour ba.se le triangle, et son sommet au centre. Nous verrons plus tard que, pour arriver à la formule qui donne la latitude B en fonction de celle de A, il faut prendre en considération la normale et la sous-normale. Il faut donc chercher l’expression de ces lignes en fonction de quantités constantes et de la-latitude comme seule variable: de sorte, qu’en donnant toutes les valeurs possibles à la latitude, on obtienne les longueurs des normales et sous-normales correspondantes. Les constantes seront le grand et le petit axe de l’ellipse qui a engendré le globe terrestre, c’est-à-dire la ligne des pôles et le diamètre de l’équateur.

Cette recherche reposant sur la connaissance de la géométrie

NOTIONS DE GBOMÉTIUe ANALYIIOL'E. 4o,"

analytique, il est indispensabltde placer ici quelques notions de cette branche des malhématiquci.

L’analyse appliquée a pour but d'exprimer par des équations les positions respectives des points et des lignes , de manière à trouver toutes les relations qui peuvent exister entre eux, en combinant ces équations d’une manière convenable.

La géométrie analytique traite les questions relatives aux lignes et aux surfaces. Les premières seulement nous étant nécessaires, nous ne nous occuperons pas des autres. Lllc les considère situées dans l’espace ou dans un plan : nous n'envisagerons que cette dernière circonstance : car ce n’est point un cours d’analyse appliquée que nous faisons ici, et nous n’en parlons que comme d’une chose indispensable à l’intclligeucc de notre sujet.

Soient AX, AY, deux droites rectangulaires fixes et données dans un plan {fig. 308); M un point quelconque dont il s’agit de déterminer la position dans ce plan. Si de ce point on abaisse les perpendiculaires MP, MQ, il est clair que M sera fixé dès que l’on connaîtra les longueurs des deux cètés contigus AP, AQ, du rectangle APMQ, puisqu'il suffira de mener par les points P et Q parallèlement aux axes AX, AY, deux lignes dont l’intersection sera le point cherché M. Les distances mesurées sur AX sont les abscisses, et celles comptées sur AY les ordonnées : elles portent aussi le nom collectif de coordonnées. Enfin, le point A en est dit l’origine , parce que c'est à partir de ce point que se comptent les distances.

416. Equations d’un point. Le caractère de tout point considéré sur l’axe des y esix — o, puisque cette équation indique que la distance du point à cet axe est nulle. De même, tout point placé sur l’axe des x satisfait à iy=ro: donc, l’ensemble des deux équations x = o, y = o appartient à l’origine A des coordonnées; car, pour ce point seulement, elles ont lieu en même temps. En général, x = y = n considérées simultanément, caractérisent un point situé à une distance m de l’axe des y, cl n de celui des x. On les nomme les équations du point.

Les signes indiquent dans lequel des quatre angles sc trouve situé le point ; sans eux, les valeurs absolues m et n appartiendraient indilTéremment à quatre points placés symétriquement par rapport aux axes: en effet, x=tn exprime deux droites parallèles à l’axe des y situées l’une à sa droite, et l’autre à sa

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liKOtlEMfc.

gauche. y=n convient ôe nu'ioe à tous les points de deux parallèles à l’axe des abscisses : donc, l'ensemble de ces deux équations .serait iiidilTércininent résolu lorsque, pour le point cherché, on prendrait l une des quatre intersections des doux systèmes de parallèles [fig. 300).

C’est pour détruire toute incertitude à l’égard de la position des points, qu'on a établi une règle des signes conforme à celle qui est adoptée pour les sinus et les cosinus: les abscisses étant assimilées aux cosinus et les ordonnées aux sinus.

Les axes ne sont pas toujours rectangulaires ; quelquefois les questions que l’on traite obligent à passer d’un système de coordonnées rectangulaires, à un système de coordonnées obliques on réciproquement; mais les premières, qui donnent en général les équations les plus simples, .sont les seules que nous ayons besoin de considérer pour ce que nous nous proposons.

Pour compléter la théorie du point, cherchons l’expression analytique de lu distance entre deux points donnés dans un plan. Menons les ordonnées MP, M'P (fig. 310), de M et M', et lirons M'K parallèle à AX, le triangle rectangle MltM^ donne, en désignant par l) l’hypothéouse,

y»')» ^ (*'- j*)! OU D = t/ y'— y»)> 4-

Si l’un des points est situé à l’origine, de manière que ses coordonnées soient x"=o, y" = 01

L’équation ci-dessus devient D = Vy « + x ».

