C.ÉOnÉSIE

la tangente donne a = , donc a' z= et l’équation de la

normale est 2/ — y'=~^(x — x)'.

Équationx de la tangente et de la normale au cercle. Celte courbe n’étant qu’une circonstance particulière de l’ellipse pour laquelle A =: B= r, ou peut déduire ces deux équations de celles que nous venons do trouver, eu faisant disparaître les facteurs communs au numérateur et au dénominateur, on tes chercher directement, par une marche entièrement analogue à celle que nous avons employée.

Elles sont y — y'= (* — x') ou yy'-{- xx' — r*pour la tangente et ÿ — y' (x — x^) ou y = ^x pour la normale : ces

dernières conCrment ce que nous savons déjà, que les normales au cercle passent toutes par le centre, puisqu’on faisant *=o, on trouve j/ = o cl réciproquement.

422. Aulres sections coniques. Quoique l’on n’ait besoin de connaître que l’équation de l’ellipse et de sa normale pour résoudre les problèmes des latitudes cl longitudes, il nous parait convenable de dire ici quelques mots des deux autres courbes, la parabole et l’hyperbole. Ces courbes et l’ellipse sont le résultat de la section d’un cône par un plan. Le cône est un solide engendré par un triangle rectangle qui tourne autour de l’uu des côtés de l’angle droit comme axe. Si l’on imagine que deux triangles rectangles .semblables ABC, A'B C' {fig. 318;, soient placés de telle sorte que les deux côlé.s homologues AC, A’C forment le prolongement l’un de l’autre, la rotation des deux hypo- Ihénuscs engendrera ce que l’on nomme les deux nappes du cône. AA" est l’axe, C le sommet, BB' la génératrice, et le cercle dont AB est le rayon, la directrice. Si l’on coupe cette surface par un plan qui rencontre toutes les génératrices, oii aura une courbe fermée qui sera un cercle, si le plan est perpendiculaire à l’axe dans le cas où le cône est droit, ou en général, quand le plan est parallèle à la base : la courbe sera une ellipse, lorsque le plan sera incliné sur la base.

Si ce plan est parallèle à l'une des génératrices, il ne rencontrera, comme dans le cas précédent, qu’une des nappes, et formera une courbe non fermée, composée de deux branches qui

MOTIONS DE CÉOMÉTIUE ANALYTIOÜE. 46.>

SC prolongeront à rinPini, si la nappe du cône n'esl pas limitée par une base. Cette courbe se nomme parabole (fig. 319).

Si enfin, l'inclinaison du plan sécant, par rapport à celui de la base, augmente encore, on obtiendra une courbe à quatre branches que l'on appelle hyperbole (fig. 320).

Nous allons, comme pour l’ellipse, en chercher la construction par points, puis les équations.

423. Parabole. La distance de chacun des points tels que M de la courbe à un point fixe F (fig. 321) est égale à celle de ce même point M, à une droite OQ nommée directrice.

Pour la construire graphiquement, on trace OF perpendiculaire à OY, et le point A, milieu de OF satisfaisant à la condition prescrite, est déjà un point de la parabole, puisque OA=AF. Au delà de A, on élève une droite MP parallèle à OY, et dont tous les points sont par conséquent distants de cette ligne d’une quantité Oï*. Puis de F comme centre et d’un rayon égal à OP, on trace un arc de cercle qui rencontre MP en M et en M'. Pour ces deux points, on a donc MQ=.MP, M'Q^=M'P'. C’est ainsi que l’on construit la parabole par points.

S’il s’agit de la tracer d’une matière continue, on place le cèté BC d’une équerre sur la directrice; on fixe à son angle Ü et au foyer F (fig. 322), les deux extrémités d’un fil de la longueur du côté CI) de l’équerre; ensuite, on la fait glisser sur la directrice, en tenant le fil tendu sur CD. Quand le fil forme'une ligne droite de D en F, le point D est sur un point M de la courbe, puisque CM = CF. Dans une autre position, D étant descendu en D , le point M sur C'D' appartient encore à la parabole, puisque de CD=DF, on retranche de part et d’autre M D', et qu’il reste ainsi pour satisfaire à l’énoncé, C'M' = M'F.

Pour obtenir l’équation, plaçons l’origine des coordonnées au sommet A de la courbe.

Désignant par p la distance OF (fig. 323), du foyer à la directrice, nous aurons AF =: OA=|.

La circonférence décrite du point F donne entre les coordonnées d’un point M quelconque la relation FM*= MP*+ FP* ou

»* = y*+ — jj* = ÿ’ + **+ P*

et d’ailleurs

PM ou st=üP=a:+? d’où ** + ^ + p*.

Égalant ces deux valeurs de z^, il vient

*• + y + px => y* + ** + ^ — P* et en6n y*=»2px.

Telle est la relation qui existe entre les coordonnées d’un point de la parabole.

Discutons cette équation. D’abord nous aurons y = o, en faisant x=o, ce qui coïncide avec la condition établie que nous prenions le sommet de la courbe pour origine.

Rn extrayant la racine carrée, y v/§px. A chaque valeur de y correspondent deux valeurs égales et de signes contraires de y. X négatif donne pour y des valeurs imaginaires, ce qui indique que la courbe est entièrement située à droite de l’axe

dcs.1/. Si l’on faitx=^, ona, pour les ordonnées correspondantes

qui aboutissent au foyer, y* = p* et y=> drp. Ainsi la double ordonnée MM' passant par le foyer est double de la distance de la directrice à ce foyer.

