NOTIONS DE GEOMÈTIIIE ANALYTIQUE

On tire une conséquence analogue de la supposition x — o, qui réduit l’équation à A* 1/^ = A* B-, d’où i/=ir±B.

En résolvant successivement l’éqiiation par rapport à y et à x, on voit que les plus grandes valeurs de ces coordonnées sont

= x = ±A: en effet, dans l’équation \jz=±— V a«— x»,

il faut, pourque y soit une quantité réelle, que le binôme sous le radical soit positif, c’est-à-dire que a; < A. La plus grande valeur que puisse prendre a: est donc ±:A, auquel cas y devient nul. On

voit de même, au moyen de x = ±: ^ qu’à x — o cor-

respondent pour y deux maxima positif et négatif qui sont

Si les deux axes de l’ellipse deviennent égaux, si l’on a A=B, l’équation devient A* i/*-f- A*x* = A^ ou y^ + x^=k'^ : ce qui indique que la courbe se réduit à un cercle dont le rayon égale A, et puisque l’on avait A* — 0^=9^, il faut que C = o, ou, en d’autres termes, que les deux foyers viennent se confondre avec le centre.

420. Construction de l’eUiçsepar points. L’équation de l’ellipse comparée à celle du cercle va nous fournir un moyen de construire cette courbe par points. Soient A et B ses demi-axes, et *

soit g-=«- Décrivons un cercle RN [jig. 317) avec le rayon A ; abaissons de l’un quelconque de scs points MI perpendiculaire à OR, et prenons enfin le point Q de telle sorte que n. En

désignant par x et j/ les coordonnées du cercle, et par x et y' celles de la courbe formée par la réunion d’une suite de points analogues à Q, nous aurons les deux équations

La seconde, qui représente la courbe, peut être mise sous la forme

ou B*x»=

puisque nrx:^. L’équation finale est précisément celle d’une

ellipse dont les demi-axes sont A et B. 11 suffira ionc, pour la construire, d’abaisser de différents points du ceicle décrit sur le grand axe, des perpendiculaii'es à cet axe, de diviser toutes les

GEODESIE.

ordonnées ainsi obtenues dans le rapport et de joindre les points qui en résultent par une courbe continue.

421. Équation d’une tangente à l’ellipse. Proposons-nous maintenant de mener une tangente à l’ellipse. Pour résoudre cette question, nous allons prendre l’équation d’une droite, la modifier de manière qu’elle exprime que la droite passe par deux points appartenant à la courbe, c’est-à-dire qu’elle est une sécante. Nous la rendrons ensuite tangente, en faisant confondre les deux points en un seul.

Soient y ax b l’équation de la droite,

x', y', jf, y", les coordonnées des deux points de l’ellipse.

Pour exprimer que la droite passe par ces deux points, il faut que l’on ait à la fois

j = yi ’^ax' •{- b, y'’ — ax’i-\-b

D’où l’on tire

y — y' = a(x — x'] cl y' — y" « a (x'— xO).

Cette dernière fournit la valeur de a qui, substituée dans la première, donne pour équation de la droite

Il faut deux conditions pour déterminer la position d’une droite. L'équation générale indiquait à quelle dislance de l’origine, la droite coupait l’axe des y, et quel angle elle formait avec l’axe des x. Dans l’équation (1), ces deux conditions sont remplacées par deux autres dont elles sont la conséquence, savoir : celle de passer par deux points déterminés de position. Pour exprimer aussi que l’ellipse passe par les deux points , il faut que son équation soit encore satisfaite, quand on y introduit les coordonnées x' y', x', y'' ; il faut donc que

A»y • -I- B»X'* — A«B» et A*y"* + B*x"« = A‘B»

De tà nous tirons, en retranchant la seconde de la première et en décomposant les différences de carrés en leurs facteurs

(ÿ*-y"«H-B« (x'*-x"«)-o, AVy'-y-') (y'+y ') + B«(x'-x' ) (x'-f 0 “ » d’où

En substituant cette valeur dans (l) , l’équation qui en résul-

NOTIONS DE GÉOMErniB ANALYTIQUE.

lera sera bien celle d’une sécante, puisqu’elle naîtra d’une combinaison des équations de la droite et de l’ellipse.

Celte équation sera

Supposons acluelleraent que les deux points se confondent en un seul, les coordonnées x' et x', y' et y‘, deviendront les mêmes, et ^2) se transformera en

Telle est l’équation de la tangente à l’ellipse ; on peut lui conserver celle forme ou la transformer ainsi qu’il suit : en chassant d’abord le dénominateur, on a

(y— y) x') ; A^yy*— A*y'* = — B*xx + B«x'« ; A«yy' + B«xx' — A*y'* + B*x* et enfin A«yy'+ B*xx'== A*B«

parce que A»y'« + B*x'« = A«B*

On trouve très-facilement l'équation de la tangente à l’ellipse au moyen des plus simples notions de calcul différentiel. La marehe en est si simple, que nous croyons pouvoir l’indiquer ici :

L’équation d’une tangente à une courbe quelconque, pour un point dont les coordonnées sont x' est y', et y — y' = ^(x — j-'). C’est de l’équation différenciée de la courbe que l’on tire la valeur de coefficient de x. Or, l'équation de l’ellipse est B’** = A*B*; différenciée elle donne

ÎA»yrfy-l-îB*x<Ix=«0 d’oÙ

et par conséquent en substituant , nous trouvons comme précédemment j/ — y = æ').

Équation d’une normale à'l'elUpse. S’il s’agit de mener par le point de tangence une droite perpendiculaire à la tangente, son équation sera de la forme y — y'= a' (x — x').

Mais nous avons vu que la condition que deux droites soient

perpendiculaires est «o'-t- 1— o ou o'^ or, l’équation de