417. Équation d’une droite. Soit une droite BMM'M'' {fig. 311) indéfinie et située à volonté dans un plan. Prenons deux axes rectangulaires OX, OY dans ce plan : menons de düTérents points M, M', M' ', les ordonnées MP, M P', M''P", etc. Cela posé, désignant par b et c les quantités constantes OC, OB, nous aurons, pour l’un quelconque des points de la droite, pour M par exemple, deux triangles semblables MPB, COB desquels nous tirerons la proportion

MP ; BP ; ; (X) : BO, c’est-à-dire y ; e + x 6 ; c de là *

Dans le triangle rectangle l’CO, | exprime la Uuigente de i'an-

NOTIONS DE ÜEOMETIslK ANALYTIt'l'E. 4^00

gle en B, désignons cet angle iwr «, et su Jangenlc par a, nous aurons

Telle sera l'équation de la droite: car cette relation aura lieu entre les coordonnées 'd’un tout autre point, aussi bien qu’entre celles de M. Les constantes n et b déterminent la position de la droite, puisqu’elles précisent son inclinaison et un point C, par lequel elle doit passer.

L’équation ci-dessus est donc la représentation analytique de la droite, en ce sens que, si, au moyen de celle équation, on veut retrouver les dilTércnts points de la ligne, il sulllt de donnei à x une suite de valeurs que l’on porte de A en P, P', P", etc.: menant ensuite par ces derniers points des parallèles à .W, et prenant dessus des parties PM, P'M', P 'M", etc., égalesaux valeurs correspondantes de y tirées de l’équation (I), on aura ainsi la position d’autant de points qui tous appartiennent à la droite. Si elle doit passer par l’origine, l’équation, pour être satisfaite, quand on fait x = o, doit donner y=o, c’est-à-dire que b est nul, et que l’équation se réduit à y = nx.

Si, dans l’équation (1), on fait y =■ o, elle donne x= ■~'= : ce qui se vérifie de suite dans le triangle 0111’. qui fournil

OB ou X : OC : ; cos. « : sin. O et X = ; quant au signe

— , il indique que c’est à gauche de l’origine que la droite coujje Taxe des x.

Si Ton voulait exprimer que deux droites coupent l’axe des y en un même point, il faudrait dans les deux équations //=ax-f b, y = a'x-t-6', faire b=:b'. Si une droite est parallèle à Taxe' des X, a doit être nul, et l’équation se réduit à y = b; si elle est parallèle à Taxe des y, alors 6 = x o = x et x = BO = c.

Si les deux droites doivent se rencontrer au point C sur Taxe des X (fig. S12), il faut, en faisant y =o dans les deux équations, que les valeurs de x correspondantes soient égales. On a

d’une part ax -1- f» = o, de l’autre a'x + b' = o, d’où *=-. ou a’b

= o6'. C’est ce qu’on reconnaît, en elTcl, en considérant les deux triangles rectangles CÂB, CAB', de chacun desquels o peut déduire la valeur de CA.

Si enfin, l’on veut exprimer )(ue dcu'. «! cites sont parallèles, il faut que n = a\

I^KÜÜIJSIE.

Pour trouver l'angle que roriuent deux droites, remarquons que «'=a-|-M (fig. 313), donc

laog.M

, . , lang.a' — lang.a a' — a

Ung (a' — a)=-r-p- — = —

< -1- lang.a' lang.a 1 + ""

Ou trouve encore ici la condition pour que deux droites soient parallèles : puisque, dans ce cas, l’angle qu’elles font est nul, sa tangente nulle aussi et le numérateur de la fraction qui la représente, égal à zéro; c’est-à-dire a=a'.

Si les deux droites doivent être perpendiculaires, la tangente de l’inclinaison de l’une sur l’autre est inflnie, et pour cela il faut que le dénominateur soit nul ; que l’on ait aa' -|- 1 =z o ou

a' = — Dans ce cas, si la première équation est y =: ox -f b, il faut que celle de la seconde droite soit y =

418. Équation du cercle. Soit un cercle d’un rayon r quelconque (fig. 314) dont le centre est en 0. Désignant par p et q les coordonnées du centre, et par x et y celles d’un point M de la circonférence, nous aurons, en vertu de ce que nous avons vu plus haut, relativement à la distance entre deux points

Cette relation caractéri.sant tous les points de la circonférence, est l’équation du cercle. Elle devient plus simple quand on place l’origine au centre .• dans ce cas, p—o, q=o, et l’équation se réduit à r*=x*-|-y*.

Si l’on résout l’équation générale du cercle par rapport n x, il en résulte x=p± v »•*— (y— ÿ)» : pour que les valeurs dex soient réelles, il faut que r* — (y — p)’ ne soit pas négatif; à la limite r=y — q ou q — y et y = r + q et alors x = -f p. Quand y = q, l’expression sous le radical est la plus grande possible et les valeurs correspondantes de x sont un maximum et un minimum de la forme x = p-j-retx = p — r: c’est ce qui a lieu pour les points D et D' situés sur la parallèle à l'axe des X passant par le centre. Si l’on avait résolu par rapport à y, on aurait trouvé y = qrt i/ (i— p}' ; à x=p correspondent y = q-f r et y = q — r. Ces ordonnées sont celles des points E, E'.