M!x. Ilypevbute. On demande l’équation d’une courbe telle que si l'on joint chacun de ses points M (/Sy. 324) à deux points fixes F, F la différence FM — FM soit égale à une ligne donnée 2A. ('.cite courbe est l’hyperbole ; F, F' en sont les foyers, et FM, F M les rayons secteurs.

Pour les tracer par points, on porte sur la droite qui passe par les foyers, à partir de son milieu 0, deux longueurs 0.4, OH égales chacune à A ; prenant un point L quelconque au delà de F, on trace, des points F et F comme centres, avec des rayons égaux à AL, HL, des arcs de cercles qui, se coupant deux à deux, donnent quatre points M,M M"M ''. Ceux-ci appartiennent à la courbe, puisque, d’après la construction, la différence des deux rayons vecteurs, pour chacun d'eux, égale la constante 2A.

Pour trouver l’équation de l’hyperbole, on prend OB et OC comme axes des x et des y ; on a

OP = X ; Ml’ = y, ÜK = OF' = C, KM -= i, F'M =■ î'.

Pour M, les deux cercles dont les centres sont F, F' ont pour é(|ualions

(1) î>iiy«+(c — = — îfX, ï'« » y>q-(eq-x)* a>4r-4-îrj-

retranchant, on obtient — j’ => (;' -[- z) (3' — -) =

te Cr

et puisque t' — ï=.2A, il vient « -f s'— — = 2-^-

l^XI'ltË^SlUiNS ÜliS .NOUJIALKS.

par coi»sc(juenl , — — ,

Subsliluons pour 3 sa valeur dans (l), et nous aurons C»x« , .

+ A‘ =ÿ« + X» + C>, A«ÿ* 4- A’x* + AîU* = A* + Csx>

A»ÿ» + (A«-C*)xi = (A«— C*)

c esl plus grand (pic A, ainsi A^-C^ csl nêgalif; faisons t — A-= cl l’équation deviendra

hile ne diffère de celle de l’ellipse que iwr le signe de Si l’on fait y = O, il vient x = ±\, ce qui indique (pie la courbe coupe 1 axe des a; à égale distance, à droite et à- gauche de I origine. Si ar=n, on a.ij±\/^.=± |t v'^îquaiitité iinagi. iiaire : la courbe ne rencontre donc pas l’a ve des y.

L’eqiialion résolue par rapport à y devient

»=±x jVx.-A. = ± J

On a donc deux valeurs de y égales et de signes contraires, pour une valeur de a:, et l’on retrouve les mêmes, quand on change seulement le signe de x. Ainsi, à une même ordonnée y, correspondent deux abscisses qui ne diffèrent que par le signe • de meme que deux ordonnées égales et de signes contraires appartiennent à deux points de la courbe qui ont même abscisse, ün voit encore, par la dernière forme sous laquelle nous avons mis 1 équation, que toute valeur de x plus petite que A, n’a pasd’or- (loniiee correspondante. Les plus grandes valeurs de .c <|ui ne ic^cnl^pasy imaginaire, le rendenl nul ; ce seul .i = -)-A cl

Dans ces notions Irès-élémcniaires et Irès-incoinplèlcs dcgc.iinetne analytique, nous avons dépasse ce qui nous esl rigoniciiseineiil necessaire ; mais nous avons pense qu'il no serait pas Ion I a lait mutile de faire voir de quelle ressource csl ranaljse iiour liouvei la solution de toute espèce de prohlènie.

ciiAi'iTni: Ml.

EXrHlSSlO.XS ANAUTIQCSS 1)K (JUEL(iUES LIÜ.SES UE.VlABOLABI.tS l.L SPUËROÏDE TERRESTRE EN FONCTION DE L.V LVTITLDK.

125. Grande et, pelUe normales. Soit ,\| un point situe sur le

CKOÜKSIK.

4(iü

{;lobe {fig. 335), cl doul le méridien esl PME. La normale à ce point est MU que l’on désigne par N ou grande normale, par opposition à MU que l'on nomme n ou petite normale. L’angle MQE est la latitude L de .M j c’est aussi l’inclinaison de la normale sur l’axe des x.

Nous verrons plus tard qu’il nous esl indisi)ensable de connaître les expressions de ces deux lignes, en fonction de la latitude comme seule variable, et de quantités constantes qui sont le grand et le petit axe de l’ellipsoïde, c’est-à-dire du solide engendré par la révolution de l’ellipse autour de son petit axe. Prenons l’équation de l’ellipse

Celle de la normale esl (n® 421),

x' \j' sont les coordonnées du point de rencontre de la droite et de la courbe : ^ représente la tangente de l’angle MQE ou L.

Donc l.nng l.= ^, ou B*x' lan|:.L = A*ÿ'. . . (î)

Nous pouvons nous abstenir d’accentuer les coordonnées du point de tangence, actuellement que nous n’avons plus à nous servir de l’équation de la normale. En construisant les deux triangles rectangles MFQ, MUS, nous trouvons que

MK ou y = n sin.L. . . (3) et RS OU a: =. N cosin.L. . . (t)

Si nous substituons successivement ces deux valeurs de x cl de >j dans l’équation (2), nous trouvons

B>x tang.L — A'n sin.L d’où N cos.L. . . (.>)

H*.N co3.Ltaiig.L = A*ÿ d’où y = ^iNsin,L. ..(G)

En comparant les valeurs de y fournies par (3) et (6) ou celles que (,4) et (5) donnent pour x, on trouve « = ou N : it : b».

c’csl-à-dirc que la grande et la petite normales sont entre elles dans le rapport des carrés du grand et du petit axe.