Quand il s’agit de savoir où le cercle coupe l’axe des x et celui des y, il faut, dans l’équation, faire, successivement y=o et x=o. Par la première supposition, il vient r*-qK Cette ex-

NOTIONS DE GÉOHÉTKIE ANALYTIUUE. 4B7

pression donne deux valeurs de x, lorsque le radical n’cxprinie pas une quantité imaginaire, c’est-à-dire quand r* — q* ou (r4 q) (r — q) est positif; cette condition n’est pas satisfaite dans la/ig. 314, mais elle l’est dans la fig. 315. Si c’est x que l’on égale à zéro, on trouve pour les ordonnées correspondantes y = q± \/ T*— P* = 9 ± V {r—p) (r-(-p). Ici, nous voyons encore que si r,

il n’existe pas de valeur réelle de y, ce qui exprime que la courbe ne rencontre pas l’axe des y, et c’est ce qui arrive fig. 314 et 315. Quand r>p, on a deux valeurs pour y. On voit {^g. 316^ que, lorsque le cercle rencontre les axes, les points d’intersection sont placés symétriquement par rapport aux points où les coordonnées du centre coupent les axes. •

419. Construction et équation de l'ellipse. Cette courbe jouit de cette propriété remarquable que, si l’on joint l’un quelconque de ses points à deux points fixes nommés foyers, et situés dans son intérieur, la somme des deux distances est une quantité constante.

Pour construire cette courbe d’après sa définition, prenons le milieu O {fig. 317) de la ligne qui unit les deux foyers FF , cl, à partir de ce point, portons la moitié de 2A, somme constante de deux rayons vecteurs tels que FM et F'M, de O en R et en R'. Ces points appartiendront à la courbe : en effet, il résulte de cette construction que RF' = R'F, et qu’ainsi,

RF»+RF=R-F-1-RF=RR'^ ÎA.

De même, si des points F et F' comme centres, on décrit avec un rayon égal à A, deux arcs, ils se couperont en deux points S et S', qui seront encore évidemment sur l’ellipse , puisque FS -f F'S = 2A et FS' -J- F'S' = 2A. S et S' sont paiement sur la perpendiculaire élevée par le milieu de RR'.

Pour obtenir des points intermédiaires, marquons sur RR', et entre F et F', un point quelconque L; puis, des foyers comme centres et avec des rayons égaux à RL et R'L, décrivons deux circonférences qui se coupent en M et m, nous aurons deux nouveaux points de la courbe, et ainsi de suite.

On peut encore décrire l’ellipse d’un mouvement continu, en fixant aux foyers les extrémités d’un fil dont la longueur égale 2A, et en faisant ensuite glisser un crayon qui tienne ce fil toujours tendu.

L’ellipse ainsi déterminée de forme, recherchons son équa-

CÈODKSIB

tioD, c’est-à-dire une relation entre les coordonnées de chacun de ses points rapportées à deux axes fixes.

Soient OP— *, MP — y . FP'«=SC, BR' = tA; FM=.i; F'Jt— s- Les équations de deux cercles, qui . ont leurs centres sur l'axe des en F et F à droite et à gauche de l’origine, seront, en leur donnant z et z' pour rayons

(1) ÿ«+(i-c)»=s> (2) v>-|-(j-l-e)=;* et do plus on a ï + i/-=2A (3)

Éliminons z et z' entre ces trois équations pour en avoir une seule qui, ne contenant que les variables x et ?/ et les constantes A et C, appartiendra à l’ellipse, puisqu’elle satisfera à tous les points tels que M.

Retranchant (2) de (1), il vient,

(4) 40 — i'*— ï*.= — *) d’où ï'

et en vertu de (3), j' — s=:^=r2^. Des somme et diffé- '

rence de ^ et 2', nous tirons ï = A —

l’une seulement nous sulfit.

Substituons la valeur de z dans (1) qui devient

yiq-x«+Ci — ÎO— A«-f ^ K* — 20;

Réduisant et chassant le dénominateur

A«y« + A’-r* + A»C» = A‘-f C«j-> ou Aaÿ*4.(A«— C«) ^* = A«{A»— C»)

Puisque FF'' ou 2C est plus petit que RR' ou 2A, il s'ensuit que A’ — est toujours positif, et si on le fait égal à B’, l’équation de l’ellipse dev ient enfin

aiyi 4. B«x* — A'B»

Le triangle F'COdans lequel l’hypothénuse égale A et F'0 = C

fait voir que CO=:B, puisque CF'— 0F' = OC ou A* — C* = B*.

Ou voit de suite que A et B sont les moitiés du grand et du petit axe, c’estr-à-dire les distances du centre au point où la courbe rencontre les axes des x et des y : car, en faisant y=o, il vient B^x* A^ B* OU — A* et X ± A. Cctte double valeur de x indique que les deux points d’intersection de la courbe avec l’axe des x sont placés symétriquement à droite et à gauche de l’origine.